Χώροι

kritiman · #1

Αρχικά
Καλως ήρθα ,

Ειμαι πολύ χαρούμενος που βρήκα ένα φόρουμ να ρωτήσω κάτι που έχει σχέση με μαθηματικά
γιατί πίστευα ότι δεν θα λάβω ποτέ απάντηση.

Έχει φτάσει ένα τρίημερο πριν την εξεταστική και ενας φίλος μου έστειλε την ακολουθη ασκηση

Να αποδείξετε ότι το σύνολο U είναι υπόχωρος του $\mathbb{R}^3$ διάστασης 2, αν, και μόνον αν, είναι
$U={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:ax+by+cz=0,(a,b,c)\neq(0,0,0)}.$
Ποια είναι η γεωμετρική παράσταση του συνόλου U

Είναι σαφώς επίπεδο.
Το θέμα είναι ότι σε καθε μία απο τις αποδειξεις που χρησιμοποιώ για το λύσω ,χειρίζομαι γεωμετρία
Για το ευθύ το οτι ειναι υποχωρος ειναι σαφες
Για να πω ομως οτι είναι διαστασης 2 βάζω μέσα γεωμετρία
Η υποδειξη του καθηγητή μας ήταν να μην χρησιμοποιούμε στους χώρους γεωμετρία αλλα μόνο το ανάστροφο.Αφου οι χωροι δημιουργηθηκαν για να δουλέψουμε καλύτερα την αναλυτικη γεωμετρία
Τώρα δεν ξέρω
Αν κάποιος έχει να μου κάνει κάποια πρόταση θα ήταν ευπρόσδεκτη

#2

kritiman καλωσόρισες.

Για να χαθεί η γεωμετρική διαίσθηση θα σου δώσω μια λίγο διαφορετική άσκηση.

Πως θα αποδείξεις ότι ένας σύνολο

είναι υποχώρος του $\mathbb{R}^5$ διάστασης 4 αν και μόνο αν υπάρχουν $a,b,c,d,e \in \mathbb{R}$ , όχι όλα 0 ώστε $\displaystyle{ U = \{(u,v,w,x,y) \in \mathbb{R}^5: au+bv+cw + dx + ey = 0\}}$ ;

Ίσως στις διαλέξεις να περιοριστήκατε σε υποχώρους του $\mathbb{R}^3$ ακριβώς για να υπάρχει η γεωμετρική διαίσθηση. Αν όμως μπορείς να λύσεις την άσκηση που έβαλες χωρίς γεωμετρία τότε δεν θα έχεις κανένα πρόβλημα να λύσεις και την άσκηση που έβαλα εγώ και αντιστρόφως.

#3

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Υπόδειξη: Αν ο υπόχωρος είναι δύο διαστάσεων, έχει βάση u_1=(x_1,y_1,z_1), u_2=(x_2, y_2, z_2)

.

Κάθε άλλο διάνυσμα u=(x,y,z)

είναι της μορφής
(x,y,z) =A(x_1,y_1,z_1),+B(x_2, y_2, z_2)

.

Από αυτό παίρνουμε τρεις ισότητες. Από δω και πέρα μπορούμε να συνεχίσουμε πιο σβέλτα, αλλά ένας τρόπος είναι να λύσουμε ως προς A, B

από τις δύο πρώτες (ή άλλες κατάλληλες δύο: έχει σημασία αυτό γιατί κάποιες ορίζουσες μπορεί να είναι 0) και αντικαθιστούμε στην τρίτη. Θα βγεί στη μορφή που θέλουμε.

Πιο απλά, αλλά κατά τι γεωμετικά, το

είναι κάθετο στο κάθετο διάνυσμα του επιπέδου. Δηλαδἠ ισχύει $u\cdot (u_1\times u_2) =0$ . Αυτή δίνει αμέσως το ζητούμενο.
Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

Φιλικά,

Μιχάλης

kritiman · #4

Σας ευχαριστώ και τους δυο
Τι εννοειτε κυριε Μιχάλη εκει που λέτε πιο σβελτα?
Αναφέρεστε στο ευθύ τρόπο δηλαδή στο να έχω το

ως σύνολο και να θέλω να δείξω οτι είναι υπόχωρος και διαστασης 2

Μπορειτε να επεξηγήσετε λίγο την μεθοδολογία ,γιατι αν και πολύ ενδιαφερουσα και αν και ειμαι τακτικος παρακολουθητής των διαλέξεων της σχολής μου,δεν την εχω συναντησει καπου

kritiman · #5

Νομίζω οτί κατάλαβα

$U=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 ax+by+cz=0 ,(a,b,c)\neq(0,0,0)$
Δεν μπαίνω σε διαδικασία να αποδείξω ότι είναι υπόχωρος ,είναι τετριμμένο.
Πάμε για την διάσταση
Θα κάνουμε μια υπόθεση και αν καταλήξουμε σε κάτι προφανές τότε η υπόθεση είναι σωστή
Έστω ότι έχει διάσταση 2 άρα προκύπτουν τα δυο διανύσματα που είπατε
και οι εξισώσεις που βγάλατε

$\\x=(Ax_1+Bx_2)\\y=(Ay_1+By_2)\\z=(Az_1+Bz_2)$
Τώρα θα πρέπει να ισχύει οτι $ax+by+cz=0\to A(ax_1+by_1+cz_1)+B(ax_2+by_2+cz_2)=0$ όμως τα u_1,u_2

είναι βάσεις του

Άρα οι συντεταγμένες τους τον επαληθεύουν άρα έχουμε ότι $A\cdot 0+B \cdot 0 =0\to 0=0$ που ισχύει άρα ισχύει και η αρχική μας υπόθεση

kritiman · #6

Το ερώτημα είναι με αυτό τον τρόπο απέδειξα και το ευθύ και το αντίστροφο?

#7

kritiman έγραψε: Τώρα θα πρέπει να ισχύει οτι $ax+by+cz=0\to A(ax_1+by_1+cz_1)+B(ax_2+by_2+cz_2)=0$ όμως τα είναι βάσεις του Άρα οι συντεταγμένες τους τον επαληθεύουν άρα έχουμε ότι $A\cdot 0+B \cdot 0 =0\to 0=0$ που ισχύει άρα ισχύει και η αρχική μας υπόθεση

kritiman, προσοχή. Με όλο τον σεβασμό, ας τονίσω ότι η λογική της απόδειξης που κάνεις είναι πάρα πολύ λάθος. Δεν έχεις αποδείξει τίποτα. Ούτε το ευθύ ούτε το αντίστροφο.

Είναι δύσκολο στο πληκτρολόγιο να σου εξηγήσω τα αδύνατα σημεία της απόδειξής σου, και σου ζητώ συγνώμη που δεν γράφω περισσότερα. Θα σε παρακαλούσα όμως να διαβάσεις με προσοχή την υπόδειξη που σου δίνω. Αφού την μελετήσεις, ρωτήσεις, ψάξεις, με χαρά θα επανέλθουμε.

Ένα σημείο εκκίνησης, είναι αριθμητικό παράδειγμα: πες ότι τα δύο ανεξάρτητα διανύσματα του υποχώρου (του επιπέδου, δηλαδή) είναι τα $u_1= (1,1,-1), \, u_2=(2,0,-1)$ . Ποιά είναι η εξίσωση του επιπέδου; (Πρέπει να βρεις x+y+2z=0

).

Φιλικά,

Μιχάλης

kritiman · #8

To μόνο που μου ρχεται είναι οτι το συστημα θα πρεπει να επαληθευει καθε τριαδα αρα η οριζουσα είναι ίση με μηδέν
Αλλα και αυτό δεν μου αρέσει

Γενικά πάντως θεωρώ ότι είναι καλό να μην το λύσω με γεωμετρία, που βασικά αυτό έκανα
Αν θέλετε να δώσετε κάτι παραπάνω γιατι στέρευσαν οι ιδέες
κυριε μιχάλη σας ευχαριστω και πάλι
Αν δεν σας είναι κόπος να μου εξηγούσατε την σκέψη σας.Οχι μόνο για την λύση ως λύση ,αλλα και να καταλάβω που πηγάζει

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε:Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

Δεν ξέρω τί ύλη έχετε καλύψει αλλά ένας από τους άλλους τρόπους που αναφέρει ο Μιχάλης Λάμπρου είναι, κάπως αναλυτικά, και ο ακόλουθος:
Η απεικόνιση
$f:\mathbb{R}^3 :\rightarrow \mathbb{R}$
με f(x,y,z)=ax+by+cz

είναι γραμμική.
Η εικόνα της είναι υπόχωρος του $\mathbb{R}$ και επομένως
Α) ή θα είναι ο μηδενικός υπόχωρος (αυτό θα συμβεί όταν a=b=c=0

Β) είτε θα είναι ο $\mathbb{R}$ (αυτό θα συμβεί όταν κάποιο από τα a, b, c είναι διάφορο του μηδέν δηλαδή όταν $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ ).
'Εχουμε λοιπόν
$(a,b,c)\neq(0,0,0)$ $\Leftrightarrow$
η εικόνα της

είναι ο $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$
η διάσταση της εικόνας της

είναι 1 $\Leftrightarrow$
η διάσταση του πυρήνα της

είναι 2
(αυτό το τελευταίο από την σχέση : διάσταση εικόνας+διάσταση πυρήνα=διάσταση του χώρου όπου ορίζεται η γραμμική απεικόνιση)

Αλλά ο πυρήνας (που είναι πάντα υπόχωρος) απαρτίζεται από τα στοιχεία του $\mathbb{R}^3$ που μηδενίζουν την

εν προκειμένω από τα (x,y,z)

με

. Δηλαδή το σύνολο που μας απασχολεί είναι υπόχωρος και έχει διάσταση 2 αν και μόνο αν $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ .

Μαυρογιάννης

nonlinear · #10

kritiman έγραψε: Η υποδειξη του καθηγητή μας ήταν να μην χρησιμοποιούμε στους χώρους γεωμετρία αλλα μόνο το ανάστροφο.Αφου οι χωροι δημιουργηθηκαν για να δουλέψουμε καλύτερα την αναλυτικη γεωμετρία

Δεν ξέρω τι θα είχε να πει ο καθηγητής σου σε βιβλία όπως αυτό εδώ όπου η μελέτη της Γραμμικής Άλγεβρας γίνεται μέσω της Γεωμετρίας αλλά βρίσκω την δήλωσή αυτή 'κάπως στενή'.

#11

nonlinear έγραψε:
kritiman έγραψε: Η υποδειξη του καθηγητή μας ήταν να μην χρησιμοποιούμε στους χώρους γεωμετρία αλλα μόνο το ανάστροφο.Αφου οι χωροι δημιουργηθηκαν για να δουλέψουμε καλύτερα την αναλυτικη γεωμετρία
Δεν ξέρω τι θα είχε να πει ο καθηγητής σου σε βιβλία όπως αυτό εδώ όπου η μελέτη της Γραμμικής Άλγεβρας γίνεται μέσω της Γεωμετρίας αλλά βρίσκω την δήλωσή αυτή 'κάπως στενή'.

nonlinear, δεν βρίσκω καθόλου παράλογη την απαίτηση του καθηγητή. Για να ζητήσει να μην γίνει χρήση γεωμετρίας εικάζω ότι η γεωμετρική προσέγγιση έχει ήδη διδαχθεί και κατανοηθεί από τους μαθητές εν αντιθέσει με την αλγεβρική προσέγγιση.

Δεν μπορώ να γνωρίζω βέβαια τι ακριβώς και πως το έχουν διδαχθεί σε αυτό το μάθημα. Αν σκοπός της άσκησης ήταν η κατανόηση του θεωρήματος που σχετίζει την τάξη του πίνακα με την διάσταση του πυρήνα (όπως το χρησιμοποιεί ο Νίκος πιο πάνω) τότε σωστά ζήτησε να μην γίνει χρήση γεωμετρίας.

kritiman · #12

Ζητω συγγνωμη αλλα καθώς περίμενα να μάθω την λύση της ασκησης με γραμμικη αλγεβρα,,,,ο καθηγητής με "κέρασε" με ένα "ΟΜΟΙΩΣ"....
Αν θα ήταν δυνατόν κάποιος σας να παραθέσει μια πλήρη λύση

#13

Έστω $a,b,c \in \mathbb{R}$ και $U = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : ax + by +cz = 0\}$ .

Θα θεωρήσω ότι γνωρίζεις πως να αποδείξεις ότι ο

είναι υποχώρος του $\mathbb{R}^3$ .

Ένας τρόπος για να αποδείξεις το ζητούμενο είναι όπως εξήγησε αναλυτικά ο Νίκος Μαυρογιάννης πιο πάνω. Ένας διαφορετικός τρόπος είναι ο εξής:

Ας υποθέσουμε ότι ο χώρος έχει διάσταση 2. Τότε θα υπάρχει $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ με $(x,y,z) \notin U$ . Άρα $ax + by + cz \neq 0$ και άρα $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ .

Για το αντίστροφο ας υποθέσουμε ότι $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a \neq 0$ . Τότε έχουμε $(-b/a,1,0) \in U$ και $(-c/a,0,1) \in U$ . Αυτά τα δυο διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. (Στο αφήνω ως άσκηση.) Άρα ο

έχει διάσταση τουλάχιστον 2. Για να συμπληρωθεί η απόδειξη αρκεί να δείξουμε ότι ο

δεν έχει διάσταση 3. Αρκεί λοιπόν να βρούμε ένα διάνυσμα που δεν ανήκει στο

. Ένα τέτοιο διάνυσμα είναι το (1,0,0)

.

kritiman · #14

Demetres έγραψε:Έστω $a,b,c \in \mathbb{R}$ και $U = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : ax + by +cz = 0\}$ .

Θα θεωρήσω ότι γνωρίζεις πως να αποδείξεις ότι ο είναι υποχώρος του $\mathbb{R}^3$ .

Ένας τρόπος για να αποδείξεις το ζητούμενο είναι όπως εξήγησε αναλυτικά ο Νίκος Μαυρογιάννης πιο πάνω. Ένας διαφορετικός τρόπος είναι ο εξής:

Ας υποθέσουμε ότι ο χώρος έχει διάσταση 2. Τότε θα υπάρχει $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ με $(x,y,z) \notin U$ . Άρα $ax + by + cz \neq 0$ και άρα $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ .[/color]

Για το αντίστροφο ας υποθέσουμε ότι $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a \neq 0$ . Τότε έχουμε $(-b/a,1,0) \in U$ και $(-c/a,0,1) \in U$ . Αυτά τα δυο διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. (Στο αφήνω ως άσκηση.) Άρα ο έχει διάσταση τουλάχιστον 2. Για να συμπληρωθεί η απόδειξη αρκεί να δείξουμε ότι ο δεν έχει διάσταση 3. Αρκεί λοιπόν να βρούμε ένα διάνυσμα που δεν ανήκει στο . Ένα τέτοιο διάνυσμα είναι το .

Θελω να σιγουρευτω ότι κατάλαβα αυτό το κόκκινο σημειο σημείο πως προέκυψε
η σχέση $ax+by+cz\neq 0 <=> (a,b,c)*(x,y,z)\neq 0$ και αφού ο συνδιασμός (x,y,z)=(0,0,0)

ανήκει στον υπόχωρο άρα δεν πρόκειται για τέτοια περίπτωση $(a,b,c)*(x,y,z)\neq 0 \ \ kai (x,y,z) \neq (0,0,0) \to (a,b,c)\neq0$ γιατί αν $(a,b,c)=(0,0,0)\to (a,b,c)*(x,y,z) = 0$ με $(x,y,z) \neq (0,0,0)$ Άτοπο
Υπάρχει καλύτερη εξήγηση που μου διαφεύγει-γιατι δεν μου αρέσει και πολύ αυτή-

#15

Τα πράγματα είναι πιο απλά.

Έχουμε βρει $x,y,z \in \mathbb{R}$ ώστε $ax + by + cz \neq 0$ . Αν (a,b,c) = (0,0,0)

τότε θα είχαμε ax + by + cz = 0

, άτοπο. Άρα $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ .

Χώροι

Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Re: Χώροι

Μέλη σε σύνδεση