Σταθερή συνάρτηση

#1

Από τον Νίκο Ζανταρίδη
Αν η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο 0 και $f(x)=f(\frac {x}{1-x}), \forall x \neq 1$ , να αποδειχθεί ότι είναι σταθερή

#2

s.kap έγραψε:Από τον Νίκο Ζανταρίδη
Αν η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο 0 και $f(x)=f(\frac {x}{1-x}), \forall x \neq 1$ , να αποδειχθεί ότι είναι σταθερή

Ο δοθείς τύπος για $x=\frac{1}{n+1}$ , όπου n>1

φυσικός δίνει $f(\frac{1}{n+1})= f(\frac{1}{n})$ . Άρα $f(\frac{1}{2})= f(\frac{1}{3})=f(\frac{1}{4})= f(\frac{1}{5})...$ . Παίρνοντας όριο βλέπουμε ότι όλες αυτές οι τιμές είναι ίσες με f(0)

.

Επίσης, για τα υπόλοιπα

, δηλαδή $x\ne\frac{1}{n}$ o δοθείς επαγωγικά δίνει $f(x)=f(\frac {x}{1-x})= f(\frac {x}{1-2x})=f(\frac {x}{1-3x})= ... = f(\frac {x}{1-nx})=...$ και ξαναπαίρνουμε όριο ως προς

. Καταλήγουμε και πάλι f(x)=f(0)

. Και λοιπά.

Φιλικά

Μιχάλης

k-ser · #3

Μιχάλη, ωραία απόδειξη.

Θα μου επιτρέψεις να προτείνω κάτι, για να μη χάσουμε και το $\displaystyle f(1)$ !

Για $\displaystyle n$ θετικό ακέραιο αποδεικνύεται επαγωγικά:

$\displaystyle f(x)=f\left(\frac{x}{1+n|x|}\right), \ \ \forall x\in \mathbb{R}$ (παίρνοντας περιπτώσεις για το x: x>0, x<0)

και εφόσον

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}{f\left(\frac{x}{1+n|x|}\right)}=f(0),$

θα είναι $\displaystyle f(x)=f(0) \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

#4

Κώστα, έχεις δίκιο. Είχα παραβλέψει την περίπτωση x=1

θεωρώντας ότι είναι έξω από το πεδίο ορισμού.

Καθαρά από σύμπτωση, η απόδειξή μου πιάνει και την περίπτωση x=1

!
Πράγματι για $x = \frac{1}{2}$ έχουμε

$f \left(\frac{1}{2}\right) = f \left(\frac { \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}\right)=f(1)$ , και έχουμε δείξει ότι $f \left(\frac{1}{2}\right) =f(0)$ .

Σύμπτωση.

Φιλικά,

Μιχάλης

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση