Ρίζα πολυωνύμου

Νικος Αντωνόπουλος · #1

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$ Αν ισχύουν $a_{0}\geq{0}$ και $a_{0}+\frac{a_{0}+a_{2}}{3}+\frac{a_{2}+a_{4}}{5}+\frac{a_{4}}{7}$ <0, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο έχει ρίζα στο διάτημα (-1, 1).

nonlinear · #2

Νικος Αντωνόπουλος έγραψε:Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$ Αν ισχύουν $a_{0}\geq{0}$ και $a_{0}+\frac{a_{0}+a_{2}}{3}+\frac{a_{2}+a_{4}}{5}+\frac{a_{4}}{7}$ <0, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο έχει ρίζα στο διάτημα (-1, 1).

Μήπως υπάρχει κάποιο λάθος στους δείκτες στην δεύτερη ανισότητα;

Νικος Αντωνόπουλος · #3

Η εκφώνηση του προβλήματος δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα. Επισημαίνω την κατηγορία στην οποία το έχω τοποθετήσει

#4

Νικος Αντωνόπουλος έγραψε:Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$ Αν ισχύουν $a_{0}\geq{0}$ και $a_{0}+\frac{a_{0}+a_{2}}{3}+\frac{a_{2}+a_{4}}{5}+\frac{a_{4}}{7}$ <0, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο έχει ρίζα στο διάτημα (-1, 1).

Μία απόδειξη, αλλά πρώτα το σκεπτικό.

Το κλειδί (τουλάχιστον για μένα) είναι να παρατηρήσει κανείς τους ''περίεργους'' παρονομαστές $\displaystyle{1,3,5,7}$ . Αφού ενδιαφερόμαστε για ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(-1,1)}$ , σκέφτηκα ότι οι παραπάνω αριθμοί εμφανίζονται στα αποτελέσματα ολοκληρωμάτων της μορφής $\displaystyle{\int_{-1}^{1}x^ndx}$ με $\displaystyle{n=0,2,4,6.}$

Έχουμε λοιπόν,

$\displaystyle{\int_{-1}^{1}P(x)dx=2\left(\frac{a_4}{5}+\frac{a_2}{3}+a_0 \right)}$

και

$\displaystyle{\int_{-1}^{1}x^2P(x)dx=2\left(\frac{a_4}{7}+\frac{a_2}{5}+\frac{a_0}{3} \right).}$

Άρα,

$\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(x^2+1)P(x)dx=a_0+\frac{a_0+a_2}{3}+\frac{a_2+a_4}{5}+\frac{a_4}{7}<0.}$ (1)

Από το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού υπάρχει $\displaystyle{q\in (-1,1)}$ ώστε

$\displaystyle{\int_{-1}^{1}(x^2+1)P(x)dx=2(q^2+1)P(q)}$ , οπότε, λόγω της (1), υπάρχει $\displaystyle{q(-1,1)}$ ώστε $\displaystyle{P(q)<0.}$ (2)

Τώρα, αν $\displaystyle{a_0=0,}$ είναι $\displaystyle{P(0)=a_0=0}$ και το $\displaystyle{0}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου.

Διαφορετικά, είναι $\displaystyle{P(0)=a_0>0}$ και το ζητούμενο προκύπτει από το θεώρημα Bolzano διάστημα $\displaystyle{[0,q]}$ ή $\displaystyle{[q,0]}$ , το οποίο προφανώς περιέχεται στο $\displaystyle{(-1,1)}$ .

Νικος Αντωνόπουλος · #5

matha. Αυτή είναι η λύση που είχα και εγώ υπόψη μου.

k-ser · #6

Θάνο, πολύ καλή η λύση σου.

Θα δανειστώ την ιδέα σου να πολλαπλασιάσεις το $\displaystyle P(x)$ με το $\displaystyle x^2+1$ για να δώσω μια διαφορετική (;) λύση.

Αν $\displaystyle a_0=0$ τότε το συμπέρασμα είναι προφανές.

Αν $\displaystyle a_0>0$ οπότε και $\displaystyle P(0)>0$ τότε:

Υποθέτοντας ότι $\displaystyle P(x) \ne 0, \ \ \forall x \in (-1,1)$ θα είναι, λόγω συνέχειας, $\displaystyle P(x) > 0, \ \ \forall x \in (-1,1)$ .

Άρα $\displaystyle P(x) +P(-x) =2(a_o+a_2x^2+a_4x^4) > 0, \ \ \forall x \in (-1,1)$ ,

οπότε θα είναι:

$\displaystyle Q(x)= (x^2+1)(a_o+a_2x^2+a_4x^4)=\\ \\a_4x^6+(a_4+a_2)x^4+(a_2+a_0)x^2+a_0 > 0, \ \ \forall x \in (-1,1)$

Όμως το $\displaystyle Q(x)$ είναι η παράγωγος της συνάρτησης $\displaystyle f(x)=a_4\frac{x^7}{7}+(a_4+a_2)\frac{x^5}{5}+(a_2+a_0)\frac{x^3}{3}+a_0x$ .

Θα πρέπει η συνάρτηση $\displaystyle f(x)$ να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle[-1,1]$ .

τότε όμως,

$\displaystyle f(1)>f(0)$ το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τη δοσμένη ανισότητα.

mathematica.gr

Ρίζα πολυωνύμου

Ρίζα πολυωνύμου

Re: Ρίζα πολυωνύμου

Re: Ρίζα πολυωνύμου

Re: Ρίζα πολυωνύμου

Re: Ρίζα πολυωνύμου

Re: Ρίζα πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση