ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

#1

Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΜΝ ή ΒΜΝ περνούν από δεύτερο σταθερό σημείο.

Αγαπητοί φίλοι,
για την παραπάνω Άσκηση Γεωμετρίας, έχω επιτύχει μια μακροσκελή και δύσκολη απόδειξη που δεν με ικανοποιεί, την οποία θα αναρτήσω αργότερα. Πιστεύω ότι υπάρχει σύντομη και εύκολη απόδειξη την οποία προτείνω να αναζητήσουμε όλοι οι ενδιαφερόμενοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

John13 · #2

Περνούν και οι δύο κύκλοι από τα Α και Β ή ο ένας περνάει από το Α και ο άλλος από το Β?

#3

John13 έγραψε:Περνούν και οι δύο κύκλοι από τα Α και Β ή ο ένας περνάει από το Α και ο άλλος από το Β?

Ναι και οι δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ), (Λ, $R_{2}$ ) περνούν και από τα δύο σημεία Α, Β, ενώ ταυτόχρονα και οι δύο κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία (ε), στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#4

Καλό μεσημέρι σε όλους.

Δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση γι' αυτό το ενδιαφέρον πρόβλημα και μπορούμε για ευκολία (;) να δούμε την παρακάτω ισοδύναμη εκφώνηση.

Δίνεται κύκλος χορδής και έστω τυχόν σημείο εκτός αυτού. Φέρνουμε την εφαπτομένη του και έστω το συμμετρικό του ως προς το σημείο $M\equiv PC\cap AB.$ Θεωρούμε τυχόντα κύκλο χορδής και έστω η εφαπτομένη αυτού και το συμμετρικό του ως προς το σημείο $M{'}\equiv PD\cap AB.$ Αποδείξτε ότι το σημείο $Q\equiv (K)\cap (K{'})$ είναι σταθερό, όπου $(K),\ (K{'})$ είναι οι περίκυκλοι των τριγώνων $\triangle BCC{'},\ \triangle BDD{'}$ , αντιστοίχως.

Κώστας Βήττας.

#5

Ας δούμε και το ακόλουθο ισοδύναμο πρόβλημα.

Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ και έστω τυχόν σημείο στην προέκταση της ευθείας ( προς το μέρος του ή και του ). Επί ευθείας ορίζουμε τα σημεία $D,\ D{'}$ έτσι ώστε να είναι $(MD)^{2} = (MD{'})^{2} = (MA)\cdot (MB).$ Αποδείξτε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\triangle BDD{'},$ περνάει από σταθερό σημείο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το σταθερό σημείο είναι το

, ως το σημείο επαφής της εφαπτομένης από το

, του κύκλου χορδής AB,

ο οποίος εφάπτεται στην πλευρά

( είδική περίπτωση του μεταβλητού σημείου

, όταν αυτό ταυτίζεται με το

), του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC.$

Όπως είπα και πιο πάνω, δεν έχω λύση για το πρόβλημα αυτό και το σταθερό σημείο

προσδιορίστηκε με σχεδιαστικό πρόγραμμα στον υπολογιστή.

#6

Τελικά βρήκα μία δύσκολη λύση που βασίζεται στο αποτέλεσμα ότι το ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle MKC$ όπως ορίζεται στο 2ο ισοδύναμο πρόβλημα αμέσως πριν, μεταβάλλεται παραμένοντας όμοιο προς εαυτό, καθώς ισχύει πάντοντε $\displaystyle\angle KCM = \frac{\angle ACQ}{2} = \angle \omega$ ,(1)

To ίδιο τρίγωνο μεταβάλλεται έτσι ώστε η κορυφή του

παραμένει σταθερή και η κορυφή του

κινείται επί της ευθείας AB.

Όπως είναι γνωστό ( στο

έχει συζητηθεί Εδώ ), ο γεωμετρικός τόπος του

είναι μία ευθεία που σχηματίζει με την

γωνία ίση με $\angle \omega$ .

Tο κέντρο

τώρα, του σταθερού κύκλου (O)

χορδής

ο οποίος εφάπτεται στην πλευρά

του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC,$ ανήκει στον ίδιο γεωμετρικό τόπο, καθώς το ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle AOC$ είναι ειδική περίπτωση του μεταβλητού τριγώνου $\triangle MKC.$

Αλλά, το

ανήκει και στη μεσοκάθετη ευθεία του σταθερού τμήματος BQ,

όπου

είναι το δεύτερο εκτός του

σημείο επαφής της εφαπτομένης του (O)

από το

Η μεσοκάθετη ευθεία όμως του BQ,

σχηματίζει με την ευθεία

γωνία ίση με $\angle \omega$

από $\angle \omega = 90^{o} - \angle AOC = 90^{o} - \angle ABQ$

Επομένως, το κέντρο

του κύκλου (K)

ανήκει στην μεσοκάθετη ευθεία του

και άρα ο κύκλος αυτός περνάει από το σταθερό σημείο

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Ας δούμε τώρα πως τεκμηριώνεται το ότι η γωνία $\angle KCM$ του μεταβλητού ορθογώνιου τριγώνου $\triangle MKC,$ παραμένει σταθερή και ίση στην περίπτωσή μας με $\displaystyle\frac{\angle ACQ}{2} = \angle \omega$ .

Έστω το σημείο $N\equiv (K)\cap AB$ και έχουμε ότι $(MN)\cdot (MB) = (MD)^{2} = (MD{'})^{2} = (MA)\cdot (MB)$ ,(2)

Από

$\Longrightarrow$ $(KB)^{2} - (KM)^{2} = (OM)^{2} - (OB)^{2}$ ,(3)

Από

$\Longrightarrow$ $2(BM)\cdot (XT) = 2(BM)\cdot (XY)$ $\Longrightarrow$ XT = XY

όπου

είναι το μέσον του

και $T,\ Y,$ οι προβολές των $K,\ O$ αντιστοίχως, επί της ευθείας AB.

Από

$\Longrightarrow$ MT = BY = AY

και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, συμπεραίνεται ότι $\angle MCK = \angle ACO = \angle \omega$ .

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τυχόν σημείο του τόξου που δεν περιέχει το Επί της ευθείας θεωρούμε μεταβλητό σημείο και έστω το σημείο $F\equiv AD\cap (K)$ , όπου είναι ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα Αποδείξτε ότι σταθερό, όπου είναι η προβολή του επί της ευθείας

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το παραπάνω Λήμμα.

#7

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τυχόν σημείο του τόξου που δεν περιέχει το Επί της ευθείας θεωρούμε μεταβλητό σημείο και έστω το σημείο $F\equiv AP\cap (K)$ , όπου είναι ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα Αποδείξτε ότι σταθερό, όπου είναι η προβολή των επί της ευθείας

Απόδειξη.

Από όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\triangle ZEF,\ \triangle AEC$ έχουμε ότι $\displaystyle\frac{FZ}{AC} = \frac{EF}{EC}$ ,(1)

Από

$\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{FZ}{AC} = \frac{EC\cdot \sin \angle \omega}{EC}$ $\Longrightarrow$ $FZ = AC\cdot \sin \angle \omega =$ σταθερό και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Ομοίως αποδεικνύεται το ζητούμενο και όταν το

λαμβάνεται στην προέκταση του AB.

$\bullet$ Εάν τώρα, για δύο οποιαδήποτε ορθογώνια τρίγωνα $\triangle FEC,\ \triangle F{'}E{'}C,$ ισχύει ότι FZ = F{'}Z{'}

όπου $Z,\ Z{'}$ είναι οι προβολές των $E,\ E{'}$ αντιστοίχως, επί της ευθείας AB,

από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ACEF,\ ACF{'}E{'},$ άμεσα συμπεραίνεται ότι $\angle ECF = \angle \omega = \angle E{'}CF{'}$ ,(3)

.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Τελικά δεν προκύπτει και τόσο άμεσα η (3)

από την

. Βγαίνει όμως, με την απαγωγή σε άτοπο.

#8

vittasko έγραψε:Καλό μεσημέρι σε όλους.

Δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση γι' αυτό το ενδιαφέρον πρόβλημα και μπορούμε για ευκολία (;) να δούμε την παρακάτω ισοδύναμη εκφώνηση.
Δίνεται κύκλος χορδής και έστω τυχόν σημείο εκτός αυτού. Φέρνουμε την εφαπτομένη του και έστω το συμμετρικό του ως προς το σημείο $M\equiv PC\cap AB.$ Θεωρούμε τυχόντα κύκλο χορδής και έστω η εφαπτομένη αυτού και το συμμετρικό του ως προς το σημείο $M{'}\equiv PD\cap AB.$ Αποδείξτε ότι το σημείο $Q\equiv (K)\cap (K{'})$ είναι σταθερό, όπου $(K),\ (K{'})$ είναι οι περίκυκλοι των τριγώνων $\triangle BCC{'},\ \triangle BDD{'}$ , αντιστοίχως.
Κώστας Βήττας.

Κώστα,
καταρχήν σε ευχαριστώ για συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου.
Είδα την παραπάνω, πρώτη ισοδύναμη εκφώνηση, όπως την αναφέρεις. Το σχόλιό μου γι’ αυτή, είναι το εξής:
Επειδή, $MC'^{2}$ = $MC^{2}$ =MA.MB και η ΜC' ή ΡΜ θα είναι εφαπτόμενη και στον κύκλο ΑΒC', στο C'.
Όμοια βρίσκουμε ότι και η PΜ' είναι εφαπτόμενη και στον κύκλο ΑΒD', στο D'.
Βλέπουμε λοιπόν, ότι σύμφωνα με την παραπάνω δική μου προτεινόμενη Πρόταση, οι κύκλοι BCC', BDD', περνούν πραγματικά από σταθερό σημείο, το οποίο θα δώσω με δική μου απόδειξη, όπως παραπάνω αναφέρω.
Δηλαδή, είναι φανερό ότι η λύση του προβλήματος αυτού, αποτελεί απλή εφαρμογή της δικής μου προτεινόμενης Πρότασης.
Τα υπόλοιπα που γράφεις δεν μου δόθηκε ευκαιρία ακόμη να τα ιδώ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#9

Με χρήση αντιστροφής

: ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.jpg (39.88 KiB) Προβλήθηκε 2250 φορές

Λήμμα (σχήμα 1)
Οι κύκλοι $\displaystyle{{c_1}:\left( {K,{R_1}} \right){\text{ \& }}{c_2}:\left( {\Lambda ,{R_2}} \right)}$ τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{A{\text{ \& }}B}$ . Από τυχαίο σημείο $\displaystyle{X}$ του $\displaystyle{{c_2}}$ φέρουμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{XE{\text{ \& }}X\Delta }$ στον $\displaystyle{{c_1}}$ . Επίσης φέρουμε την εφαπτομένη του $\displaystyle{{c_2}}$ στο σημείο

, η οποία τέμνει την $\displaystyle{{\rm E}\Delta }$ στο σημείο

. Αν η κοινή χορδή

τέμνει την

στο

, τότε το σημείο

είναι μέσον του

.
Απόδειξη.
Θεωρούμε τον εκφυλισμένο κύκλο $\displaystyle{\left( {X,\emptyset } \right)}$ (κέντρου

και μηδενικής ακτίνας) καθώς και τα μέσα $\displaystyle{M{\text{ \& }}N}$ των $\displaystyle{X\Delta {\text{ \& }}XE}$ . Τότε η

είναι ο ριζικός άξονας των $\displaystyle{{c_2}{\text{ \& }}\left( {X,\emptyset } \right)}$ , η

είναι ο ριζικός άξονας των $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}\left( {X,\emptyset } \right)}$ και η

είναι ο ριζικός άξονας των $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ , επομένως συντρέχουν, έστω στο σημείο

(επί της

). Έχουμε $\displaystyle{{\rm E}\Delta \parallel MN}$ , άρα $\displaystyle{\frac{{XZ}}{{ZY}} = \frac{{XM}}{{M\Delta }} = \frac{{XN}}{{NE}} = 1}$ . Συνεπώς το σημείο

είναι μέσον του

.

Διαδικασία της αντιστροφής με τα δεδομένα του προβλήματος(σχήμα 2)
Αντιστρέφουμε το όλο σχήμα με πόλο το σημείο

και λόγο αντιστροφής $\displaystyle{\lambda = A{B^2}}$ . Τότε οι κύκλοι $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ επειδή διέρχονται από τον πόλο

, αντιστρέφονται στις ευθείες $\displaystyle{{\varepsilon _1}{\text{ \& }}{\varepsilon _2}}$ (κάθετες στα $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}{\text{ \& }}{\rm A}\Lambda }$ και διερχόμενες από

), η ευθεία $\displaystyle{\varepsilon }$ αντιστρέφεται σε κύκλο που διέρχεται από τα

, $\displaystyle{\Gamma '}$ (αντίστροφο του $\displaystyle{\Gamma }$ ) και ο οποίος παρεπιπτόντως εφάπτεται των $\displaystyle{{\varepsilon _1}{\text{ \& }}{\varepsilon _2}}$ στα $\displaystyle{{\rm M}'{\text{ \& }}{\rm N}'}$ (αντίστροφα των $\displaystyle{{\rm M}{\text{ \& }}{\rm N}}$ αντίστοιχα). Τελευταία δε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AMN

, αντιστρέφεται στην ευθεία $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ .
Το πρόβλημα συνεπώς μετασχηματίζεται στο απλούστερο: Δίδονται τα σταθερά σημεία $\displaystyle{{\rm A}{\text{ }}{\text{, }}\Gamma '{\text{ \& }}{\rm B}}$ . Φέρουμε τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm A}{\text{ \& }}\Gamma '}$ . Από το

φέρουμε τις εφαπτόμενες αυτού $\displaystyle{{\rm B}{\rm M}'{\text{ \& }}{\rm B}{\rm N}'}$ . Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ διέρχεται από σταθερό σημείο (το αντίστροφο του σταθερού σημείου που ψάχνουμε).

Τελική διευθέτηση (σχήμα 3)
Φέρουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}\Gamma '{\rm B}}$ ο οποίος είναι σταθερός και την εφαπτομένη αυτού στο

, η οποία τέμνει την $\displaystyle{{\rm A}\Gamma '}$ στο σταθερό επίσης σημείο

. Αν

είναι τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm A}{\text{ \& }}\Gamma '}$ και $\displaystyle{{\varepsilon _1}{\text{ \& }}{\varepsilon _2}}$ οι εφαπτόμενες αυτού από το σημείο

, με σημεία επαφής τα $\displaystyle{{\rm M}'{\text{ \& }}{\rm N}'}$ , τότε η $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ τέμνει την

στο σημείο

που είναι σταθερό διότι $\displaystyle{{\rm B}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm T}}$ (από λήμμα). Άρα η $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ διέρχεται από το σταθερό σημείο

. Το αντίστροφο του

είναι το σταθερό σημείο από το οποίο διέρχονται οι κύκλοι του αρχικού ερωτήματος.

Πολύ όμορφο θέμα.

Νομίζω πως το λήμμα (σχήμα 1) και η τελική διευθέτηση (σχήμα 3) μπορούν να συμπτυχθούν σε μια απόδειξη

#10

vittasko έγραψε:
vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τυχόν σημείο του τόξου που δεν περιέχει το Επί της ευθείας θεωρούμε μεταβλητό σημείο και έστω το σημείο $F\equiv AP\cap (K)$ , όπου είναι ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα Αποδείξτε ότι σταθερό, όπου είναι η προβολή των επί της ευθείας
Απόδειξη.

Από όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\triangle ZEF,\ \triangle AEC$ έχουμε ότι $\displaystyle\frac{FZ}{AC} = \frac{EF}{EC}$

Από $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{FZ}{AC} = \frac{EC\cdot \sin \angle \omega}{EC}$ $\Longrightarrow$ $FZ = AC\cdot \sin \angle \omega =$ σταθερό και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Ομοίως αποδεικνύεται το ζητούμενο και όταν το λαμβάνεται στην προέκταση του

$\bullet$ Εάν τώρα, για δύο οποιαδήποτε ορθογώνια τρίγωνα $\triangle FEC,\ \triangle F{'}E{'}C,$ ισχύει ότι όπου $Z,\ Z{'}$ είναι οι προβολές των $E,\ E{'}$ αντιστοίχως, επί της ευθείας από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ACEF,\ ACF{'}E{'},$ άμεσα συμπεραίνεται ότι $\angle ECF = \angle \omega = \angle E{'}CF{'}$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Τελικά δεν προκύπτει και τόσο άμεσα η από την . Βγαίνει όμως, με την απαγωγή σε άτοπο.

Κώστα,
σε ευχαριστώ πολύ για τη συμβολή σου στην προσπάθειά μου, με τη λύση σου.
Κώστα είδα ότι έκανες μερικές διευκρινίσεις στη λύση σου. Νομίζω όμως ότι απαιτούνται και μερικές ακόμη, ώστε να μη δημιουργούνται απορίες, κυρίως σε μαθητές που μας παρακολουθούν.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#11

Σεραφείμ έγραψε:Με χρήση αντιστροφής
ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.jpg
Λήμμα (σχήμα 1)
Οι κύκλοι $\displaystyle{{c_1}:\left( {K,{R_1}} \right){\text{ \& }}{c_2}:\left( {\Lambda ,{R_2}} \right)}$ τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{A{\text{ \& }}B}$ . Από τυχαίο σημείο $\displaystyle{X}$ του $\displaystyle{{c_2}}$ φέρουμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{XE{\text{ \& }}X\Delta }$ στον $\displaystyle{{c_1}}$ . Επίσης φέρουμε την εφαπτομένη του $\displaystyle{{c_2}}$ στο σημείο , η οποία τέμνει την $\displaystyle{{\rm E}\Delta }$ στο σημείο . Αν η κοινή χορδή τέμνει την στο , τότε το σημείο είναι μέσον του .
Απόδειξη.
Θεωρούμε τον εκφυλισμένο κύκλο $\displaystyle{\left( {X,\emptyset } \right)}$ (κέντρου και μηδενικής ακτίνας) καθώς και τα μέσα $\displaystyle{M{\text{ \& }}N}$ των $\displaystyle{X\Delta {\text{ \& }}XE}$ . Τότε η είναι ο ριζικός άξονας των $\displaystyle{{c_2}{\text{ \& }}\left( {X,\emptyset } \right)}$ , η είναι ο ριζικός άξονας των $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}\left( {X,\emptyset } \right)}$ και η είναι ο ριζικός άξονας των $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ , επομένως συντρέχουν, έστω στο σημείο (επί της ). Έχουμε $\displaystyle{{\rm E}\Delta \parallel MN}$ , άρα $\displaystyle{\frac{{XZ}}{{ZY}} = \frac{{XM}}{{M\Delta }} = \frac{{XN}}{{NE}} = 1}$ . Συνεπώς το σημείο είναι μέσον του .

Διαδικασία της αντιστροφής με τα δεδομένα του προβλήματος(σχήμα 2)
Αντιστρέφουμε το όλο σχήμα με πόλο το σημείο και λόγο αντιστροφής $\displaystyle{\lambda = A{B^2}}$ . Τότε οι κύκλοι $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ επειδή διέρχονται από τον πόλο , αντιστρέφονται στις ευθείες $\displaystyle{{\varepsilon _1}{\text{ \& }}{\varepsilon _2}}$ (κάθετες στα $\displaystyle{{\rm A}{\rm K}{\text{ \& }}{\rm A}\Lambda }$ και διερχόμενες από ), η ευθεία $\displaystyle{\varepsilon }$ αντιστρέφεται σε κύκλο που διέρχεται από τα , $\displaystyle{\Gamma '}$ (αντίστροφο του $\displaystyle{\Gamma }$ ) και ο οποίος παρεπιπτόντως εφάπτεται των $\displaystyle{{\varepsilon _1}{\text{ \& }}{\varepsilon _2}}$ στα $\displaystyle{{\rm M}'{\text{ \& }}{\rm N}'}$ (αντίστροφα των $\displaystyle{{\rm M}{\text{ \& }}{\rm N}}$ αντίστοιχα). Τελευταία δε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , αντιστρέφεται στην ευθεία $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ .
Το πρόβλημα συνεπώς μετασχηματίζεται στο απλούστερο: Δίδονται τα σταθερά σημεία $\displaystyle{{\rm A}{\text{ }}{\text{, }}\Gamma '{\text{ \& }}{\rm B}}$ . Φέρουμε τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm A}{\text{ \& }}\Gamma '}$ . Από το φέρουμε τις εφαπτόμενες αυτού $\displaystyle{{\rm B}{\rm M}'{\text{ \& }}{\rm B}{\rm N}'}$ . Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ διέρχεται από σταθερό σημείο (το αντίστροφο του σταθερού σημείου που ψάχνουμε).

Τελική διευθέτηση (σχήμα 3)
Φέρουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}\Gamma '{\rm B}}$ ο οποίος είναι σταθερός και την εφαπτομένη αυτού στο , η οποία τέμνει την $\displaystyle{{\rm A}\Gamma '}$ στο σταθερό επίσης σημείο . Αν είναι τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα $\displaystyle{{\rm A}{\text{ \& }}\Gamma '}$ και $\displaystyle{{\varepsilon _1}{\text{ \& }}{\varepsilon _2}}$ οι εφαπτόμενες αυτού από το σημείο , με σημεία επαφής τα $\displaystyle{{\rm M}'{\text{ \& }}{\rm N}'}$ , τότε η $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ τέμνει την στο σημείο που είναι σταθερό διότι $\displaystyle{{\rm B}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm T}}$ (από λήμμα). Άρα η $\displaystyle{{\rm M}'{\rm N}'}$ διέρχεται από το σταθερό σημείο . Το αντίστροφο του είναι το σταθερό σημείο από το οποίο διέρχονται οι κύκλοι του αρχικού ερωτήματος.

Πολύ όμορφο θέμα.

Νομίζω πως το λήμμα (σχήμα 1) και η τελική διευθέτηση (σχήμα 3) μπορούν να συμπτυχθούν σε μια απόδειξη

Αγαπητέ Σεραφείμ,
σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου, με τη σύντομη λύση σου, η οποία όμως νομίζω ότι επιδέχεται κάποιας ακόμη βελτίωσης.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#12

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΜΝ ή ΒΜΝ περνούν από δεύτερο σταθερό σημείο.

Αγαπητοί φίλοι,
για την παραπάνω Άσκηση Γεωμετρίας, έχω επιτύχει μια μακροσκελή και δύσκολη απόδειξη που δεν με ικανοποιεί, την οποία θα αναρτήσω αργότερα. Πιστεύω ότι υπάρχει σύντομη και εύκολη απόδειξη την οποία προτείνω να αναζητήσουμε όλοι οι ενδιαφερόμενοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
όπως έχουμε υποσχεθεί, θα δώσουμε τη δική μας λύση του παραπάνω Προβλήματος.
Όμως, προτού δώσουμε τη λύση αυτή, θα προτείνουμε για λύση δύο Λημμάτων, στα οποία θα στηρίξουμε τη λύση του κυρίως Προβλήματός μας.
Έτσι, παρακάτω δίνουμε πρώτα το πρώτο από τα δύο παραπάνω αναφερόμενα Λήμματα και αναμένουμε λύσεις του, από τους ενδιαφερόμενους φίλους:

Λήμμα 1.
(Βοηθητική Πρόταση 1, Γεωμετρικός Τόπος).
10ι(106). Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α,Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ), (Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο γ.τ. των ορθόκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ ή ΒΜΝ.
Ακόμη να δειχθεί ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και στη γενική περίπτωση κατά την οποία οι εφαπτόμενες (ε), δεν περνούν από σταθερό σημείο Γ.

(Το παραπάνω Λήμμα 1, έγινε ειδικά για να βοηθήσει στη λύση του παραπάνω Κυρίως Προβλήματος).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#13

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΜΝ ή ΒΜΝ περνούν από δεύτερο σταθερό σημείο.

Αγαπητοί φίλοι,
για την παραπάνω Άσκηση Γεωμετρίας, έχω επιτύχει μια μακροσκελή και δύσκολη απόδειξη που δεν με ικανοποιεί, την οποία θα αναρτήσω αργότερα. Πιστεύω ότι υπάρχει σύντομη και εύκολη απόδειξη την οποία προτείνω να αναζητήσουμε όλοι οι ενδιαφερόμενοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
όπως έχουμε υποσχεθεί, θα δώσουμε τη δική μας λύση του παραπάνω Προβλήματος.
Όμως, προτού δώσουμε τη λύση αυτή, θα προτείνουμε για λύση δύο Λημμάτων, στα οποία θα στηρίξουμε τη λύση του κυρίως Προβλήματός μας.
Έτσι, παρακάτω δίνουμε πρώτα το πρώτο από τα δύο παραπάνω αναφερόμενα Λήμματα και αναμένουμε λύσεις του, από τους ενδιαφερόμενους φίλους:

Λήμμα 1.
(Βοηθητική Πρόταση 1, Γεωμετρικός Τόπος).
10ι(106). Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α,Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ), (Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο γ.τ. των ορθόκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ ή ΒΜΝ.
Ακόμη να δειχθεί ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και στη γενική περίπτωση κατά την οποία οι εφαπτόμενες (ε), δεν περνούν από σταθερό σημείο Γ.

(Το παραπάνω Λήμμα 1, έγινε ειδικά για να βοηθήσει στη λύση του παραπάνω Κυρίως Προβλήματος).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 83, δίνουμε μια λεπτομερή, κατά το δυνατό, λύση του Λήμματος 1 (Γεωμετρικός Τόπος), όπως και Πόρισμα τούτου, το οποίο αποτελεί και Γενίκευση του Λήμματος 1.
Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους λύσεις για το Λήμμα 1.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#14

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΜΝ ή ΒΜΝ περνούν από δεύτερο σταθερό σημείο.

Αγαπητοί φίλοι,
για την παραπάνω Άσκηση Γεωμετρίας, έχω επιτύχει μια μακροσκελή και δύσκολη απόδειξη που δεν με ικανοποιεί, την οποία θα αναρτήσω αργότερα. Πιστεύω ότι υπάρχει σύντομη και εύκολη απόδειξη την οποία προτείνω να αναζητήσουμε όλοι οι ενδιαφερόμενοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
όπως έχουμε υποσχεθεί, θα δώσουμε τη δική μας λύση του παραπάνω Προβλήματος.
Όμως, προτού δώσουμε τη λύση αυτή, θα προτείνουμε για λύση δύο Λημμάτων, στα οποία θα στηρίξουμε τη λύση του κυρίως Προβλήματός μας.
Έτσι, παρακάτω δίνουμε πρώτα το πρώτο από τα δύο παραπάνω αναφερόμενα Λήμματα και αναμένουμε λύσεις του, από τους ενδιαφερόμενους φίλους:

Λήμμα 1.
(Βοηθητική Πρόταση 1, Γεωμετρικός Τόπος).
10ι(106). Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α,Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ), (Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο γ.τ. των ορθόκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ ή ΒΜΝ.
Ακόμη να δειχθεί ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και στη γενική περίπτωση κατά την οποία οι εφαπτόμενες (ε), δεν περνούν από σταθερό σημείο Γ.

(Το παραπάνω Λήμμα 1, έγινε ειδικά για να βοηθήσει στη λύση του παραπάνω Κυρίως Προβλήματος).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
όπως παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω και το 2ο Λήμμα, το οποίο θα μας βοηθήσει στη λύση του αρχικού (κυρίως) προβλήματος, που παραπάνω έχουμε δώσει.
Και για το Λήμμα 2, προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις.

Λήμμα 2.
(Βοηθητική Πρόταση 2, Γεωμετρικός Τόπος).
10ι(107). Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ,Ν αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο γ.τ. των περίκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ ή ΒΜΝ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#15

Μια σκέψη την οποία δεν έχω επεξεργαστεί ακόμη για το αρχικό πρόβλημα
να δουλέψουμε με μιγαδικούς ώστε να βγάλουμε ότι τόπος του περικέντρου του τριγώνου ΒΜΝ είναι ευθεία (ε) που δεν διέρχεται από το Β, άρα το 2ο σταθερό σημείο θα είναι το συμμετρικό του Β ως προς την (ε) (τις επιλύσεις συστημάτων θα τις κάνει το mathematica)

#16

Καλό μήνα σε όλους τους Γεωμέτρες της παρέας!
Με παίδεψε αρκετά, αλλά νομίζω έχω μία σύντομη και (σχετικά) απλή απόδειξη στο πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα που μας έθεσε ο αγαπητός Νίκος.
Οι κύκλοι συμπίπτουν σε ένα (σταθερό) κύκλο c διερχόμενο από Α και Β και εφαπτόμενο της ΓΒ, όταν η μεταβλητή ευθεία, περνά από το Β.
Θα δείξουμε ότι το δεύτερο σημείο Σ που είναι το σημείο τομής του κύκλου ΑΜΝ με τον c, είναι ταυτόχρονα σημείο επαφής της δεύτερης εφαπτομένης που άγεται προς αυτόν από το Γ, επομένως σταθερό.
Αν Δ και Ε τα σημεία τομής των ΝΒ και ΜΒ αντίστοιχα με τον c, εύκολα* αποδεικνύεται ότι οι ΜΔ και ΝΕ τέμνονται πάνω στον c, έστω σε σημείο Σ' το οποίο θα αποδείξω ότι ταυτίζεται με το Σ. Η ΝΖ είναι η πολική του Μ και η ΜΖ πολική του Ν ως προς c, όπου Ζ η τομή των διαγωνίων του ΔΒΕΣ'. Επομένως το Ζ είναι ο πόλος της ΓΜ, άρα και ο πόλος της ΒΣ' βρίσκεται πάνω στην ΓΜ. Δηλαδή, οι εφαπτόμενες του c στα Σ' και Β, τέμνονται επί της ΓΜ. Άρα το Σ' ταυτίζεται με το Σ.
*Θα επανέλθω αν χρειαστεί για περισσότερες λεπτομέρειες, αργότερα και ελπίζω να μην έχω λαθέψει κάπου.
Φιλικά
ΑΝΔΡΕΑΣ

#17

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Καλό μήνα σε όλους τους Γεωμέτρες της παρέας!
Με παίδεψε αρκετά, αλλά νομίζω έχω μία σύντομη και (σχετικά) απλή απόδειξη στο πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα που μας έθεσε ο αγαπητός Νίκος.
Οι κύκλοι συμπίπτουν σε ένα (σταθερό) κύκλο c διερχόμενο από Α και Β και εφαπτόμενο της ΓΒ, όταν η μεταβλητή ευθεία, περνά από το Β.
Θα δείξουμε ότι το δεύτερο σημείο Σ που είναι το σημείο τομής του κύκλου ΑΜΝ με τον c, είναι ταυτόχρονα σημείο επαφής της δεύτερης εφαπτομένης που άγεται προς αυτόν από το Γ, επομένως σταθερό.
Αν Δ και Ε τα σημεία τομής των ΝΒ και ΜΒ αντίστοιχα με τον c, εύκολα* αποδεικνύεται ότι οι ΜΔ και ΝΕ τέμνονται πάνω στον c, έστω σε σημείο Σ' το οποίο θα αποδείξω ότι ταυτίζεται με το Σ. Η ΝΖ είναι η πολική του Μ και η ΜΖ πολική του Ν ως προς c, όπου Ζ η τομή των διαγωνίων του ΔΒΕΣ'. Επομένως το Ζ είναι ο πόλος της ΓΜ, άρα και ο πόλος της ΒΣ' βρίσκεται πάνω στην ΓΜ. Δηλαδή, οι εφαπτόμενες του c στα Σ' και Β, τέμνονται επί της ΓΜ. Άρα το Σ' ταυτίζεται με το Σ.
*Θα επανέλθω αν χρειαστεί για περισσότερες λεπτομέρειες, αργότερα και ελπίζω να μην έχω λαθέψει κάπου.
Φιλικά
ΑΝΔΡΕΑΣ

Φίλε Ανδρέα Καλημέρα.
Πολύ καιρό έχουμε να συναντηθούμε και ξεχαστήκαμε. Γι’ αυτό, τώρα είμαι αγαπητός και όχι φίλος;
Ανδρέα σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου.
Η σκέψη σου, νομίζω ότι είναι πολύ σωστή και κομψή. Απαιτεί όμως πολύ λεπτές επί μέρους σκέψεις, που είναι δυνατό να γίνει κάποιο λάθος.
Νομίζω λοιπόν ότι, αν δώσεις απαντήσεις στα παρακάτω ερωτηματικά, τότε θα έχεις επιτύχει πραγματικά, μια σύντομη απόδειξη:
- Γιατί το Σ' ανήκει στον κύκλο c;
- Έχεις αποδείξει, πολύ σωστά, ότι το Ζ είναι ο πόλος της ΓΜ και βγάζεις το συμπέρασμα από αυτό, ότι και ο πόλος της ΒΣ', θα βρίσκεται στην ΓΜ. Γιατί; Τούτο προφανώς θα συνέβαινε αν οι ΒΣ', ΓΜ ήταν συζυγείς ως προς τον c, δηλαδή αν γνωρίζαμε ότι και ο πόλος της ΒΣ' βρίσκεται στην ΓΜ, πράγμα που δεν το γνωρίζουμε, γιατί αυτό ακριβώς ζητάμε. Κάνω λάθος; Δες το, και πάλι τα λέμε.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#18

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΜΝ ή ΒΜΝ περνούν από δεύτερο σταθερό σημείο.

Αγαπητοί φίλοι,
για την παραπάνω Άσκηση Γεωμετρίας, έχω επιτύχει μια μακροσκελή και δύσκολη απόδειξη που δεν με ικανοποιεί, την οποία θα αναρτήσω αργότερα. Πιστεύω ότι υπάρχει σύντομη και εύκολη απόδειξη την οποία προτείνω να αναζητήσουμε όλοι οι ενδιαφερόμενοι.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
όπως έχουμε υποσχεθεί, θα δώσουμε τη δική μας λύση του παραπάνω Προβλήματος.
Όμως, προτού δώσουμε τη λύση αυτή, θα προτείνουμε για λύση δύο Λημμάτων, στα οποία θα στηρίξουμε τη λύση του κυρίως Προβλήματός μας.
Έτσι, παρακάτω δίνουμε πρώτα το πρώτο από τα δύο παραπάνω αναφερόμενα Λήμματα και αναμένουμε λύσεις του, από τους ενδιαφερόμενους φίλους:

Λήμμα 1.
(Βοηθητική Πρόταση 1, Γεωμετρικός Τόπος).
10ι(106). Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α,Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ), (Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο γ.τ. των ορθόκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ ή ΒΜΝ.
Ακόμη να δειχθεί ότι η Πρόταση αυτή αληθεύει και στη γενική περίπτωση κατά την οποία οι εφαπτόμενες (ε), δεν περνούν από σταθερό σημείο Γ.

(Το παραπάνω Λήμμα 1, έγινε ειδικά για να βοηθήσει στη λύση του παραπάνω Κυρίως Προβλήματος).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
όπως παραπάνω έχουμε υποσχεθεί, δίνουμε παρακάτω και το 2ο Λήμμα, το οποίο θα μας βοηθήσει στη λύση του αρχικού (κυρίως) προβλήματος, που παραπάνω έχουμε δώσει.
Και για το Λήμμα 2, προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις.

Λήμμα 2.
(Βοηθητική Πρόταση 2, Γεωμετρικός Τόπος).
10ι(107). Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ,Ν αντίστοιχα.
Να βρεθεί ο γ.τ. των περίκεντρων των τριγώνων ΑΜΝ ή ΒΜΝ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 84, δίνουμε μια λεπτομερή, κατά το δυνατό, λύση του Λήμματος 2 (Γεωμετρικός Τόπος).
Προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους λύσεις για τα Λήμματα 1 και 2.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#19

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α, Β και μεταβλητή ευθεία (ε), η οποία περνάει από σταθερό σημείο Γ.
Δύο κύκλοι (Κ, $R_{1}$ ),(Λ, $R_{2}$ ), είναι έτσι κατασκευασμένοι ώστε να περνούν από τα Α και Β και να εφάπτονται στην ευθεία (ε) στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα.
Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΜΝ ή ΒΜΝ περνούν από δεύτερο σταθερό σημείο.

Έστω ότι η ευθεία ΑΒ τέμνει την ευθεία (ε) στο Ε, και, επανατέμνει τον κύκλο (ΑΝΜ) στο D. (Εκ παραδρομής, στο συνημμένο σχήμα, ονόμασα Κ το κέντρο του κύκλου (ΑΝΜ) ).
Το Ε είναι κοινό μέσο των τμημάτων ΝΜ και ΒD, αφού

$EB\cdot EA=EN^2=EM^2=ED\cdot EA$

και από εδώ:

$EN=EM, \: ED=EB$ .

To κέντρο Κ του κύκλου (ΑΝΜ) βρίσκεται στην μεσοκάθετο GK του AD και στην μεσοκάθετο EK του ΝΜ. Θα δείξουμε ότι το Κ κινείται σε σταθερή ευθεία, οπότε το ζητούμενο σταθερό δεύτερο σημείο του κύκλου (ΑΝΜ) είναι το συμμετρικό του Α, ως προς αυτή.
Ας είναι F η προβολή του C στην ΑΒ, και Η το σημείο στο oποίο ο κύκλος (ΚΕC) επανατέμνει την ΑΒ. Κρατάμε, σαν χρήσιμο προς το τέλος της λύσης, ότι:

$EG=DG-ED=\frac{AD-DB}{2}=\frac{AB}{2}$

Τα τρίγωνα KGE, EFC όπως και τα KGH, HFC είναι όμοια, αφού οι οξείες γωνίες τους έχουν πλευρές κάθετες, οπότε:

$\frac{KG}{EF}=\frac{GE}{FC},\; \frac{KG}{HF}=\frac{GH}{FC}$

και τώρα, $\frac{FH}{FE}=\frac{GE}{GH}$

Επομένως, ΗF=ΕG. Ένας τρόπος να το δούμε είναι ότι, σύμφωνα με την τελευταία αναλογία, τα σημεία G και F διαιρούν εξωτερικά ( ή, ανάλογα με το σχήμα, εσωτερικά) το τμήμα ΕΗ σε ίδιο λόγο. Άρα ,από το αρχικό κρατούμενο, ΗF=ΑΒ/2. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Η είναι σταθερό, οπότε και η ευθεία ΗΚ, ως κάθετη στην ΗC, είναι σταθερή και η απόδειξη έγινε.

#20

Αγαπητέ φίλε Νίκο,
Καλησπέρα
Παρότι έχουμε καιρό να τα πούμε, ας μη θεωρηθεί ότι η προηγούμενη προσφώνηση μου υπολείπεται σε κάτι των παλαιότερων η της τωρινής.
Λόγω έλλειψης χρόνου και μόνο από μέρους μου έχουμε καιρό να ανταλλάξουμε απόψεις.
Έχεις δίκιο ότι η απόδειξη που παραθέτω έχει δύο σημεία που δεν είναι ξεκάθαρα, ας τα συμπληρώσω, λοιπόν.
Έστω Σ η τομή της ΝΕ με τον κύκλο c. Θα αποδείξουμε ότι το ΑΜΝΣ είναι εγγράψιμο, επομένως το Σ είναι κοινό σημείο του c με τον κύκλο ΑΜΝ.
Η γωνία ΑΣΕ είναι παραπληρωματική της ΑΒΕ, η οποία είναι ίση με την ΑΜΝ.
Όμοια αποδεικνύουμε ότι η τομή της ΜΔ με τον c, είναι σημείο του κύκλου ΑΜΝ, επομένως οι ΜΔ και ΝΕ, τέμνονται στο (δεύτερο) κοινό σημείο του c με τον ΑΜΝ.
Για τη δεύτερη παρατήρηση, χρησιμοποιώ τη πρόταση:
Αν ο πόλος ευθείας ε βρίσκεται πάνω σε ευθεία δ, τότε και ο πόλος της δ είναι σημείο της ε.

Ελπίζω να μη μου έχει ξεφύγει κάτι.
Φιλικά,
Ανδρέας

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΖΗTAΜΕ ΑΠΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ.

Μέλη σε σύνδεση