Ερώτηση Σ-Λ

nonlinear · #1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ο κύβος της υποτείνουσας είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των κύβων των δυο άλλων πλευρών.
Σωστό η Λάθος;

#2

Μήπως πρέπει να αφήσουμε το ενδιαφέρον αυτό ερώτημα στους μαθητές μας; Είναι ότι πρέπει.

Μ.

Γιάννης Σταυριανάκης · #3

Λάθος, αλλά με δοκιμή το συμπέρανα. Υπάρχει κάποια απόδειξη;

Ζητώ συγγνώμη που βιάστηκα να απαντήσω, κάνοντας μάλιστα λάθος στις πράξεις. Η πρόταση είναι σωστή (απόδειξη υπάρχει παρακάτω).

#4

Γιάννης Σταυριανάκης έγραψε:Λάθος, αλλά με δοκιμή το συμπέρανα. Υπάρχει κάποια απόδειξη;

Ναι, υπάρχει απόδειξη.

Η μέθοδος "με δοκιμή" δεν είναι επιτρεπτή στα Μαθηματικά όταν πάμε να αποδείξουμε κάτι γενικό.

Στα Μαθηματικά πρέπει να τεκμηριώνουμε τους συλλογισμούς μας με απόδειξη. Οι δοκιμές είναι αυτό που λέει η λέξη, δηλαδή είναι μόνο ένας πειραματισμός. Με τέτοιους πειραματισμούς αυξάνει την πεποίθησή μας ότι το αποτέλεσμα μάλλον είναι σωστό, αλλά στο τέλος πρέπει να κάνουμε πλήρη απόδειξη, που να περιλαμβάνει όλες τις περιπτώσεις που εξετάζουμε.

Κάνε ακόμη μία προσπάθεια. Θα σου δώσω μία υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

irakleios · #5

nonlinear έγραψε:Σε ορθογώνιο τρίγωνο ο κύβος της υποτείνουσας είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των κύβων των δυο άλλων πλευρών.
Σωστό η Λάθος;

Παρόμοιο θέμα είναι η ασκ. 3 από τα σύνθετα θέματα σελ 194 σχολ. βιβλίου

irakleios · #6

Γιάννης Σταυριανάκης έγραψε:Λάθος, αλλά με δοκιμή το συμπέρανα. Υπάρχει κάποια απόδειξη;

ποιό παράδειγμα βρήκες και την είπες λάθος ;

ένας άλλος τρόπος είναι : εσύ έχεις ότι c^2 = a^2 + b^2

(*) και θέλεις να δείξεις ότι c^3 > a^3 + b^3

(**)

πολλαπλασίασε την (*) με c και κάνε αντικατάσταση στην (**).

Γιάννης Σταυριανάκης · #7

Ευχαριστώ πολύ για τις υπόδειξεις. Με την αντικατάσταση βγαίνει ότι $\alpha ^{2}\left(a-c \right)+b^{2}\left(b-c \right)<0$ το οποίο ισχύει αφού η c ως υποτίνουσα είναι μεγαλύτερη απο a,b άρα έχουμε άθροισμα 2 αρνητικών αριθμών.

Γιάννης Σταυριανάκης · #8

Με λίγο διαφορετικό τρόπο χρησιμοποιώντας και την υπόδειξη του κ. Λάμπρου: $a^{3}>b^{3}+c^{3}\Leftrightarrow a^{2}>\frac{b}{a}b^{2}+\frac{c}{a}c^{2}\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}>\frac{b}{a}b^{2}+\frac{c}{a}c^{2}$ το οποίο ισχύει αφού τα $\frac{b}{a}$ , $\frac{c}{a}$ <1

nonlinear · #9

Μπορούμε να κάνουμε και το εξής : εάν c η υποτείνουσα και a,b οι δυο κάθετες τότε

$\displaystyle{\begin{array}{l} {b^3} < {b^2} \cdot c\\ {a^3} < {a^2} \cdot c\\ {a^3} + {b^3} < \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cdot c = {c^2} \cdot c = {c^3} \end{array}}$

(Beautiful)

Υπάρχει και μια άλλη αλλά θα την αναφέρω αργότερα δεν φτάνει το περιθώριο.

#10

Πολυ ωραίες οι παραπάνω λύσεις. Ας βάλω αυτήν που εννοούσα με την υπόδειξη:

Aν a η υποτείνουσα και b, c oι δύο κάθετες, τότε $\frac{b}{a}< 1, \frac{c}{a}< 1$ . Έτσι

$\displaystyle{\frac{b^3+c^3}{a^3}= \left( \frac{b}{a} \right)^3 + \left( \frac{c}{a} \right)^3 < \left( \frac{b}{a} \right)^2 + \left( \frac{c}{a} \right)^2= \frac{b^2+c^2}{a^2}= 1}$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

gtk1994 · #11

Μια παρόμοια λύση :
Έστω ορθ.τρίγωνο με a υποτείνουσα και b,c κάθετες πλευρές
Τότε, a>b (*)

kai

$a^{2}=b^{2}+c^{2}\Rightarrow a^{3}=a(b^{2}+c^{2})\Rightarrow$
Άρα, αρκεί να δείξουμε ότι
$a(b^{2}+c^{2})>b^{3}+c^{3}$ ή
$ab^{2}+ac^{2}-b^{3}-c^{3}>0$ ή
$b^{2}(a-b) + c^{2}(a-c)>0$ , το οποίο ισχύει από (*), (**)

Άρα, η πρόταση είναι σωστη

ΥΓ: Μόλις τώρα είδα ότι παραπάνω διατυπώθηκε η ίδια ακριβώς λύση, αλλά την κράταω για τον κόπο μου (δεν ξέρω ακόμα πολύ καλά να χειρίζομαι το latex editor

)

nonlinear · #12

Mια ακόμη απάντηση σε αυτό το θέμα εαν c η υποτείνουσα και a,b, oι κάθετες πλευρές τότε :

$\displaystyle{{c^3} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}} \cdot {a^3} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \cdot {b^3}}$

όπου φυσικά $\displaystyle{{c^2} = {a^2} + {b^2}}$ .

S.E.Louridas · #13

Ας τιμήσουμε και εμείς τον προτείνοντα (Ναι με χαρά) και για λόγους Μαθηματικής πολυφωνίας.
$a^3 \leqslant b^3 + c^3 \Rightarrow 1 \leqslant \sin ^3 B + \cos ^3 B,\mu \varepsilon \,1 = \sin ^2 B + \cos ^2 B \Rightarrow$
$\sin ^2 B(1 - \sin B) + \cos ^2 B(1 - \cos B) \leqslant 0 \Rightarrow \sin B = \cos B = 1,$ ή 1=2 ??.

(*) Επειδή στα Μαθηματικά οι τίτλοι (Ανάλυση, Γεωμετρία, Αλγεβρα,........) είναι σύμμαχοι τίτλοι αφού στηρίζονται σε μία σκέψη, την Μαθηματική Σκέψη και γιά αυτό παράγουν Μεγαλείο και οδηγούν στην πραγματική Ελευθερία σκέψης.

S.E.Louridas

nonlinear · #14

Ακόμη μια (και η τελευταία ?):

Με $\displaystyle{{c^2} = {a^2} + {b^2}}$ θέλω να δείξω ότι η $\displaystyle{A = {a^3} + {b^3} - {c^3}}$ ειναι αρνητικη.
Αυτή παραγοντοποιειται ως εξής : $\displaystyle{A = {a^3} + {b^3} - {c^3} = \left( {a + b} \right) \cdot \left( {a - c} \right) \cdot \left( {2a - b + c} \right) < 0}$ προφανές.

S.E.Louridas · #15

Ας δούμε το θέμα μας σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα 1 και κάθετες πλευρές b, c (Αυτή η όμορφη ομοιότητα). Ας παρακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία:
$b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow b,c \leqslant 1.\,{\rm A}\nu \,b^3 + c^3 \geqslant 1 \Rightarrow \left( {b^3 + c^3 } \right)^2 \geqslant \left( {b^2 + c^2 } \right)^3 \Rightarrow bc \geqslant \frac{3}{2} \Rightarrow 1 \geqslant \frac{3}{2}\,??.$

S.E.Louridas

Ανδρέας Πούλος · #16

Προκαλώ την φαντασία μας
και τις γνώσεις μας από την Ιστορία των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών.
Αν υποθέσουμε ότι το ερώτημα αυτό είχε τεθεί σε κάποια Σχολή της αρχαίας εποχής,
με ποιον τρόπο θα δινόταν η απόδειξη;
Κώστα Δόρτσιο, ετοίμασε το τρισδιάστατο Cabri. :spam:

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

S.E.Louridas · #17

Εστω ΑΒΓ το ορθογώνιο τρίγωνο με <Α=90-μοίρες.
Αν έχουμε τρείς κύβους με αντίστοιχες ακμές ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ και ο όγκος του κύβου με ακμή την ΒΓ είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των όγκων των κύβων με ακμές ΑΒ, ΑΓ τελειώσαμε.

S.E.Louridas

Ερώτηση Σ-Λ

Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Μέλη σε σύνδεση