Διδασκαλία της Γεωμετρίας

[killbill]

Ανοίγω αυτό το θέμα προκειμένου να συζητάμε:
1. τι διδάσκουμε και τι όχι στην ύλη της Γεωμετρίας.
2. Που δίνουμε έμφαση
3. ποιές αποδείξεις κάνουμε ποιές όχι
4. γενικές παρατηρήσεις στο βιβλίο (λάθη, παραλείψεις, επισημάνσεις)
5. γενικούς προβληματισμούς μας κατά τη διδασκαλία του μαθήματος.

Κάνω την αρχή, παραθέτοντας έναν προβληματισμό μου:
Κατά καιρούς με έχει προβληματίσει η σειρά και η δομή παρουσίασης των κεφαλαίων.
Αν ανατρέξει κανείς στα προηγούμενα σχολικά ετη, θα διαπιστώσει ότι η κατανομή των παραγράφων και των κεφαλαίων αλλάζει ριζικά!

Ας γίνω πιο συγκεκριμένος, αναφέροντας κάποιες περιπτώσεις:

1. Οι μαθητές θα διδαχθούν στο κεφάλαιο 3 ότι ένα κριτήριο ισότητας τριγώνων είναι αν έχουν μια πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες ίσες. Δεν διδάσκονται ή μάλλον δεν αντιλαμβάνονται ότι δεν είναι ανάγκη να είναι οι προσκείμενες αλλά 2 οποιεσδήποτε γωνίες αφού αν έχουν 2 γωνίες ίσες τότε θα είναι και οι 3ες.
Και ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι γιατί η πρόταση ότι το άθρσοιμα των γωνιων τριγώνου κάνει 180, το διδάσκονται στο κεφάλαιο 4 αφού η απόδειξή του χρησιμοποιεί παραλληλία....
Σε διαγώνισμά μου (έχοντας μπει στο 5ο κεφάλαιο πλέον) σε μια σύγκριση τριγώνων μαθητής μου είπε ότι δεν μπόρεσε να βγάλει δύο τρίγωνα ίσα γιατί ενώ είχε την μια πλευρά και την μια προσκείμενη γωνία δεν μπορούσε να βγάλει την 2η προσκείμενη όπως προστάζει το κριτήριο!

2. Πολλές αποδείξεις θεωρημάτων αλλά και πολλές ασκήσεις του βιβλίου θα μπορούσαν να λυθούν πολύ πιο εύκολα, με χρήση προτάσεων που όμως οι μαθητές θα διδαχθούν παρακάτω και επειδή υποτίθεται δεν τις έχουν διδαχθεί ακόμα, προτείνονται άλλοι πιο δύσκολοι τρόποι. Για παράδειγμα η χρήση της πρότασης "αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες τότε είναι ισοσκελές" είναι απαγορευτική για τις ασκήσεις στα τρίγωνα (μέχρι την σελίδα 53) και αυτό γιατί η απόδειξή της στηρίζεται στις ανισοτικές σχέσεις που αναφέρονται παρακάτω.
Λύνοντας μια άσκηση, μου λέει ένας μαθητής που θυμάται από το Γυμνάσιο: "Μα καλά δεν μπορούμε να πουμε κατευθείαν ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο γωνίες ίσες, και η άσκηση να λυθεί σε 1 γραμμή; ή το θεώρημα να αποδειχθεί σε 1 γραμμή;"
τι του απαντάς λοιπόν αυτού; Ναι, αλλα υποτίθεται δεν το έχουμε μάθει ακόμα; !!!

Αυτός είναι ο σκοπός μας στη Γεωμετρία; ή να διευκολύνουμε τη ζωή μας και την ζωή των μαθητών;

Έχω καταλάβει ότι ο "τεμαχισμός" ο "χωρισμός" συγγενικών εννοιών, έχει προκαλέσει σύγχυση στους μαθτηές!

Γνώμη μου θα ήταν η ύλη να ήταν οργανωμένη ώστε να μην διασπώνται οι έννοιες εξαιτίας του ότι η απόδειξη προυποθέτει κάποιες άλλες γνώσεις. Μπορούν να αναφέρονται οι προτάσεις την κατάλληλη στιγμή και απλά να αναγράφεται ότι αυτό θα αποδειχθεί στο επόμενο κεφάλαιο!

Εγώ για να ξεκαθαρίσω την θέση μου, κάποιες προτάσεις που αναφέρονται 100 σελίδες παρακάτω, αλλά θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να διευκολύνουν τα πράγματα πιο πριν, τις λέω στους μαθητές και τους λέω ότι την απόδειξη θα την δούμε σε επόμενα κεφάλαια!

Αυτό το φαινόμενο είναι ιδιαίτερα έντονο στη Γεωμετρία παρά στην Αλγεβρα και στην κατεύθυνση. Αν δει κανείς βιβλία Αλγεβρας του 60, θα δει ότι η σειρά των κεφαλαίων δεν έχει αλλάξει, ενώ το βιβλίο της Γεωμετρίας έχει αντικατασταθεί τις πιο πολλές φορές.

Ποιά η γνώμη σας;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Τα ίδια προβλήματα με τον πιο πάνω συνάδελφο είχα εντοπίσει πριν αρκετά χρόνια και εγώ (όταν ήμουν στο Λύκειο).
Συμφωνώ απολύτως ότι με την σειρά που μπαίνουν τα θεωρήματα στο βιβλίο, οι μαθητές μπερδεύονται και μάλιστα αρκετοί από τους μαθητές μας ρωτούν γιατί ακυρώνουμε τις γνώσεις που έχουν πάρει από το Γυμνάσιο. Μέχρι να τους εξηγήσουμε ποιο είναι το πνεύμα του σχολικού βιβλίου και να αρχίσουμε τις θεωρητικολογίες, έχουμε πετύχει αυτό που απευχόμαστε: Να μισήσουν τα παιδιά την Γεωμετρία. Θεωρώ και εγώ λοιπόν, ότι πρέπει να αλλάξει ριζικά η φιλοσοφία στην γραφή του βιβλίου του Λυκείου.

[killbill]

Οι προτάσεις και τα θεωρήματα θα πρέπει να γραφτούν ανά έννοιες και όχι με βάση το αν η απόδειξή τους χρησιμοποιεί πράγματα που ήδη έχουν αποδειχθεί! Δεν νομίζω ότι είναι τόσο τραγικό αν χρησιμοποιηθεί κάτι σε μια απόδειξη να αναφερθεί η φράση "το οποίο θα αποδειχθεί όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 4".
Σκοπός πρέπει να είναι να μείνει στον μαθητή η έννοια τη στιγμή που την μελετάει! Δεν το βρίσκω λογικό να κάνει τρίγωνα και να μην μαθαίνει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι 180 και αυτό να το συναντάει ξεκάρφωτα παρακάτω στο άσχετο μελετώντας την παραλληλία, επειδή αυτό αποδεικνύεται έτσι.

πχ Κεφάλαιο 1. Τρίγωνα: να αναφέρεται τι πρέπει να ξέρει ο μαθητής όσον αφορά τα τρίγωνα
Κεφάλαιο 2. Κύκλος: να αναφέρεται τι πρέπει να ξέρει ο μαθητής σε έναν κύκλο

στην παρούσα ύλη θεωρήματα για τα τρίγωνα θα βρει κανείς και στο κεφάλαιο 4, ενώ ο κύκλος εξετάζεται λίγο πολύ σε όλα τα κεφάλαια!

[nsmavrogiannis]

Αυτός είναι ο σκοπός μας στη Γεωμετρία; ή να διευκολύνουμε τη ζωή μας και την ζωή των μαθητών;...
Ποιά η γνώμη σας;

Συμφωνώ με την επισήμανση ότι τα παιδιά δυσκολεύονται να προσαρμοσθούν στην "παραγωγική" έκθεση της Γεωμετρίας στο Λύκειο. Δεν συμφωνώ όμως με την άποψη ότι θα έπρεπε αυτή να παραμερισθεί και να παρατίθενται διάφορες προτάσεις-εργαλεία οι οποίες θα χρησιμεύσουν που αλλού; Στην επίλυση ασκήσεων. Οι ασκήσεις στην Γεωμετρία όπως και σε άλλους κλάδους δεν είναι αυτοσκοπός. Ζητάμε από τους μαθητές μας να ασχοληθούν με αυτές όχι μόνο για να έχουν καλή τεχνική κατάρτιση αλλά και για να κατανοηθεί η θεωρία, να υπάρξει ένα είδος εμβάθυνσης και για να αποκτήσουν διανοητική πειθαρχία. Το τελευταίο παραβλέπεται αλλά είναι σημαντικό. Να μάθουν να βγάζουν συμπεράσματα από τα δεδομένα που έχουν και όχι άλλα και με τα εργαλεία που έχουν και όχι άλλα. Δεν είναι φοβερό να ζητήσουμε από τους μαθητές να κάνουν και κάποιες αποδείξεις (λίγες) με λίγα εργαλεία. Και να τους εξηγήσουμε ότι ακολουθούμε αυτήν την πορεία γιατί θέλουμε να παραγάγουμε πολλές αλήθειες από λίγες και ότι είναι σημαντικό να χρησιμοποιούμε μόνο ότι αποδεικνύουμε ή ακριβέστερα σχεδόν μόνο ότι αποδεικνύουμε.
Για τους λόγους αυτούς δεν θεωρώ απαραίτητο να αλλάξουν πολλάπράγματα στην σειρά έκθεσης (όχι στον τρόπο) του σχολικού βιβλίου. Η δική μας επέμβαση είναι αρκετή. Ας γίνω πιο συγκεκριμένος: Το κομβικό σημείο είναι η πρόταση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες. Επομένως είναι χρήσιμο να φθάσουμε όσο γίνεται πιο γρήγορα εκεί. Φθάνοντας εκεί έχουμε σχεδόν "εξαντλήσει" το απόθεμα γνώσεων των μαθητών από το Γυμνάσιο και τα παιδιά θα μπερδεύονται λιγότερο.
Αυτή η "προέλαση" προϋποθέτει ότι ο δάσκαλος
α) Θα παραιτηθεί από την αναλυτική παράθεση των αρχικών εννοιών που είναι λίγο πολύ γνωστές
β) Δεν θα επιμείνει πολύ σε ασκήσεις ισότητας τριγώνων που οι πιο πολλές είναι ασκήσεις συμμετρίας με πλήρως αναμενόμενα αποτελέσματα.
γ) Δεν θα επιμείνει σε πολύ τεχνικές αποδείξεις στις ανισότικές σχέσεις.
Ειδικά το β) είναι σημαντικό και για ένα άλλο λόγο: Η παρατεταμένη θητεί ατων παιδιών στην ισότητα τριγώνων τους δίνει την εσφαλμένη αντίληψη ότι αποτελεί και το απόλυτο αποδεικτικό εργαλείο και παραβλέπουν άλλα θεωρήματα δημιουργώντας, στην καλλίτερη περίπτωση, άνευ λόγου σχοινοτενείς αποδείξεις.
Προσωπικά ακολουθώ αυτή την πορεία αλλά δίνω πλήρεις αποδείξεις σε όλες τις προτάσεις ακόμη και σε μερικές που τα σαϊνια των επίσημων επιτροπών έχουν εξαιρέσει. Γιατί θεωρώ ότι η απόδειξη (όχι κατ΄ανάγκην η εκμάθηση της) ενός θεωρήματος έχει μεγαλύτερη παιδευτική αξία από την επίλυση μιας τετριμμένης άσκησης.
Μαυρογιάννης

[fmak65]

Συμφωνώ με τον κ. Μαυρογιάννη και επειδή οι μαθητές ξέρουν ότι δεν θα εξεταστούν στις πανελλήνιες σε Γεωμετρία κάπως την παραβλέπουν. Εγώ όταν έκανα σε Λύκειο , αλλά και τώρα στο ΕΠΑΛ προσπαθώ να τους μάθω κυρίως τρόπο σκέψης , να τους κινήσω το ενδιαφέρον με τρόπους σκέψης της καθημερινότητας και να τους παραλληλισω με τρόπους αποδείξεων και να μάθουν να δημιουργούν μια συγκροτημένη σκέψη , με βάση κάποια δεδομένα , χρήση των κατάλληλων εργαλείων (θεωρημάτων & πορισμάτων) & εξαγωγή συμπερασμάτων. Πιστεύω ότι έτσι μπορείς να κρατήσεις το ενδιαφέρον και όχι με την ασκησιολογία , που όσο όμορφες κι αν φαίνονται σε μας , στους μαθητές πολλές φορές είναι αδιάφορες ή και αγγαρεία.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Συμφωνώ με τον κ. Μαυρογιάννη και επειδή οι μαθητές ξέρουν ότι δεν θα εξεταστούν στις πανελλήνιες σε Γεωμετρία κάπως την παραβλέπουν. Εγώ όταν έκανα σε Λύκειο , αλλά και τώρα στο ΕΠΑΛ προσπαθώ να τους μάθω κυρίως τρόπο σκέψης , να τους κινήσω το ενδιαφέρον με τρόπους σκέψης της καθημερινότητας και να τους παραλληλισω με τρόπους αποδείξεων και να μάθουν να δημιουργούν μια συγκροτημένη σκέψη , με βάση κάποια δεδομένα , χρήση των κατάλληλων εργαλείων (θεωρημάτων & πορισμάτων) & εξαγωγή συμπερασμάτων. Πιστεύω ότι έτσι μπορείς να κρατήσεις το ενδιαφέρον και όχι με την ασκησιολογία , που όσο όμορφες κι αν φαίνονται σε μας , στους μαθητές πολλές φορές είναι αδιάφορες ή και αγγαρεία.

Φώτη, η πάνω από 35 χρόνια εμπειρία μου (ως φροντιστής επί 15 έτη και τα υπόλοιπα ως καθηγητής), μου έχει δείξει ότι ειδικά στην γεωμετρία, η ασκησιολογία (κατάλληλα όμως επιλεγμένες ασκήσεις), συναρπάζει περισσότερο τους μαθητές από την θεωρητικολογία. Νομίζω λοιπόν ότι είναι προτιμώτερο να τους δώσουμε τα απαραίτητα θεωρήματα (όπως αναφέρθηκε πιο πάνω από συνάδελφο), αποδείχνοντας όσα είναι εύκολο να κατανοήσουν, να τους μιλήσουμε για τα αξιώματα και τους ορισμούς και ύστερα να δώσουμε βάση στην επίλυση των ασκήσεων από τους μαθητές(και μέσα στην τάξη και στο σπίτι). Υπάρχει βέβαια ένας κίνδυνος: Να αγαπήσουν πιο πολύ την γεωμετρία από την άλγεβρα.
Και όπως έχει εξελιχθεί το σύστημα εισαγωγής στα Πανεπιστήμια, δεν ξέρω αν αυτό πρέπει να το επιδιώξουμε...


Ιωάννου Δημήτρης

Ιστιαία Ευβοίας

[polysot]

Η λογική του απλούστερου άρτιου οικοδομήματος επιστημονικής λογικής είναι αυτή που πρέπει να είναι ο σκοπός της γεωμετρίας.
Δια μέσου αυτής θα εντρυφήσει ο νέος στην παραγωγική σκέψη και πρέπει να είναι ο κυριότερος ΣΚΟΠΟΣ του μαθήματος. Τώρα, αν θα μάθει δύο θεωρήματα λιγότερα και 3-4 ασκήσεις λιγότερες είναι επουδιώδες νομίζω !
Η λογική της ύλης σε γενικές γραμμές είναι καλή και τα παιδιά πρέπει να ασκηθούν σε πράγματα που τα έχουν δει περιφερειακά στο γυμνάσιο με αυστηρότερα πλαίσια γύρω από την παραγωγική λογική και τα αξιωματικά συστήματα ! Η διαφορά αυτή είναι στο χέρι του διδάσκοντα να καταδειχθεί, να εμπλουτιστεί από κάποιες γεωμετρικές κατασκευές που εισάγουν πραγματική γεωμετρία, αλλά να χρησιμοποιηθούν και κάποιες λιγότερο γεωμετρικές - περισσότερο αλγεβρικές ασκήσεις, που όμως είναι εύκολες για να ενταχθεί ο μαθητής στη διαδικασία της ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ! Συμφωνώ με το Νίκο ότι αυτό μπορεί να γίνει γρήγορα, αλλά ΠΡΕΠΕΙ να γίνει και να μην παραλείπεται ! Εξάλλου πρέπει να μάθεις να ζεις και με τα λίγα για να μπορείς να επιβιώσεις, αλλά και να διεκδικείς ! Δεν είναι λοιπόν απαραίτητο να θεωρήσουμε απευθείας γνωστό ότι το τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών δύο ορθές, ας παιδευτούμε και λίγο πριν!!!
Τα απλά εργαλεία είναι χρήσιμα σε πολλές συνθήκες.

[killbill]

Με αφορμή την επανάληψη Γεωμετρίας Α τάξης, φέτος για πρώτη φορά έκανα την επανάληψή μου όχι ανά κεφάλαιο, αλλά ανά γεωμετρικές έννοιες. Για παράδειγμα είπα στα παιδιά, για να δούμε τι ιδιότητες μάθαμε στο τρίγωνο φέτος:
Έτσι αναφέρθηκαν
ιδιότητες από το 3ο κεφάλαιο
ιδιότητες από το 4ο κεφάλαιο (πχ άθροισμα γωνιών=180)
ιδιότητες από το 5ο κεφάλαιο (οι διάμεσοι συντρέχουν & ιδιότητα 2/3 κλπ)

το θεώρησα παιδαγωγικά πιό σωστό και άρεσε και στα παιδιά. Έτσι όταν θα βλέπουν ένα τρίγωνο να τους έρχονται στον νου όλα τα του τριγώνου ανεξάρτητα σε ποιό κεφάλαιο το διδάχθηκαν.

Αντιλαμβάνομαι και δικαιολογώ την σειρά παρουσίασης των θεωρημάτων του βιβλίου, αφού ακολουθείται η λογική "χτίζω πάνω στο προηγούμενο, ώστε να μπορώ να αποδείξω".
Θεωρώ όμως χρήσιμο στο τέλος του βιβλίου, να υπήρχαν συγκεντρωτικά τα θεωρήματα και ανά γεωμετρική έννοια

[killbill]

επαναφέρω τη συζήτηση με αφορμή ένα διαγώνισμα που έβαλα στα παιδιά, και όπου ζητούσα να χαρακτηρίσουν με Σωστό ή Λάθος την πρόταση:
Δύο τρίγωνα που έχουν μια πλευρά και 2 οποιεσδήποτε γωνίες ίσες είναι ίσα, και το 100% των μαθητών απάντησε ότι η πρόταση είναι λανθασμένη αφού το βιβλίο αναφέρει ότι πρέπει να είναι οι 2 προσκείμενες γωνίες και όχι 2 οποιεσδήποτε, κάτι που όμως είναι τελείως λάθος!

Τα παιδιά διαμαρτυρήθηκαν λέγοντας "μα έτσι λέει το βιβλίο". Αφού τους εξήγησα τους είπα να σβήσουν με μπλάνκο τη λέξη "προσκείμενες" από το βιβλίο και να την αντικαταστήσουν από τη λέξη "οποιεσδήποτε".

Είναι τόσο τραγικό δηλαδή να πούμε στα παιδιά ότι μπορούν να θεωρούν γνωστό και να χρησιμοποιούν την πρόταση ότι το άθροισμα των γωνίων είναι 180 μοίρες, που τους είναι εξάλλου γνωστό από το Γυμνάσιο, και να τους πουμε ότι για την απόδειξή του θα πρέπει να περιμένουν λίγα μαθήματα ακόμα όταν φτάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο;

Προτιμούμε δηλαδή να τους δίνεται λάθος εντύπωση ;
Είναι ωραίο δηλαδή, να λέμε στους μαθητές λύστε την άσκηση τάδε (ή αποδείξτε το θεώρημα τάδε) αλλά απαγορεύεται να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180 μοίρες γιατί υποτίθεται δεν το ξέρετε ακόμα;

Για μένα αυτά είναι απαράδεκτα πράγματα. Προκαλούν σύγχυση στους μαθητές, περιορίζουν την σκέψη και μεταδίδουν μια ελλειπή γνώση. Δεν πρέπει να περιορίζουμε τη σκέψη του μαθητή .
Κατά τη γνώμη μου πχ στο κεφάλαιο ΤΡΙΓΩΝΑ ο μαθητής θα πρέπει να είναι ελεύθερος να χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε πρόταση ξέρει από το Γυμνάσιο και ας μην έχει αποδειχθεί ακόμα μαθηματικά!

Προτείνω: ΟΛΑ τα θεωρήματα να διδάσκονται στο Γυμνάσιο χωρίς αυστηρή μαθηματική απόδειξη , αλλά εμπειρικά ακόμα και με μέτρηση με μια μεζούρα!!!!!! και στο Λύκειο να μπορούν να τα χρησιμοποιούν ΟΛΑ όποτε θέλουν σε όποιο κεφάλαιο θέλουν.
Το Γυμνάσιο δηλαδή τι ρόλο παίζει;

Είναι απαράδεκτο να λέει το βιβλίο ότι για να είναι ίσα δύο τρίγωνα πρέπει να έχουν μια πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες. Και να παιδεύεται ο μαθητής σε μια άσκηση να βγάλει οπωσδήποτε τις 2 προσκείμενες ενώ ίσως να είναι πολύ εύκολο να βγάζει οποιεσδήποτε 2 ...

Δηλαδή αν σε ένα διαγώνισμα βγάλει 2 άλλες γωνίες ίσες και όχι τις προσκείμενες εσείς θα του πάρετε λάθος; επειδή υποτίθεται δεν έχει διδαχθεί ότι το άθροισμα των γωνιών είναι 180?

αλήθεια βάλτε την ερώτηση Σωστού Λάθους "δύο τρίγωνα αν έχουν μια πλευρά και 2 οποιεσδηποτε γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα", να δείτε τι αποτελέσματα θα πάρετε. Μην ξεχάσετε να κάνετε με έντονα την λέξη "οποιεσδήποτε!!"

[Γιώργος Ρίζος]

Είναι απαράδεκτο να λέει το βιβλίο ότι για να είναι ίσα δύο τρίγωνα πρέπει να έχουν μια πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες. Και να παιδεύεται ο μαθητής σε μια άσκηση να βγάλει οπωσδήποτε τις 2 προσκείμενες ενώ ίσως να είναι πολύ εύκολο να βγάζει οποιεσδήποτε 2 ...

Δηλαδή αν σε ένα διαγώνισμα βγάλει 2 άλλες γωνίες ίσες και όχι τις προσκείμενες εσείς θα του πάρετε λάθος; επειδή υποτίθεται δεν έχει διδαχθεί ότι το άθροισμα των γωνιών είναι 180?

αλήθεια βάλτε την ερώτηση Σωστού Λάθους "δύο τρίγωνα αν έχουν μια πλευρά και 2 οποιεσδηποτε γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα", να δείτε τι αποτελέσματα θα πάρετε. Μην ξεχάσετε να κάνετε με έντονα την λέξη "οποιεσδήποτε!!"

Αρκετές φορές έχουμε συζητήσει το σχετικό θέμα.

Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες ίσες είναι ίσα. ΣΩΣΤΟ ._

Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και δύο οποιεσδήποτε γωνίες ίσες είναι δεν είναι απαραιτήτως ίσα.

Δες π.χ. το σχήμα (Το είχε δώσει ο Ν. Κατσίπης σε σχετική συζήτηση)

05-11-2011 Γεωμετρία β.jpg (10.14 KiB) Προβλήθηκε 2782 φορές

Επίσης μπορεί δύο τρίγωνα να έχουν 5 στοιχεία τους ίσα και να μην είναι ίσα.

ΔΕΣ ΕΔΩ

[killbill]

Σωστά!
Εννοούσα παραπάνω ότι αν βγάλει μια προσκείμενη ίσες και την απέναντι από την πλευρά ίσες (αντί για την 2η προσκείμενη που λέει το βιβλίο) τότε πάλι θα είναι ίσα τα τρίγωνα. Δεν είναι ανάγκη δηλαδή ο μαθητής να βγάζει πάντα υποχρεωτικά τις δύο προσκείμενες.

Για να είμαστε ακριβείς λοιπον, το σωστό είναι: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μια πλευρά και 2 οποιεσδήποτε αντίστοιχες γωνίες ίσες (δηλαδή προσκείμενη με προσκείμενη ή γωνία απέναντι από την πλευρά με την αντίστοιχη γωνία απέναντι από την πλευρά του άλλου). Το θέμα είναι να μην δωθεί η εντύπωση στον μαθητή ότι πρέπει οπωσδήποτε να βγάζει τις δύο προσκείμενες.

Τέλος πάντων, εγώ εμμένω στο ότι ο μαθητής πρέπει να έχει ελευθερία σκέψης στη Γεωμετρία και να μην του απαγορεύουμε να χρησιμοποιεί κάτι που έμαθε στο Γυμνάσιο επειδή στο σχολικό βιβλίο στο λύκειο το αναφέρει στις παρακάτω σελίδες! Ελευθερία στην σκέψη και στην φαντασία!

[polysot]

Τα ίδια προβλήματα με τον πιο πάνω συνάδελφο είχα εντοπίσει πριν αρκετά χρόνια και εγώ (όταν ήμουν στο Λύκειο).
Συμφωνώ απολύτως ότι με την σειρά που μπαίνουν τα θεωρήματα στο βιβλίο, οι μαθητές μπερδεύονται και μάλιστα αρκετοί από τους μαθητές μας ρωτούν γιατί ακυρώνουμε τις γνώσεις που έχουν πάρει από το Γυμνάσιο. Μέχρι να τους εξηγήσουμε ποιο είναι το πνεύμα του σχολικού βιβλίου και να αρχίσουμε τις θεωρητικολογίες, έχουμε πετύχει αυτό που απευχόμαστε: Να μισήσουν τα παιδιά την Γεωμετρία. Θεωρώ και εγώ λοιπόν, ότι πρέπει να αλλάξει ριζικά η φιλοσοφία στην γραφή του βιβλίου του Λυκείου.

Εγώ απλά θεωρώ ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος να κάνουν θεωρητική γεωμετρία στο γυμνάσιο. Αν μπορούσαν να κάνουν βασικά πράγματα μετρήσεων και να μάθουν να χειρίζονται τα γεωμετρικά όργανα καλά θα ήταν αρκετό...

[spege]

Συνάδελφοι επειδή πολλές φορές έχω συναντήσει αυτά τα προβλήματα που αναφέρεται από παιδιά που φέρνουν ασκήσεις από το φροντιστήριο ή από συναδέλφους του δημοσίου στη προσπάθεια τους να την κάνουν λίγο ποιο εύκολη .Επιτρέψτε μου να διαφωνήσω με κάθε άλλο εκτός αυτής της ανάπτυξης που επιβάλλει το βιβλίο Όπως λέει ο λαός μας κάθε πράγμα στον καιρό του ….θεωρώ ότι δεν πρέπει να μιλήσουμε από την πρώτη μέρα για την μέτρηση των γωνιών σε μοίρες , δεν πρέπει να να πούμε ότι οι γωνίες στο τρίγωνο ….κ.λ.π. Επειδή έχω μιλήσει και με τον έναν από τους συγγραφείς θεωρώ ότι χάνεται όλη η ομορφιά της αν έχουμε όλα τα εργαλεία από την πρώτη μέρα στα χέρια μας. Ας επιμείνουμε με αυτήν την ανάπτυξη και ας γνωρίζουν τα παιδιά από το γυμνάσιο αρκετά «παιδευτικά»
Σπύρος

[polysot]

Συνάδελφοι επειδή πολλές φορές έχω συναντήσει αυτά τα προβλήματα που αναφέρεται από παιδιά που φέρνουν ασκήσεις από το φροντιστήριο ή από συναδέλφους του δημοσίου στη προσπάθεια τους να την κάνουν λίγο ποιο εύκολη .Επιτρέψτε μου να διαφωνήσω με κάθε άλλο εκτός αυτής της ανάπτυξης που επιβάλλει το βιβλίο Όπως λέει ο λαός μας κάθε πράγμα στον καιρό του ….θεωρώ ότι δεν πρέπει να μιλήσουμε από την πρώτη μέρα για την μέτρηση των γωνιών σε μοίρες , δεν πρέπει να να πούμε ότι οι γωνίες στο τρίγωνο ….κ.λ.π. Επειδή έχω μιλήσει και με τον έναν από τους συγγραφείς θεωρώ ότι χάνεται όλη η ομορφιά της αν έχουμε όλα τα εργαλεία από την πρώτη μέρα στα χέρια μας. Ας επιμείνουμε με αυτήν την ανάπτυξη και ας γνωρίζουν τα παιδιά από το γυμνάσιο αρκετά «παιδευτικά»
Σπύρος

Συμφωνώ ΑΠΟΛΥΤΑ...

[STOPJOHN]

To μεγάλο πρόβλημα με τη Γεωμετρία είναι ότι σχεδόν όλοι οι μαθητές δεν μελετάνε τη Γεωμετρία γιατί δεν χρειάζεται στις πανελλήνιες εξετάσεις. Ακόμη αρκετοί συνάδελφοι, ισχυρίζονται ότι η Γεωμετρία δεν χρειάζεται στην Γ Λυκείου και διδάσκουν περισσότερες ώρες Άλγεβρα στην Β Λυκείου περικόπτοντας ώρες από την Γεωμετρία. Είναι ομώς έτσι; Πιστεύω ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι ένα μορφωτικό εργαλείο που βοηθάει το μαθητή να σκέφτεται για να αποκτήσει κριτική σκέψη.Άρα χρειάζεται και για τις πανελλήνιες εξετάσεις στα θέματα που απαιτείται κριτική σκέψη.Για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας συμφωνώ με το συνάδελφο που λέει ότι η θεωρία πρέπει να γίνεται όπως στο σχολικό βιβλίο .Έστω ότι έχουμε να αποδείξουμε ένα θεώρημα στη σελίδα εκατό και χρησιμοποιούμε το συμπέρασμα του θεωρήματος στη σελίδα εκατόν δέκα,το οποίο χρησιμοποιήσε το θεώρημα της σελίδας εκατό Δηλαδή αποδεικτικός κύκλος -φαύλος κύκλος.Αρα άλλο θεωρία και άλλο ασκήσεις.Δεν είναι σωστό να λέμε στους μαθητές μας να αποδεικνύουν τα θεωρήματα και να εφαρμόζουν το οποιοδήποτε θεώρημα του βιβλίου.
Γιάννης

[killbill]

Συμφωνώ με τη χρησιμότητα της Γεωμετρίας ως μορφωτικό εργαλείο.
Λίγο πολύ στην Άλγεβρα και στην Ανάλυση ο μαθητής ακολουθεί συνταγές κάτι που στη Γεωμετρία δεν υπάρχει!! αυτή είναι και η μαγεία της! εκεί ο μαθητής σκέφτεται πραγματικά! Δεν υπάρχει καμία συνταγή. Δεν υπάρχει το "αν σου ζητάει αυτό τότε κάνε αυτό!"

Τώρα όσον αφορά τη χρήση θεωρημάτων που δεν έχουν αποδειχθεί στο Λύκειο ακόμα αλλά είναι γνωστά στον μαθητή από το Γυμνάσιο, δεν βλέπω τον λόγο γιατί να του το απαγορεύουμε να τα χρησιμοποιεί. Αφού του είναι γνωστό, εμείς θα του πούμε όχι δεν το ξέρεις ακόμα? Δεν καταλαβαίνω γιατί να βάζουμε φραγμούς και απαγορευτικά στη σκέψη του μαθητή.

Δηλαδή στο 3ο κεφάλαιο στο Λϋκειο στα τρίγωνα, βρε συνάδελφοι, αν ο μαθητής σας λύσει μια άσκηση χρησιμοποιώντας το γνωστό από το Γυμνάσιο ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180, ή σας δικαιολογήσει 2 γωνίες ίσες επειδή είναι εντός εναλλάξ αν δει 2 παράλληλες και μια τέμνουσα, και δώσει μια ολόσωστη μαθηματικά λύση, εσείς θα τον μηδενίσετε και θα του πείτε ότι υποτίθεται αυτά δεν τα έχεις διδαχθεί ακόμα; Μα τα έχει διδαχθεί στο Γυμνασιο!!!! και μάλιστα ΜΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ! Το άθροισμα 180 μοιρών των γωνιών τριγώνου ας πουμε αποδεικνύεται στην Α Γυμνασίου στη σελίδα 222 , ακριβώς με τον ίδιο τρόπο με την Α λυκείου (για όσους τυχόν δεν το ξέρουν και δεν διδάσκουν σε Γυμνάσιο). ΆΡα που το πρόβλημα; πως θα δικαιολογηθείτε;

Σέβομαι τις απόψεις όλων, απλά δεν το θεωρώ παιδαγωγικά και μαθηματικά σωστά να απογερεύεις σε έναν μαθητή να χρησιμοποιεί γνώσεις που απέκτησε σε προηγούμενες τάξεις (και με απόδειξη!), επειδή και μόνο στην τρέχουσα τάξη που διανύει ή ίδια γνωση επαναλαμβάνεται ξανά λίγες σελίδες παρακάτω! παίζουμε με τις σελίδες δηλαδή;

Εγώ θα επαινέσω αν κάποιος μου λύσει άσκηση στην Α Λυκείου στο 3ο κεφάλαιο και μου πετάξει μια ιδιότητα από εγγεγραμμένες γωνίες! ή και από εμβαδά! ή και δεν ξέρω εγώ από που αλλού! (σημείωση: όλα αυτά τα έχει κάνει στο Γυμνάσιο!) αυτό είναι επιθυμητό για μένα. Ότι έχει διδαχθεί ο μαθητής από το δημοτικό ακόμα, έχει κάθε δικαίωμα να το χρησιμοποιεί. Το να του περιορίζουμε το πως θα λύσει την άσκηση και τι θα χρησιμοποιήσει και τι όχι, για μένα είναι φυλάκιση της σκέψης.

[STOPJOHN]

Είναι πολύ καλό ένας μαθητής μας να λύσει μια άσκηση με τον οποιοδήποτε τρόπο και πρέπει να ενθαρρύνεται προς αυτή την κατεύθυνση.Η Θεωρητική και αυστηρά αποδεικτική Γεωμετρία ξεκινάει στην Α Λυκείου από την αρχή αξιώματα κ.λ.π Η ένστασή μου είναι στον παραγωγικό τρόπο συλλογισμού στη θεωρία. Δηλαδή σε γραπτά πανελληνίων εξετάσεων ζητήθηκε απόδειξη θεωρήματος και ο μαθητής που μελετούσε χωρίς τη σειρά του βιβλίου έπεσε στον αποδεικτικό κύκλο ,με αποτέλεσμα κάθε βαθμολογητής να βάζει διαφορετικό βαθμό ......Σε όλα τα άλλα συμφωνώ απόλυτα η Γεωμετρική σκέψη είναι το σημαντικό παιδευτικό εργαλείο.

[Κώστας Μαλλιάκας]

Πρέπει να καταλάβουμε ότι η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι κυρίως θεωρία και πιστεύω ότι καλώς είναι γραμμένο με αυτή την λογική το σχολικό βιβλίο. Δεν πρέπει να χρησιμοποιούμε παρακάτω θεωρήματα και ας δυσκολεύει την ζωή των μαθητών γιατί έτσι χάνεται όλη η φιλοσοφία του μαθήματος και η λογική του Ευκλείδη που θεμελίωσε με αυτό τον τρόπο όλες τις διάσπαρτες γνώσεις που υπήρχαν. Πρέπει να μπουν οι μαθητές στην λογική της δομής της γεωμετρίας και μόνο με την αυστηρότητα της θα το πετύχουν. Πρέπει να μπορούν να αναζητούν λύσεις περιορισμένες σε συγκεκριμένα εργαλεία ώστε να πειθαρχούν αλλά και να ανακαλύπτουν την επιθυμητή λύση χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία. Αν ο στόχος μας είναι να λύνουν μόνο ασκήσεις αποτύχαμε. Είναι το πιο παιδαγωγικό μάθημα και εγώ λέω στους μαθητές μου ότι και κανένα θεώρημα να μην θυμούνται αργότερα θα έχουν εντρυφύσει στην επιχειρηματολογία και στην απόδειξη μέσα σε συγκεκριμένα πλαίσια όπως επιβάλλει και η καθημερινή ζωή.Δεν είναι τυχαίο ότι σε όλο τον κόσμο διδάσκονται Ευκλείδεια Γεωμετρία. Δεν θα ξεχάσω στην Ολυμπιάδα Μαθηματικών του 2004 στην Αθήνα που συμμετείχα σαν εθελοντής ένα μαθητή από την Μαλαισία και ένα καθηγητή από την Μογγολία που ήταν στην ομάδα μου που αναζητούσαν τα στοιχεία του Ευκλείδη γραμμένα στα αρχαία στο πρωτότυπο για να τα μελετήσουν και πόσο θαύμαζαν την λογική αυτού του οικοδομήματος.
Ας δουλεύουμε λοιπόν με αυτή την λογική και ας λύσουμε λιγότερες ασκήσεις ή με πιο δύσκολο τρόπο όπως ανέφεραν και άλλοι συνάδελφοι...

[killbill]

Δεν μίλησα για παρακάτω θεωρήματα αλλά για παραπάνω! αυτά δηλαδή που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο και με απόδειξη!

Δεν διαφωνώ με την σειρά παρουσίασης των εννοιών του σχολικού βιβλίου αφού ακολουθεί την αποδεικτική διαδικασία. Διαφωνώ στην απαγόρευση χρήσης εννοιών ήδη γνωστών στον μαθητή από προηγούμενες τάξεις. Είναι σαν να τον φιμώνουμε

[STOPJOHN]

Συμφωνώ απόλυτα .Είναι απαράδεκτη η φίμωση των μαθητών σε έννοιες που έχουν διδαχθεί
Γ.Σ