ριζες εξίσωσης

katsaounisgiannis · #1

Εστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση f:R->R με f(3)=0.
Δείξτε ότι η εξίσωση f(2x-1)=-f(x+2) έχει μοναδική λύση

#2

Εκτός αν δεν βλεπώ κάτι, νομίζω ότι λείπει η συνέχεια της f.

Θέτουμε $g(x)=f(2x-1)+f(x+2),x \in \mathbb{R}$ .

Οι συναρτήσεις f(2x-1),f(x+2)

είναι γνησίως αύξουσες ως σύνθεση συναρτήσεων που είναι αύξουσες,

άρα και η συνάρτηση g(x)

είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα συναρτήσεων που είναι αύξουσες.

Συνεπώς η g(x)=0

έχει το πολύ μια ρίζα.

Επίσης αφού η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και f(3)=0

ισχύουν:
* Για $x<3 \Rightarrow f(x)<0$ και
* Για $x>3 \Rightarrow f(x)>0$ .

Συνεπώς g(2)=f(4)>0

,

και αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ.Bolzano για την

στο [1,2]
υπάρχει ρίζα στο (1,2), όπου λόγω μονοτονίας είναι μοναδική.

#3

Ίσως θα έπρεπε να δοθεί f(5)=0, οπότε τότε δεν θα χρειαζόταν να είναι συνεχής η f

Νασιούλας Αντώνης · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Ίσως θα έπρεπε να δοθεί f(5)=0, οπότε τότε δεν θα χρειαζόταν να είναι συνεχής η f

Κύριε Δημήτρη μάλλον έτσι πρέπει να είναι.

Αν ήταν f(3)=0 τότε η δοθείσα για x=2 θα έδινε f(4)=0 και για x=1 θα έδινε f(1)=0.

Αυτός όμως έρχεται σε αντίθεση με το ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς "1-1".

Άρα κάτι λάθος υπάρχει στην εκφώνηση...-νομίζω-...

Νομίζω ακόμα ότι ούτε η συνέχεια μας σώζει μιας και πάλι ισχύουν τα παραπάνω...

#5

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Ίσως θα έπρεπε να δοθεί f(5)=0, οπότε τότε δεν θα χρειαζόταν να είναι συνεχής η f
Αν ήταν f(3)=0 τότε η δοθείσα για x=2 θα έδινε f(4)=0 και για x=1 θα έδινε f(1)=0.

Αυτός όμως έρχεται σε αντίθεση με το ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς "1-1".

Άρα κάτι λάθος υπάρχει στην εκφώνηση...-νομίζω-...

Αντώνη προσοχή! Η... δοθείσα είναι εξίσωση και όχι συναρτησιακή σχέση.

Νασιούλας Αντώνης · #6

matha έγραψε:
Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Ίσως θα έπρεπε να δοθεί f(5)=0, οπότε τότε δεν θα χρειαζόταν να είναι συνεχής η f
Αν ήταν f(3)=0 τότε η δοθείσα για x=2 θα έδινε f(4)=0 και για x=1 θα έδινε f(1)=0.

Αυτός όμως έρχεται σε αντίθεση με το ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς "1-1".

Άρα κάτι λάθος υπάρχει στην εκφώνηση...-νομίζω-...
Αντώνη προσοχή! Η... δοθείσα είναι εξίσωση και όχι συναρτησιακή σχέση.

Έχετε δίκιο...λάθος μου!!!

Αφήνω τα παραπάνω προς διδαχή των υπολοίπων...

ριζες εξίσωσης

ριζες εξίσωσης

Re: ριζες εξίσωσης

Re: ριζες εξίσωσης

Re: ριζες εξίσωσης

Re: ριζες εξίσωσης

Re: ριζες εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση