2 δικές μου ασκήσεις στο Rolle!

rexes13 · #1

1)Έστω μια συνάρτηση f:[0,1]->R με f(0)=2 και f(1)=1/e.Nα αποδειχθεί ότι υπάρχει k $\epsilon$ (0,1) τέτοιο ώστε:
$f'(k)=-2k[e^{-k^2} + f(k)]$

2)Έστω μια συνάρτηση f:[0,1]->R με f(0)=1 και f(1)=0.Να αποδειχθεί ότι υπάρχει k $\epsilon$ (0,1) τέτοιο ώστε:
$f'(k)=2k[f(k) - e^{-k^2}]$

PanosG · #2

1)
Έστω η συνάρτηση $g(x)=f(x)e^{x^2}+x^2$ με $x\in[0,1]$
Εφαρμόζοντας Θ.Rolle για την g στο [0,1] υπάρχει ένα $k\in(0,1)$ τέτοιο ώστε:
$g'(k)=0\Leftrightarrow f'(k)e^{k^2}+2ke^{k^2}f(k)+2k=0\Leftrightarrow f'(k)=-2k[e^{-k^2} + f(k)]$

#3

Για την πρώτη, θεωρώντας δεδομένη την παραγωγισιμότητα της f στο (0,1) και την συνέχεια στο [0,1].

Θέτουμε $g(x)=e^{x^2}f(x)+x^2,x \in [0,1]$ , η οποία είναι:

* συνεχής στο [0,1], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων
* παραγωγίσιμη στο (0,1) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με $g'(x)=2xe^{x^2}f(x)+e^{x^2}f'(x)+2x$
* g(0)=g(1)=2

,

οπότε από το θ.Rolle υπάρχει $k \in (0,1)$ με

$g'(k)=0 \Leftrightarrow 2ke^{k^2}f(k)+e^{k^2}f'(k)+2k=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow e^{k^2}f'(k)=-2ke^{k^2}f(k)-2k \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(k)=-2kf(k)-2ke^{k^2} \Leftrightarrow f'(k)=-2k \left [f(k)+e^{k^2} \right ]$ .

Υ.Γ. Με πρόλαβε ο PanosG

. Την αφήνω για τις παραπάνω λεπτομέρειες.

rexes13 · #4

Συγχαρητήρια και στους 2!!

2 δικές μου ασκήσεις στο Rolle!

2 δικές μου ασκήσεις στο Rolle!

Re: 2 δικές μου ασκήσεις στο Rolle!

Re: 2 δικές μου ασκήσεις στο Rolle!

Re: 2 δικές μου ασκήσεις στο Rolle!

Μέλη σε σύνδεση