Aνισότητα

Grigoris · #1

Έστω $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ δύο συνεχείς συναρτήσεις γνησίως αύξουσες.Να δείξετε ότι
$\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\cdot \underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,g\left( x \right)dx<\left( b-a \right)\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)g\left( x \right)dx$

#2

Grigoris έγραψε:Έστω $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ δύο συνεχείς συναρτήσεις γνησίως αύξουσες.Να δείξετε ότι
$\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\cdot \underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,g\left( x \right)dx<\left( b-a \right)\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)g\left( x \right)dx$

Πρόκειται για την κλασική ανισότητα Chebyshev. Η στάνταρ απόδειξη είναι:
Θεωρούμε την προφανή ανισότητα (f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) > 0

.
Πολλαπλασιάζουμε, ότι βρούμε το ολοκληρώνουμε ως προς

από

έως

, και ότι προκύψει το ολοκληρώνουμε ως προς

από

έως

. Το αποτέλεσμα διαιρεμένο δια δύο, είναι το ζητούμενο.

Μ.

#3

viewtopic.php?f=54&t=11914
viewtopic.php?f=54&t=1789

Aνισότητα

Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Μέλη σε σύνδεση