Ίσα Εμβαδά. (Δελτίο Νο 5)

#1

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\hat A$ τέμνει τη

στο

και τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

.
Από το

φέρουμε κάθετες προς τις AB,AC

και έστω

τα ίχνη τους αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι το τετράπλευρο AKNM

και το τρίγωνο ABC

έχουν ίσα εμβαδά

#2

Δεν γνωρίζω να κατασκευάσω σχήμα, γι αυτό δίνω μια περιληπτική λύση:

Προεκτείνω την

κατά $C\Pi = AB$ και την

κατά $K\Sigma = AK = AM$ .

Τότε τα τρίγωνα $\vartriangle \Gamma N\Pi$ και $\vartriangle ABN$ είναι ίσα

κριτήριο $\Pi - \Gamma - \Pi$

και τα τρίγωνα $\vartriangle AML$ και $\vartriangle K\Sigma L$ είναι ίσα.

Άρα οι γωνίες $\angle \Pi$ και $\angle \Sigma$ είναι ίσες με $\displaystyle \frac{\angle A}{2}$ .

Η συνέχεια τώρα είναι εύκολη, αν πάρουμε τα όμοια τρίγωνα $\vartriangle AN\Pi$ και $\vartriangle AL\Sigma$ οπότε καταλήγουμε στη σχέση $2(AK)(AN) = (AL)(AB + AC)\ \ ,(1)$

Πράγματι, $\displaystyle (AKNM) = \frac{1}{2}(NT)(AK + AM)\ \ ,(2)$ όπου

κάθετη στην

.

Επίσης $\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}(LK)(AB + AC)\ \ ,(3)$

Ο λόγος $\displaystyle \frac{NT}{LK}$ είναι ίσος με τον $\displaystyle \frac{AN}{AL}$

Tώρα, αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις $(2),\ (3)$ , βρίσκουμε αποτέλεσμα

.

#3

Νομίζω πως η λύση του ΔΗΜΗΤΡΗ είναι πλήρης και ότι λέω ακριβώς τα ίδια πράγματα, αλλά επειδή η Γεωμετρία αποκτά άλλη χάρη κάνοντας και κάποιο σχήμα .. παίρνω το θάρρος να την .. ξαναπαρουσιάσω.

: Ίσα Εμβαδά.jpg (30.37 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Προεκτείνουμε την

κατά μήκος CD=AB

. Τότε τα τρίγωνα $\displaystyle{ABN{\text{ \& }}NCD}$ είναι ίσα διότι $\displaystyle{AB = CD{\text{ }}{\text{, }}BN = NC{\text{ \& }}A\hat BN = N\hat CD}$ (Οι γωνίες είναι ίσες
λόγω του εγγράψιμμου τετραπλεύρου $\displaystyle{ABNC}$ ). Επομένως $\displaystyle{\hat \psi = \frac{{\hat A}}{2}}$ και το τρίγωνο $\displaystyle{ANC}$ είναι ισοσκελές με γωνία βάσης $\displaystyle{\frac{{\hat A}}{2}}$ .
Το ίδιο ισχύει όμως και για το τρίγωνο $\displaystyle{KLM}$ διότι $\displaystyle{\hat \omega = \frac{{\hat A}}{2}}$ (λόγω του εγγράψιμμου τετραπλεύρου $\displaystyle{AKLM}$ ). Τότε $\displaystyle{\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{{LM}}{{KM}} \Rightarrow AN \cdot KM = \left( {AB + AC} \right) \cdot LM \Rightarrow AN \cdot \left( {ZM + ZK} \right) = \left( {AB \cdot LK + AC \cdot LM} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{1}{2}AN \cdot ZM + \frac{1}{2}AN \cdot ZK = \frac{1}{2}AB \cdot LK + \frac{1}{2}AC \cdot LM \Rightarrow \boxed{{E_{\left( {ABC} \right)}} = {E_{\left( {AKNM} \right)}}}}$

#4

Φωτεινή έγραψε:Σε οξυγώνιο τρίγωνο η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\hat A$ τέμνει τη στο και τον περιγεγραμμένο κύκλο στο .
Από το φέρουμε κάθετες προς τις και έστω τα ίχνη τους αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι το τετράπλευρο και το τρίγωνο έχουν ίσα εμβαδά

Μία λύση, η οποία βασίζεται στη σχέση $\displaystyle{AN=\frac{bc}{w_{a}},}$ (1) όπου $\displaystyle{w_a}$ η διχοτόμος $\displaystyle{AL.}$

Το τεράπλευρο $\displaystyle{AKNM}$ έχει κάθετες διαγωνίους (γιατί;), άρα είναι

$\displaystyle{(AKNM)=\frac{1}{2}AN\cdot KM.}$

To τετράπλευρο $\displaystyle{AKLM}$ είναι προφανώς εγγράψιμο και ισχύει $\displaystyle{KM=w_a\sin A}$

Επομένως έχουμε

$\displaystyle{(AKNM)=\frac{1}{2}w_a\sin A \cdot \frac{bc}{w_a}=(ABC).}$

#5

...

πανέμορφα...

Ίσα Εμβαδά. (Δελτίο Νο 5)

Ίσα Εμβαδά. (Δελτίο Νο 5)

Re: Ίσα Εμβαδά

Re: Ίσα Εμβαδά

Re: Ίσα Εμβαδά

Re: Ίσα Εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση