Ταυτοτική συνάρτηση

#1

Από τον Νίκο Ζανταρίδη

Έστω $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , συνάρτηση με $\displaystyle{f(f(x))+f(x)+x=f(3x), \forall x>0}$ .

Αν η y=x

είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\infty$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{f(x)=x, \forall x>0}$

#2

s.kap έγραψε:Από τον Νίκο Ζανταρίδη

Έστω $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , συνάρτηση με $\displaystyle{f(f(x))+f(x)+x=f(3x), \forall x>0}$ .

Αν η είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο $+\infty$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{f(x)=x, \forall x>0}$

Σπύρο, αν θέλεις, δώσε κάποια υπόδειξη.

#3

Αγαπητέ Δημήτρη, μια τέτοιου είδους πρωτοβουλία δεν πρέπει να ανήκει σε μένα, αλλά στον εμπνευστή του θέματος. Εγώ , σε αυτή την περίπτωση είμαι απλώς μεταφορέας.
Φιλικά

#4

Ας δώσει κάποιος από τα μέλη κάποια υπόδειξη, γιατί έχω "κολλήσει". (Πιστεύω βέβαια να λύνεται με ύλη σχολική)

Ιωάννου Δημήτρης
Μαθηματικός

nikoszan · #5

Επαναφερω το θεμα αυτο, γιατι το θεωρω ωραιο και διδακτικο [δεν δινω υποδειξη,γιατι νομιζω οτι αυτο δεν ειναι σωστο για προφανη λογο]

#6

Το ξαναεπαναφέρω το θέμα (για να μην πάει χαμένο). Πάντως, δεν έχω μπορέσει να δώσω λύση, παρόλο που έχω ασχοληθεί αρκετά.

#7

Πριν λίγο καιρό, έχει τεθεί από τον κ. Νίκο Ζανταρίδη το εξής θέμα (μου φαίνεται πρωτότυπο)
Έστω $f:(0,+oo)\rightarrow (0,+oo)$ συνάρτηση με f(f(x))+f(x)+x=f(3x) για κάθε χ>0. Αν η ψ=χ είναι ασύμπτωτη της γρ. παράστασης της f στο +οο, να αποδειχθεί ότι f(x)=x για κάθε χ>0.

Το έχω προσπαθήσει, αλλά δεν έχω βγάλλει άκρη. Αν λύνεται με σχολική ύλη, θεωρώ ότι είναι χρήσιμο να δοθεί κάποια υπόδειξη, μιας και δεν έχει λυθεί.

#8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Πριν λίγο καιρό, έχει τεθεί από τον κ. Νίκο Ζανταρίδη το εξής θέμα (μου φαίνεται πρωτότυπο)
Έστω $f:(0,+oo)\rightarrow (0,+oo)$ συνάρτηση με f(f(x))+f(x)+x=f(3x) για κάθε χ>0. Αν η ψ=χ είναι ασύμπτωτη της γρ. παράστασης της f στο +οο, να αποδειχθεί ότι f(x)=x για κάθε χ>0.

Το έχω προσπαθήσει, αλλά δεν έχω βγάλλει άκρη. Αν λύνεται με σχολική ύλη, θεωρώ ότι είναι χρήσιμο να δοθεί κάποια υπόδειξη, μιας και δεν έχει λυθεί.

Από ότι κατάλαβα, δεν θα έχω την τύχη να δω πως θα λυθεί το παραπάνω θέμα!!! Τουλάχιστον θα έχω με κάτι να ασχολούμαι τον ελεύθερο χρόνο μου.
Ιωάννου Δημήτρης

MANOLISMATHS · #9

είναι συνεχής η συνάρτηση ή όχι

το +απειρο γράφετε έτσι (\+infty) στην latex

#10

Αν

είναι τέτοιος ώστε $f(x)\geq a x$ , τότε

$f(f(x))\geq af(x) \geq a^2x$ κι άρα $f(3x)=f(f(x))+f(x)+x\geq (a^2+a+1)x$ ,

οπότε

$f(x)\geq \dfrac{a^2+a+1}{3}x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Αφού $f(3x)\geq x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει $f(x)\geq \frac{1}{3}x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Άρα $f(x)\geq a_n x$ (*)

για $n\geq 1$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , όπου a_1=1/3

και $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+a_n+1}{3}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι $a_n\leq a_{n+1}\leq 1$ για κάθε $n\geq 1$ , κι άρα η $\{a_n\}$ συγκλίνει. Έπεται εύκολα από τον αναδρομικό τύπο ότι $\lim_{n\to +\infty} a_n=1$ .

Παίρνοντας $n\to +\infty$ στην (*) συμπεραίνουμε ότι $f(x)\geq x$ (1) για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Επιπλέον, $f(3x)-f(x)=f(f(x))+x\geq 2x$ ,

και γενικά

$f(3^nx)-f(x)=\sum_{k=1}^n (f(3^k)-f(3^{k-1}x)) \geq \sum_{k=1}^n (3^k-3^{k-1})x=3^nx-x$

για κάθε $n\geq 1$ και κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Άρα

$f(x)-x\leq \lim_{n\to +\infty} (f(3^nx)-3^nx)=0$ ,

οπότε

$f(x)\leq x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ (2).

Το συμπέρασμα έπεται από τις (1) και (2).

(δείτε και Putnam and beyond, πρόβλημα 543).

Φιλικά,

Αχιλλέας

#11

achilleas έγραψε:Αν είναι τέτοιος ώστε $f(x)\geq a x$ , τότε

$f(f(x))\geq af(x) \geq a^2x$ κι άρα $f(3x)=f(f(x))+f(x)+x\geq (a^2+a+1)x$ ,

οπότε

$f(x)\geq \dfrac{a^2+a+1}{3}x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Αφού $f(3x)\geq x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει $f(x)\geq \frac{1}{3}x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Άρα $f(x)\geq a_n x$ (*)

για $n\geq 1$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , όπου και $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+a_n+1}{3}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι $a_n\leq a_{n+1}\leq 1$ για κάθε $n\geq 1$ , κι άρα η $\{a_n\}$ συγκλίνει. Έπεται εύκολα από τον αναδρομικό τύπο ότι $\lim_{n\to +\infty} a_n=1$ .

Παίρνοντας $n\to +\infty$ στην (*) συμπεραίνουμε ότι $f(x)\geq x$ (1) για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Επιπλέον, $f(3x)-f(x)=f(f(x))+x\geq 2x$ ,

και γενικά

$f(3^nx)-f(x)=\sum_{k=1}^n (f(3^k)-f(3^{k-1}x)) \geq \sum_{k=1}^n (3^k-3^{k-1})x=3^nx-x$

για κάθε $n\geq 1$ και κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Άρα

$f(x)-x\leq \lim_{n\to +\infty} (f(3^nx)-3^nx)=0$ ,

οπότε

$f(x)\leq x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ (2).

Το συμπέρασμα έπεται από τις (1) και (2).

(δείτε και Putnam and beyond, πρόβλημα 543).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλέα, σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες με το δύσκολο αυτό θέμα. Η αλήθεια πάντως είναι ότι ξεφεύγει από την "εμβέλειά μου" και δεν έχω πλήρως κατανοήσει την διαδικασία της απόδειξης. Δεν ξέρω, αν θα μπορέσει κάποιος να δώσει πιο απλή απόδειξη (γιατί με τον τρόπο αυτό, δεν μπορεί νομίζω να αντιμετωπιστεί από μαθητές Γ Λυκείου)

Nick1990 · #12

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Αχιλέα, σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες με το δύσκολο αυτό θέμα. Η αλήθεια πάντως είναι ότι ξεφεύγει από την "εμβέλειά μου" και δεν έχω πλήρως κατανοήσει την διαδικασία της απόδειξης. Δεν ξέρω, αν θα μπορέσει κάποιος να δώσει πιο απλή απόδειξη (γιατί με τον τρόπο αυτό, δεν μπορεί νομίζω να αντιμετωπιστεί από μαθητές Γ Λυκείου)

Μα γι αυτό βρήσκεται στο φάκελο των ολυμπιάδων και ούτε καν στα "Θέματα με απαιτήσεις" της Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ο τίτλος του υποφακέλου "Θέματα για λύκειο" είναι ψιλοπαραπλανητικός εδώ. Με τον τίτλο αυτό δεν εννοείται ότι τα θέματα που μπαίνουν στο φάκελο αυτό είναι σχολικά, αλλά θέματα μαθητικών ολυμπιάδων τα οποία απευθύνονται σε ιδιαίτερα "ψαγμένους" μαθητές αλλά ξεφεύγουν από λίγο έως πολύ απο το σχολικό επίπεδο.
Παρ' ολα αυτά, το συγκεκριμένο θέμα ξεφεύγει πολύ από τα πλαίσια των μαθητικών ολυμπιάδων, όχι λόγο του ότι θέλει γνώσεις που ακόμα και ένας ψαγμένος μαθητής λυκείου δεν έχει (πράγμα που δεν ισχύει φυσικά), αλλα λόγο του ότι στις περισσότερες χώρες η Ανάλυση είναι ένας 100% πανεπιστημιακός κλάδος και γι αυτό ποτέ προβλήματα που σχετίζονται με ανάλυση δεν εξετάζονται σε διεθνείς μαθητικές ολυμπιάδες.
Πιστεύω λοιπόν πως θα έπρεπε να μεταφερθεί στους διαγωνισμούς για φοιτητές.

nikoszan · #13

Αχιλλεα, σωστα μετακινηθηκε το θεμα στο διαγωνισμοι για φοιτητες.
Η λυση που εδωσες ειναι υποδειγματικη και διδακτικη.Η λυση που θα προτεινα δεν προσθετει κατι περισσοτερο.
Φιλικα Ν. Ζανταριδης.

MANOLISMATHS · #14

Επειδή μου άρεσε η άσκηση,, η ανισότητα που προέκυψε μετά την φράση και γενικά
Απο πια απο όλες προκύπτει

#15

MANOLISMATHS έγραψε:Επειδή μου άρεσε η άσκηση,, η ανισότητα που προέκυψε μετά την φράση και γενικά
Απο πια απο όλες προκύπτει

Από την $f(3x)-f(x)\geq 2x$ με $3^{k-1}x$ ( $k\geq 1$ ) αντί για

παίρνουμε

$f(3^kx)-f(3^{k-1}x)\geq 2\cdot 3^{k-1}x=(3^{k}-3^{k-1})x$ .

και μετά παίρνουμε το τηλεσκοπικό άθροισμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ταυτοτική συνάρτηση

Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

ΖΗΤΑΩ ΥΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΖΗΤΑΩ ΥΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: ΖΗΤΑΩ ΥΠΟΔΕΙΞΗ.

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση