Ολοκλήρωμα (γ λυκείου)

erxmer · #1

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: (0,+\infty) \to R: f(1/x)=-f(x) \forall x \in R^*_+$ . Αν $a,b>0:\, a+b=\pi/2$ να δειχθεί οτι
$\int_{a}^{b}{f(tanx)}dx=0$ . Eπίσης να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_{\pi/6}^{\pi/3}{\ln(tanx/x)}dx$ .

εως 14/2

Tsiri · #2

Για το πρώτο ερώτημα:
Θέτω $A = \int\limits_a^b {f(\tan x)dx}$ .
Ακόμα θέτω:
$\begin{array}{l} u = \tan x \\ \frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{\cos ^2 x}} \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{du}} = \frac{1}{{u^2 + 1}} \\ u(a) = \tan a,u(b) = \tan b = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cot a \\ \end{array}$
γιατί: $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \Leftrightarrow \tan ^2 x + 1 = \frac{1}{{\cos ^2 x}}$

Άρα: $A = \int\limits_a^b {f(\tan x)dx} = \int\limits_{\tan a}^{\cot a} {\frac{{f(u)}}{{u^2 + 1}}du = } \int\limits_{\tan a}^{\cot a} { - \frac{{f(1/u)}}{{u^2 + 1}}du}$

Όμως: $\int\limits_{\tan a}^{\cot a} { - \frac{{f(1/u)}}{{u^2 + 1}}du} = \int\limits_{\cot a}^{\tan a} { - f(y)\frac{1}{{(1/y)^2 + 1}}\left( { - \frac{1}{{y^2 }}} \right)dy} = \int\limits_{\cot a}^{\tan a} {\frac{{f(y)}}{{y^2 + 1}}dy} = - \int\limits_{\tan a}^{\cot a} {\frac{{f(y)}}{{y^2 + 1}}dy}$
γιατί θέτοντας $y = \frac{1}{u}$ παίρνω:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \frac{{du}}{{dy}} = - \frac{1}{{y^2 }} \\ y(\tan a) = \cot a,y(\cot a) = \tan a \\ \end{array} }$

Συνεπώς: $\displaystyle{ A = - A \Leftrightarrow A = 0 }$

Για το δεύτερο ερώτημα:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {\ln \left( {\frac{{\tan x}}{x}} \right)dx} = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {[\ln (\tan x) - \ln x} ]dx = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {\ln (\tan x)} dx - \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {\ln (x)dx} = - \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {x'\ln (x)dx} = - \left[ {x\ln x} \right]_{\pi /6}^{\pi /3} + \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {1dx} \\ = \frac{\pi }{6}\ln \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{3}\ln \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6}\ln \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{3}\ln \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} \\ \end{array} }$

αφού η $\displaystyle{\ln x}$ ικανοποιεί την συνθήκη της f και ακόμα $\displaystyle{\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2}}$ . Άρα, ισχύει το συμπέρασμα του πρώτου ερωτήματος.

p@g · #3

Για το πρώτο ερώτημα μια άλλη προσέγγιση:

θέτουμε $u=a+b-x \Leftrightarrow u=\displaystyle \frac{\pi}{2}-x$ με du=-dx

για

και για

άρα το ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle I=\int_{a}^{b}{f(tanx)dx}=\int_{b}^{a}{f \left(tan \left(\frac{\pi}{2}-x \right) \right)(-du)}=\int_{a}^{b}{f(cotu)du}= -\int_{a}^{b}{f(tanu)du}=-I \Leftrightarrow I=0$

αφού από τη δοθείσα σχέση προκύπτει $f(cotx)=\displaystyle f \left(\frac{1}{tanx} \right )=-f(tanx)$

Φιλικά

Ολοκλήρωμα (γ λυκείου)

Ολοκλήρωμα (γ λυκείου)

Re: Ολοκλήρωμα (γ λυκείου)

Re: Ολοκλήρωμα (γ λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση