Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

ctheofi · #1

Ας συγκεντρώσουμε εδώ τις περιπτώσεις που εμφανίζεται η διαφορά των γωνιών Β-Γ=φ, τριγώνου ΑΒΓ.

Δίνω το εναρκτήριο λάκτισμα.

1η περίπτωση

Αν ΑΔ το ύψος εκ του Α στην ΒΓ και ΑΕ η διχοτόμος της Α, τότε η γωνία ΔΑΕ=φ/2

Χρ. Θεοφιλάτος

ctheofi · #2

2η περίπτωση

Αν ΑΔ το ύψος επί την ΒΓ εκ του Α και Β' το συμμετρικό του Β ως προς Δ, τότε η γωνία Β'ΑΓ = φ

Χρ Θεοφιλάτος

#3

3η περίπτωση:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ),ΑΔ-ύψος,Μ,Ν τα μέσα των ΒΓ,ΑΓ αντίστοιχα,τότε η γωνία ΔΝΜ=Β-Γ

#4

4η περίπτωση

Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,ρ),ΑΔ-διχοτόμος,Ζ σημείο τομής αυτής με τον κύκλο,τότε η γωνία ΑΟΖ=π-(Β-Γ)

apotin · #5

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ $\displaystyle{\left( {\widehat {\rm A} = 90^\circ } \right)}$ ΑΔ ύψος και ΑΜ διάμεσος.
ΝΔΟ $\displaystyle{{\rm M}\widehat {\rm A}\Delta = \varphi }$

#6

Επειδή αναφέρεται σε φάκελο Β΄Λυκείου, ας το ζωηρέψουμε λίγο...

1) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισότητες:

$\displaystyle \frac{{\alpha \eta \mu \left( {{\rm B} - \Gamma } \right)}}{{\beta ^2 - \gamma ^2 }} = \frac{{\beta \eta \mu \left( {\Gamma - {\rm A}} \right)}}{{\gamma ^2 - \alpha ^2 }} = \frac{{\gamma \eta \mu \left( {{\rm A} - {\rm B}} \right)}}{{\alpha ^2 - \beta ^2 }}$

Έτσι ήταν η εκφώνηση. Να συμπληρώσουμε: Σε κάθε μη ισοσκελές τρίγωνο...;

2) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι:
$\displaystyle \beta + \gamma = 2\alpha \;\;\kappa \alpha \iota \;\;\widehat{\rm B} - \widehat\Gamma = 90^\circ$

Να αποδειχτεί ότι: $\displaystyle \frac{\beta }{{\sqrt 7 + 1}} = \frac{\alpha }{7} = \frac{\gamma }{{\sqrt 7 - 1}}$

Βοηθούν πολύ οι τύποι του Mollweide (που θα μπορούσαν να τεθούν και ως ξεχωριστή άσκηση στην παρούσα ομάδα):

$\displaystyle \eta \mu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2} = \frac{{\beta - \gamma }}{\alpha } \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2},\;\;\;\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2} = \frac{{\beta + \gamma }}{\alpha } \cdot \eta \mu \frac{{\rm A}}{2}$

με κυκλική εναλλαγή για τις άλλες γωνίες του ΑΒΓ.

ΥΠΟΔΕΙΞΗ:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

(Δεν έχω ασχοληθεί με τη λύση τους, αλλά είναι από εγγυημένη πηγή.
Τριγωνομετρία Ι. Πανάκης, ΟΕΔΒ, 1978)

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. Χρήστο (ctheofi) σου είχα στείλει ένα σχετικό π.μ. από χτες, αλλά δεν το έχεις ακόμη δει...

ctheofi · #7

5η περίπτωση

Αν ε παράλληλος προς την ΒΓ, διερχόμενη εκ του Α, και Β' το συμμετρικό του Β ως προς την ε, τότε η γωνία ΓΑΒ' = π-φ

6η περίπτωση

Αν η ευθεία ε διέρχεται εκ του Α και σχηματίζει οξεία γωνία ω με την ΒΓ, και Β' το συμμετρικό του Β ως προς την ε, τότε η γωνία ΓΑΒ' = π-2ω+(-)φ

Χρ. Θεοφιλάτος

ctheofi · #8

7η περίπτωση

Αν ΑΜ διάμεσος και φέρω τις ΜΔ και ΑΔ έτσι ώστε η γωνία ΑΜΔ = ΑΜΒ και η γωνία ΜΑΔ = Β, τότε η γωνία ΔΒΓ = φ (?)

Χρ. Θεοφιλάτος

Ανδρέας Πούλος · #9

8η περίπτωση:
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο, ρ) και ΑΔ ύψος του,
τότε γωνία ΔΑΟ = φ.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #10

9η περίπτωση:
Αν ΑΔ΄ η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ
και Δ' το σημείο τομής της με την ΒΓ, τότε γωνία ΑΔ΄Β = φ/2.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #11

10η περίπτωση:

Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ < ΑΓ, τότε μπορούμε να βρούμε σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ = ΑΒ.
Τότε θα ισχύει γωνία ΔΒΓ = φ/2.

Προσωπικά, τη θεωρώ πολύ χρήσιμη πρόταση.
Το ερώτημα είναι που είναι χρήσιμη, (για μένα, όταν ψωνίζω στη λαϊκή).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #12

11η περίπτωση:

Την ανακάλυψα μόλις τώρα!! (Σιγά μην με πιστέψουν, ας είναι καλά οι σημειώσεις μου).

Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ < ΑΓ και προεκτείνουμε την ΑΓ
προς το μέρος του Α, ώστε ΑΔ = ΑΒ, τότε γωνία ΔΒΓ = φ/2 + π/2.
Έκανα μιά μικρή διόρθωση γωνία ΔΒΓ, αντί γωνία ΔΑΒ,
όπως μου επεσήμανε ο Χρήστος.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

apotin · #13

12η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ Ο το περίκεντρο και Ε το μέσο του τόξου ΒΓ. ΝΔΟ
$\displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm A}{\rm O} = \frac{\varphi }{2}}$

apotin · #14

13η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΔ ύψος και Μ, Ν μέσα των ΓΑ, ΓΒ. ΝΔΟ
$\displaystyle{\Delta \widehat {\rm M}{\rm N} = \varphi }$

apotin · #15

14η
Τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ είναι εγγ/νο στον (Ο, R). Η εφαπτομένη στο τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο Δ. ΝΔΟ
$\displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = \varphi }$

Ιστοσελίδα · #16

15η

Από το βιβλίο ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ των Αλπινίση – Δημάκο κτλ (παλιό σχολικό) σελίδα 143

Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου $\displaystyle{H}$ ως προς τα μέσα $\displaystyle{ M_1 ,M_2 ,M_3 }$ των πλευρών $\displaystyle{ {\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A},{\rm A}{\rm B} }$ τριγώνου $\displaystyle{ {\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Αν $\displaystyle{ \Theta _1 }$ το μέσο του $\displaystyle{ {\rm H}{\rm A} }$ και $\displaystyle{ \hat {\rm B} > \hat \Gamma }$ τότε $\displaystyle{ \mathop {{\rm M}_1 \Theta _1 {\rm H}}\limits^ \wedge = \hat {\rm B} - \hat \Gamma }$

KARKAR · #17

Περίπτωση 16η (από τις απλούστερες).

Αν $A\Delta$ , η διχοτόμος τότε : $\widehat{A\Delta }\Gamma = 90+\frac{\phi}{2}$

#18

Ποιός έχει την γεωμετρία του Δημητρίου; Εκεί υπάρχουν πολλές θέσεις όπου εμφανίζεται η διαφορά Β-Γ.

Από τον Δημητρίου θυμάμαι την άσκηση:

Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα στοιχεία του:

$r_b, r_c , \hat{B}-\hat{C}$

Σταύρος Σταυρόπουλος · #19

Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα στοιχεία του υα, μα, φ (από το βιβλίο του Αρ. Δημητρίου το οποίο πράγματι έχει πολλές ασκήσεις με κατασκευές στις οποίες εμφανίζεται η διαφορά Β-Γ=φ).

Χρηστος · #20

19
Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ απο τα στοιχεία :
$\upsilon _{1}, B-\Gamma=\omega , \kappa \alpha \iota , \beta \gamma =\kappa^{2}$

Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Re: Εμφάνιση της διαφοράς των γωνιών Β-Γ τριγώνου ΑΒΓ

Μέλη σε σύνδεση