Συναρτησιακή εξίσωση - Δ3.33

Συντονιστής: Demetres

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Συναρτησιακή εξίσωση - Δ3.33

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Δεκ 22, 2009 7:16 pm

Σε συνέχεια του viewtopic.php?f=52&t=4167 προτείνουμε το εξής:

Πρόβλημα. Να βρεθούν (με απόδειξη) όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση

f(f(x))+f(x)=x

για κάθε x\in \mathbb{R}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Τρί Δεκ 22, 2009 9:26 pm

Δινω αρκετα ισχυρη υποδειξη.
Θεωρηστε y_n=f(y_{n-1})
και μετα αφου την λυσετε αποδειξτε οτι f(x)=bx οπου b μια ριζα της b^2+b=1
Αυτο να το δειξετε με την βοηθεια οτι η διαφορα (y_n-y_{n+1})(y_{n+1}-y_{n+2}) διατηρει προσημο λογω μονοτονιας
Με αυτο το μηνυμα(το 100στο ! ) θα ηθελα να ευχηθω, διοτι θα ειμαι εκτος σπιτιου για καποιες μερες λογω διακοπων , καλες γιορτες σε ολα τα μελη του forum και καλη συνεχεια


Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Τρί Δεκ 28, 2010 4:38 pm

Mετά απο προσωπικό μήνυμα του Δημήτρη δίνω αναλυτικά την λύση μου στο θέμα. (Αμφιβάλλω βέβαια για το κατα πόσο είχα σκεφτεί την ίδια συνέχεια και πέρυσι).
H παρακάτω προσέγγιση δείχνει γενικά πιστεύω μια μέθοδο αντιμετώπισης τέτοιων συναρτησιακών εξισώσεων. Μάλιστα η συγκεκριμένη είναι αρκετά απαιτητική και σίγουρα χαρακτηριστικό παράδειγμα.

Αρχικά παρατηρούμε ότι επειδή είναι συνεχής και 1-1 είναι και μονότονη. Επίσης τα όρια στο άπειρο είναι άπειρο καθώς σε αντίθετη περίπτωση η σχέση f(f(x))=x-f(x) θα μας έδινε άπειρο να ισούται με κάτι πεπερασμένο.

Άρα η f είναι 1-1 και επί. Άρα αντιστρέφεται η απεικόνιση και η αντίστροφη της g ικανοποιεί την σχέση x+g(x)=g(g(x))

Παίρνουμε ένα s στο R και t=f(s). Θεωρούμε την y_n=f(y_{n-1}) με y_0=s, και την x_n=g(x_{n-1}),με x_0=t.

Λύνοντας τις αναδρομικές παίρνουμε y_n=as_1^n+bs_2^n, και x_n=as_1^{1-n}+bs_2^{1-n}. (s_1>0>s_2 οι ρίζες του x^2+x-1, |s_2|>1>|s_1|)

Έστω ότι ab όχι μηδέν.

Eπειδή η f είναι μονότονη το (y_{n}-y_{n+1})(y_{n-1}-y_n)=y_{n+2}y_{n+1} διατηρεί πρόσημο που είναι το ίδιο με το πρόσημο του (x_{n+1}-x_{n})(x_{n}-x_{n-1})=x_{n-1}x_{n-2}.

Όμως αφού \frac{y_{n+1}}{y_n} \rightarrow s_2 και \frac{x_{n+1}}{x_n} \rightarrow s_1^{-1} θα έπρεπε s_1s_2 \geq 0 ενώ s_1s_2=-1.

Συνεπώς για κάθε s είτε a=0 , είτε b=0 άρα είτε f(s)=s_1s είτε f(a)=s_2s.

Ύστερα για να δούμε ότι σε κάθε περίπτωση μονοτονίας είναι μόνο η μία που μενει παίρνουμε ένα a>0 και υποθέτουμε ότι f(a)=s_2a και f αύξουσα. Tότε αν 0>b>\frac{as_2}{s_1} θα είχαμε είτε f(b)=s_2b>0>f(a) είτε f(b)=s_1b>as_2=f(a). Σε κάθε περίπτωση άτοπο.
Αφού για τα θετικά όμως έχουμε πάρει όλες τις θετικές τιμές μέσω της f λόγω του 1-1 το ζητούμενο έπεται και για τα αρνητικα.
(Η κατάσταση λόγω του προσήμου των s_1,s_2 είναι συμμετρική για f φθίνουσα)

EDIT: πρόσθεσα μελέτη της περίπτωσης ισότητας.
τελευταία επεξεργασία από Ilias_Zad σε Παρ Ιαν 07, 2011 8:41 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Δεκ 31, 2010 8:00 am

Να τονίσω ότι ο τρόπος του Ηλία δουλεύει και οταν έχουμε να κάνουμε με την αντίστροφη
Για παράδειγμα δείτε 10Δ5-6 σελίδα 76 εδώ


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Δ3.39

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιαν 30, 2011 11:25 am

Ας σημειωθεί ότι to πρόβλημα με την αντίστροφη

*************************************************************************************

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση

f(f(x))=f(x)+x

για κάθε x\in \mathbb{R}.

*************************************************************************************

τέθηκε στο Διεθνικό Μαθηματικό Διαγωνισμό Ουγγαρίας-Ισραήλ το 2001.

Μια λύση από τον Pierre Bornsztein, δημοσιεύτηκε στο Crux, Vol. 31§, No.8, Δεκέμβριος 2005, σελ. 510-511.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες