Βρες το μοτίβο !

#1

Πόσα τετραγωνάκια έχει το $P_{50}$ ;

Μπάμπης

KARKAR · #2

#3

Μία απάντηση από την κόρη μου που πηγαίνει Α γυμνασίου....

P2=P1+4
P3=P2+4*2
P4=P3+4*3
.............
............
P50=P49+4*49
οπότε P50=1+4(1+2+3+...+49)=4901
σαν σκέψη σωστή πρέπει να είναι.... είναι και αργά

#4

KAKABASBASILEIOS έγραψε:Μία απάντηση από την κόρη μου που πηγαίνει Α γυμνασίου....

Τα συγχαρητήριά μου στην κόρη σου. Πολύ ωραία η λύση της.

Πάντα χαιρόμαστε να βλέπουμε τους μικρούς μας φίλους εδώ να κάνουν κομψούς συλλογισμούς.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#5

Μιχάλη ευχαριστώ πολύ και εκ μέρους της....και αν δεν σπαταλώ πολύ από τον πολύτιμο χρόνο σου θα ήθελα μέσα από την εμπειρία σου να δεις και να εκτιμήσεις ένα τρόπο που βρήκε πέρυσι,η μικρή όταν ήταν Εκτη Δημοτικού, για να βρίσκει αν κάποιος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 11 !!!! Θα τον περιγράψω με παράδειγματα......
π.χ έστω ο τριψήφιος 935
αλγόριθμος παίρνουμε το τελευταιο ψηφίο και το αφαιρούμε από το υπόλοιπο του αριθμού που μένει
εδώ 93-5=88 αν διψήφιος που μένει διαιρείται με το 11 τότε και ο αρχικός θα διαιρείται με το 11 (935:11=85)
π.χ έστω ο τετραψήφιος 7654
εφαρμόζουμε το σκεπτικό του αλγόριθμου μέχρι να φθάσουμε σε διψήφιο αποτέλεσμα....
765-4=761
76-1 = 75 και αφού το 75 δεν είναι πολλαπλάσιο του 11 δεν είναι και αρχικός τετραψήφιος
π.χ έστω πενταψήφιος 89675
8967-5=8962
896 -2 =894
89 -4=85 και αφού το 85 δεν διαιρείται με το 11 και ο αρχικός δεν διαιρείται με το 11
π.χ έστω ο πενταψηφιος 50479
5047-9=5038
503 -8=495
49 -5=44 και αφού το 44 διαιρείται με το 11 και οαρχικός θα διαιρείται με το 11 (50479:11=4589)
....δεν γνωρίζω αν μπορεί να έχει μαθηματική εξήγηση, αλλά ισχύει πάντα.....
Η μικρή έχει μία τρέλλα με τους αριθμούς αφου κάποια στιγμή αφιέρωνε ώρες για να βρεί πως φτιαχνονται οι πρώτοι αριθμοί!!!!! Οι δάσκαλοι της μου έλεγαν γιατί δεν της μαθαίνω αφηρημένες εννοιες, αλλά εκρινα σκόπιμο ότι είναι νωρίς και την αφήνω, όπως έκανα πάντα, στη αναζήτηση και να της δίνω εξηγήσεις σε απορίες που τις δημιουργούνται...
Ελπίζω να μη σε ζάλισα....και αν βρεις χρόνο θα ήθελα την εκτίμηση σου γι αυτό....
Ευχαριστώ εκ των προτερων

#6

Μένω κατάπληκτος από το ταλέντο της μικρής!!! Εγώ πάντως δεν είχα υπόψην μου κάτι τέτοιο. Θα ασχοληθώ με την απόδειξη γιατί μου φαίνεται ενδιαφέρουσα (αν και νομίζω ότι πολύ σύντωμα θα έχουμε απάντηση από μέλη)
Και πάλι ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!!!!

Ιωάννου Δημήτρης
Μαθηματικός

#7

Θα επιχειρήσω μια απόδειξη:
Έστω ο τριψήφιος αριθμός ΧΨΩ. Αφαιρούμε από τον διψήφιο ΧΨ το Ω και βρίσκουμε αποτέλεσμα 10Χ+Ψ-Ω.
Τώρα ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιος του 11 σημαίνει ότι 10Χ+Ψ-Ω=11λ , με λ ακέραιο. Άρα Ω=10Χ+Ψ-11λ
Τώρα έχουμε: ΧΨΩ=100Χ+10Ψ+Ω=100Χ+10Ψ+10Χ+Ψ-11λ=110Χ+11Ψ-11λ=11(10Χ+Ψ-λ)
Άρα ο τριψήφιος ΧΨΩ διαιρείται με το 11.
Αν τώρα ο 10Χ+Ψ-Ω δεν είναι πολ/σιος του 11, τότε θα ισούται με 11λ+1 ή 11λ+2 ή ... ή 11λ+10
1η περ. Αν 10Χ+Ψ-Ω=11λ+1 τότε Ω=10Χ+Ψ-11λ-1
Άρα ΧΨΩ=100Χ+10Ψ+Ω=100Χ+10Ψ+10Χ+Ψ-11λ-1=110Χ+11Ψ-11λ-1=11(10Χ+Ψ-λ)-1, άρα δεν είναι πολ/σιος του 11.
Όμοια και για τις άλλες περιπτώσεις, και όμοια και για τους τετραψήφιους κλπ αριθμούς

georgemarga · #8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Θα επιχειρήσω μια απόδειξη:
Έστω ο τριψήφιος αριθμός ΧΨΩ. Αφαιρούμε από τον διψήφιο ΧΨ το Ω και βρίσκουμε αποτέλεσμα 10Χ+Ψ-Ω.
Τώρα ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιος του 11 σημαίνει ότι 10Χ+Ψ-Ω=11λ , με λ ακέραιο. Άρα Ω=10Χ+Ψ-11λ
Τώρα έχουμε: ΧΨΩ=100Χ+10Ψ+Ω=100Χ+10Ψ+10Χ+Ψ-11λ=110Χ+11Ψ-11λ=11(10Χ+Ψ-λ)
Άρα ο τριψήφιος ΧΨΩ διαιρείται με το 11.
Αν τώρα ο 10Χ+Ψ-Ω δεν είναι πολ/σιος του 11, τότε θα ισούται με 11λ+1 ή 11λ+2 ή ... ή 11λ+10
1η περ. Αν 10Χ+Ψ-Ω=11λ+1 τότε Ω=10Χ+Ψ-11λ-1
Άρα ΧΨΩ=100Χ+10Ψ+Ω=100Χ+10Ψ+10Χ+Ψ-11λ-1=110Χ+11Ψ-11λ-1=11(10Χ+Ψ-λ)-1, άρα δεν είναι πολ/σιος του 11.
Όμοια και για τις άλλες περιπτώσεις, και όμοια και για τους τετραψήφιους κλπ αριθμούς

georgemarga · #9

Θα επιχειρήσω και εγώ μιά απόδειξη

Έστω ο αριθμός με ν ψηφία Α=XνΧν-1.....Χ2Χ1. τοτε είναι
Α=10^ν-1*Xν + 10^ν-2*Xν-1 + .... + 10^1* Χ2 + Χ1
Δηλαδή
Α=(11-1)^ν-1 * Xν + (11-1)^ν-2 * Xν-1 + .... + (11-1)^1 * Χ2 + Χ1
Αφού αναπτυχθούν τα δυώνυμα όλοι οι όροι περιέχουν το 11 και παραμένουν μόνο οι τελευταίοι του κάθε αναπτύγματος οπότε αν
ν αρτιος
θα πρέπει ο αριθμός -Xν + Χν-1 -....- Χ2 +Χ1 ή ο αντίστροφός του Xν - Χν-1 -....+ Χ2 -Χ1 να διαιρείται με το 11 ή να είναι μηδεν
ν περιττός
θα πρέπει ο αριθμός Xν - Χν-1 -....- Χ2 +Χ1 να διαιρείται με το 11 ή να είναι μηδεν
και στις δύο περιπτώσεις ξεκινάμε από το μεγαλύτερο ψηφίο του αριθμού και αφαιρούμε το δευτερο προθέτουμε το τρίτο αφαιρούμε το τέταρτο κλπ αν το τελικό αποτέλεσμα είναι 0 ή 11 τότε ο αριθμός διαιρείται με το 11

Γιώργος Μ

joks · #10

καλησπερα.το προβλημα αυτο λυνεται ευκολα και με modula απο θεωρια αριθμων.
η μοναδα ειναι 1 modulo11
το 10=-1 modulo11
το 100=10 στο τετραγωνο=(-1) στο τετραγωνο modulo11=1
το 1000=10 στην τριτη=(-1) στην τριτη=-1 modulo 11,κτλ

Αρα για να βρω αν διαιρειται ενας αριθμος με το 11 προσθαφαιρω τα ψηφια του ξεκινωντας απο τις μοναδες με +

1542=2-4+5-1=2 και αρα δεν διαιρειται γιατι εχει υπολοιπο 2. 1542=140χ11+2
ενω
15422=2-2+4-5+1=0 και αρα διαιρειται. 15422=1402χ11

#11

Αν χρωματίσουμε το σχήμα, προκύπτει εύκολα το άθροισμα δύο διαδοχικών τετραγώνων: n^2+(n-1)^2

michmak · #12

Θα επιχειρήσω να μιλήσω γιατί ισχύει η πρόταση της μικρής.

Επειδή, όπως αναφέρθηκε, $10\equiv -1mod11$ είναι $10^{\nu }\equiv \left(-1 \right)^{\nu }mod11$ .

Οπότε αν $\bar{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k}}$ ο αριθμός που θέλουμε να διαιρέσουμε με το 11 θα είναι
$\bar{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k}}\equiv a_{1}10^{k-1}+a_{2}10^{k-2}+...+a_{k-1}10+a{k} \equiv a_{1}(-1)^{k-1}+a_{2}(-1)^{k-2}+...+a_{k-1}(-1)+a_{k}mod11$

Δηλαδή αν ο αριθμός διαιρείται με το 11 (έχει υπόλοιπο 0) θα ισχύει ότι $a_{1}(-1)^{k-1}+a_{2}(-1)^{k-2}+...+a_{k-1}(-1)\equiv -a_{k}mod11$ .

Από την άλλη ο αριθμός $\bar{a_{1}a_{2}...a_{k-1}0}\equiv -\bar{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}mod11$ . Επειδή οι δυνάμεις του -1 είναι τώρα κατά 1 μικρότερες. Και για την προηγούμενη σχέση θα ισχύει επομένως

$-\bar{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}\equiv -a_{k}mod11$ Άρα και

$\bar{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}\equiv a_{k}mod11$ δηλαδή

$\bar{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}- a_{k}\equiv 0mod11$

Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αν "διαγράψουμε" το τελευταίο ψηφίο από ένα αριθμό, τότε το αποτέλεσμα της διαφοράς του ψηφίου από τον αριθμό που "μένει", είναι αριθμός που έχει το ίδιο υπόλοιπο (και άρα διαιρείται ή δεν διαιρείται με το 11) με τον αρχικό αριθμό.

Η απόδειξη φυσικά είναι για τον ...,μπαμπά και όχι για την κόρη (πιστεύω...) στην οποία αξίζουν πραγματικά και ειλικρινή συγχαρητήρια....

Μακρίδης Μιχάλης

Μαθηματικός

michmak · #13

Μετὰ ἀπὸ ...τρία χρόνια

καὶ ἐνῷ ἡ μικρὴ ἔχει σίγουρα μεγαλώσει.... νὰ κάνω καὶ μία προσθήκη: Τὸ κόλπο της γιὰ νὰ βρίσκει ἂν ἕνας ἀριθμὸς διαιρεῖται ἢ ὄχι μὲ τὸ 11 "πιάνει" βέβαια ἀλλὰ σὲ περίπτωση ποὺ δὲν διαιρεῖται δὲ μᾶς δηλώνει τὸ ὑπόλοιπό του!!!!!!!

Κι αὐτὸ γιατὶ ἂν ἕνας ἀριθμὸς (πολυψήφιος) εἶναι ἰσοδύναμος μὲ λmod11 ὁ ἀριθμὸς ποὺ προκύπτει ἀπὸ τὴν ἀφαίρεση τοῦ ψηφίου τῶν μονάδων εἶναι ἰσοδύναμος μὲ -λmod11

Ἁπλῶς στὴν περίπτωση τοῦ 0 ...δὲν ὑπάρχει πρόβλημα...

Τὸ γιατί, ἀς τὸ ἀφήσουμε γιὰ τοὺς μικρούς μας φίλους...

Βρες το μοτίβο !

Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Re: Βρες το μοτίβο !

Μέλη σε σύνδεση