Εξίσωση (πάλι!)

A.Spyridakis · #1

Αν δύο ρίζες της ${\boxed{ \boxed{{\color{red} x^4 -10x^3+42x^2-35x-196=0 }}}}}}$ έχουν άθροισμα 3, να λυθεί.

chris · #2

Μια παραγοντοποίηση αν και ο κ.Αντώνης κάτι άλλο θέλει μάλλον...

$\displaystyle x^4 -10x^3+42x^2-35x-196=0\Leftrightarrow$
$\displaystyle \left(x^4-3x^3-7x^2 \right)+\left(-7x^3+21x^2+49x \right)+\left(28x^2-84x-196 \right)=0\Leftrightarrow$
$\displaystyle x^2\left(x^2-3x-7 \right)-7x\left(x^2-3x-7 \right)+28\left(x^2-3x-7 \right)=0 \Leftrightarrow$
$\displaystyle \left(x^2-7x+28 \right)\left(x^2-3x-7 \right)=0$

Επομένως αφού:
x^2-7x+28>0

με αρνητική διακρίνουσα,είναι

x^2-3x-7 =0

απο όπου έχουμε: $\displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt{37}}{2}$ που όντως έχουν άθροισμα 3.

EDIT:Διορθώθηκε τυπογραφικό.

A.Spyridakis · #3

Πράγματι, υπάρχει κι άλλος τρόπος Χρήστο, αλλά τι σημασία έχει? Της έδωσες και κατάλαβε!

#4

A.Spyridakis έγραψε:Αν δύο ρίζες της ${\boxed{ \boxed{{\color{red} x^4 -10x^3+42x^2-35x-196=0 }}}}}}$ έχουν άθροισμα 3, να λυθεί.

A.Spyridakis έγραψε:Πράγματι, υπάρχει κι άλλος τρόπος Χρήστο, αλλά τι σημασία έχει? Της έδωσες και κατάλαβε!

Aν

οι ρίζες με a+b=3

, από Vieta έχουμε a+b+c+d = 10

άρα

.

Επίσης ab+ac+ad + bc+bd+cd=42

άρα

οπότε $ab + cd = 42 - 3\cdot 7 = 21$ (*)

Επίσης (ab)(cd) = -196

(**). Η τελευταία με την (*) θα μας δώσει τα ab, cd

(συγκεκριμένα = 28 και -7), απότε με τις a+b=3, c+d=7

καθαρίσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

A.Spyridakis · #5

A.Spyridakis έγραψε:Αν δύο ρίζες της ${\boxed{ \boxed{{\color{red} x^4 -10x^3+42x^2-35x-196=0 }}}}}}$ έχουν άθροισμα 3, να λυθεί.

Χωρίς τύπους Vieta Μιχάλη:
Έστω x, y οι ρίζες της που έχουν άθροισμα 3. Τότε $x^4 -10x^3+42x^2-35x-196=0 \ \wedge y^4 -10y^3+42y^2-35y-196=0$ .
Με αφαίρεση κατά μέλη και "διώχνοντας" την παράσταση x-y (είναι $\ne 0$ , διότι αν ήταν ίση, θα έπρεπε η εξίσωση να έχει ρίζα το $\frac{3}{2}$ , που δεν το έχει), προκύπτει (x^2+y^2)(x+y)-10(x^2+xy+y^2)+42(x+y)-35=0

.
Αλλά

, και συνεπώς x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=9-2xy

, όπου με αντικατάσταση βγάζουμε $xy=-7 \Leftrightarrow x(3-x)=7...$

Εξίσωση (πάλι!)

Εξίσωση (πάλι!)

Re: Εξίσωση (πάλι!)

Re: Εξίσωση (πάλι!)

Re: Εξίσωση (πάλι!)

Re: Εξίσωση (πάλι!)

Μέλη σε σύνδεση