Θεώρημα Πτολεμαίου

[Φωτεινή]

Καλημέρα ..

Να αποδείξετε :Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών

Μήπως...να δούμε και μία απόδειξη με αντιστροφή;

Ο Σεραφείμ...ακούει;

[Mihalis_Lambrou]

Να αποδείξετε :Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών

Μήπως...να δούμε και μία απόδειξη με αντιστροφή;

Αντιστρέφουμε ως προς Α. Ο κύκλος θα γίνει ευθεία και το Α μένει εκεί που είναι.
Αν τα αντίστροφα των αντίστοιχα, τότε, λόγω ευθείας, (*).

Όμως (απλό και γνωστό) .

Αντικατάσταση αυτών στην (*) δίνει το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Προσθήκη αργότερα: υπόψη ότι τα A,B, C, D δεν είναι ομοκυκλικά αν και μόνον αν τα δεν είναι σε ευθεία.
Σε αυτή την περίπτωση ισχύει και θα καταλήξουμε στο .
Με άλλα λόγια η παραπάνω απόδειξη δίνει (το γνωστό) ότι για οποιοδήποτε τετράπλευρο ισχύει

με ισότητα αν και μόνον αν είναι εγγράψιμο.

[KDORTSI]

Στην όμορφη απόδειξη με την αντιστροφή που παρουσίασε ο Μιχάλης, αναρτώ
τα σχήματα(ένα για το εγγράψιμο, κι ένα για το μη εγγράψιμο τετράπλευρο) περισσότερο
για να φανεί η συμπεριφορά του μετασχηματισμού αυτού στις δύο αυτές περιπτώσεις.
Και κάτι ακόμα:
Η αντιστροφή έγινε με πόλο την κορυφή Α του τετραπλεύρου και με δύναμη ίση με τη μονάδα
που σημαίνει πώς ο "κύκλος αντιστροφής" (στο σχήμα ο κόκκινος) έχει ακτίνα ίση με τη μονάδα.
Αν η δύναμη αυτή ήταν ίση με τότε ο κύκλος αυτός θε είχε ακτίνα ίση με .
και οι τύποι που έγραψε ο Μιχάλης θα είχαν τον παράγοντα που τελικά θα απλοποιούνταν.

[Σεραφείμ]

Οι αναρτήσεις των εξαιρετικών φίλων παραπάνω είναι σαφείς και πλήρεις. !!

[Φωτεινή]

Σας ευχαριστώ πολύ...

αυτή είναι η ομορφιά του ... ... τα μέλη του πανέτοιμα να δώσουν απαντήσεις...