Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

#1

Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.
Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο Α, όπου για κάθε x1,x2∈A ισχύει f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x 1= x2.

k-ser · #2

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.
Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο Α, όπου για κάθε x1,x2∈A ισχύει f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x 1= x2.

!

Κώστα, αυτός δεν είναι ο ορισμός της 1-1;

#3

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.
Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο Α, όπου για κάθε x1,x2∈A ισχύει f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x 1= x2.

Η πρόταση έχει δύο γραμματικές ασυνταξίες:

1) "Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο

"
καλύτερα "Μία συνάρτηση

ορισµένη σε ένα σύνολο

ονοµάζεται ένα προς ένα",

2) "...ορισµένη σε ένα σύνολο

, όπου για κάθε $x_1,x_2\in{A}$ ισχύει $f(x_1 ) = f(x_2 )\quad\Rightarrow\quad x_1= x_2$ "
[ έτσι εκφρασμένη, η ιδιότητα αποδίδεται στό σύνολο

και όχι στην συνάρτηση

],
καλύτερα "...ορισµένη σε ένα σύνολο

, για την οποία, για κάθε $x_1,x_2\in{A}$ ισχύει $f(x_1 ) = f(x_2 )\quad\Rightarrow\quad x_1= x_2$ ".

Ουσιαστικότερη (μαθηματικά) παράλειψη είναι η μη χρησιμοποίηση του "τότε και μόνο τότε" που απαιτεί ένας ορισμός.

Εν κατακλείδι. Άν κάποιος γνωρίζει ήδη τον ορισμό της 1-1 συνάρτησης -όπως ο Κώστας Σερίφης- μπορεί και να αναρωτηθεί "αυτός δεν είναι ο ορισμός;"
Αν κάποιος δεν γνωρίζει ήδη τον ορισμό της 1-1 συνάρτησης είναι -σχεδόν- αδύνατο να την καταλάβει διαβάζωντας τον παραπάνω "ορισμό".
Επομένως εξαρτάται ποιός ερωτάται.

Όσο για το αν μια τέτοια "πρόταση" είναι Σωστή ή Λανθασμένη, τελικά, είναι το λιγότερο.
Προσωπικά θα φρόντιζα να είναι καλύτερα διατυπωμένη.

#4

Ας την γράψουμε όπως θέλει ο Γρηγόρης.(αν και δεν καταλαβαίνω γιατί).

Μια συνάρτηση $\displaystyle{f\,:\,A\to \mathbb{R}}$ ονομάζεται συνάρτηση $\displaystyle{\mathbf{1}-\mathbf{1}}$ , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A}$ ισχύει η συνεπαγωγή:

................................. αν $\displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})}$ , τότε $\displaystyle{{{x}_{1}}={{x}_{2}}}$ .

Τώρα είναι σωστή ή λάθος.

Linardatos · #5

αισθάνομαι ότι κάτι θέλει να πει ο γραφών απαντάω (πέφτω στη παγίδα ??) εγώ.
Ναι είναι σωστό.
απλά δεν είναι αυτός ο ορισμός.
Τουλάχιστον σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο του υπουργείου αυτό αποδεικνύεται με απαγώγη σε άτοπο

ελπίζω να μην αρχισουμε καμία φιλολογια για το αν

το "ονομάζεται 1-1" που λέει ο γραφών και το "ειναι συναρτηση 1-1" που λέει στο βιβλίο λενε το ιδιο πράγμα....

<Γ/Λ>

#6

Αυτό είναι το νόημα της ερώτησης !!

Linardatos έγραψε:αισθάνομαι ότι κάτι θέλει να πει ο γραφών απαντάω (πέφτω στη παγίδα ??) εγώ.
Ναι είναι σωστό.
απλά δεν είναι αυτός ο ορισμός.
Τουλάχιστον σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο του υπουργείου αυτό αποδεικνύεται με απαγώγη σε άτοπο

ελπίζω να μην αρχισουμε καμία φιλολογια για το αν

το "ονομάζεται 1-1" που λέει ο γραφών και το "ειναι συναρτηση 1-1" που λέει στο βιβλίο λενε το ιδιο πράγμα....

<Γ/Λ>

#7

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.
Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο Α, όπου για κάθε x1,x2∈A ισχύει f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x 1= x2.

Δεν είναι βέβαια η διατύπωση του ορισμού του σχολικού βιβλίου , αλλά είναι ο ίδιος ορισμός. Πρόκειται για χρήση λογικού νόμου και όχι κάποιας μαθηματικής πρότασης που θέλει απόδειξη.
Ως εκ τούτου σε περίπτωση που ο μαθητής επιλέξει αυτή τη διατύπωση, είμαστε υποχρεωμένοι να τον εκλάβουμε ως απολύτως σωστό.

Κάποια χρονιά ήρθε επίσημη οδηγία από την ΚΕΓΕ να θεωρήσουμε σωστό τον ορισμό της πλάγιας ασύπτωτης , όταν οι μαθητές έδιναν τους τύπους των λ, μ και όχι τον πραγματικό ορισμό. Κατά την άποψή μου η επιλογή αυτή ήταν λάθος, διότι οι τύποι είναι πρόταση και όχι ορισμός.
Εδώ όμως έχουμε τελείως διαφορετική περίπτωση !
(Φυσικά αξίζει να τονίσουμε στους μαθητές οι ορισμοί είναι απαραίτητο να δίνονται όπως τους έχει το βιβλίο και όχι κατ'εκτίμηση !)

Μπάμπης

#8

Το θέμα ξεκίνησε ως εξης
Με κάποιο συνάδελφο συναντήσαμε την παρακάτω πρόταση.
«Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο Α, όπου για κάθε x1,x2∈A ισχύει f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x 1= x2.»
ή πιο απλά
« Μια συνάρτηση $\displaystyle{f\,:\,A\to \mathbb{R}}$ ονομάζεται συνάρτηση $\displaystyle{\mathbf{1}-\mathbf{1}}$ , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A}$ ισχύει η συνεπαγωγή:

................................. αν $\displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})}$ , τότε $\displaystyle{{{x}_{1}}={{x}_{2}}}$ .[/b]»
Η απάντηση μου ήταν ότι είναι σωστή .
Η απάντηση του συναδέλφου ήταν ,ότι είναι λάθος .
Διότι στις πανελλαδικές , θα θεωρηθεί λάθος ,γιατί αυτό δεν είναι ο ορισμός της 1-1 αλλά ένα πόρισμα του .
Και μάλιστα τονίζει (όχι μόνο αυτός αλλά αρκετοί βαθμολογητές όπως μου αναφέρει ) , γενικά όταν συναντούμαι τις λέξεις «λέγεται » «ονομάζουμε» αναφερόμαστε πάντα σε ορισμό.

Το ισχυρό τους επιχείρημα είναι το γνωστό.

Πότε λέγεται η ονομάζεται μια συνάρτηση, γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ .
........................... Απάντηση (μαθητή)
Η f ονομάζεται γνησίως αύξουσα όταν η παράγωγος είναι θετική στο διάστημα Δ.
Που είναι λάθος διότι δεν είναι αυτός ο ορισμός (άποψη δίκια του)
Και όχι γιατί εμπλέκει και την παράγωγο.

Στην ερώτηση δε
Πότε λέγεται η ονομάζεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση,γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ .
............................Απάντηση
Η f ονομάζεται γνησίως αύξουσα όταν η παράγωγος είναι θετική στο διάστημα Δ.
Θα θεωρηθεί και πάλι λάθος γιατί δεν είναι ο ορισμός .

Α.Κυριακόπουλος · #9

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Το θέμα ξεκίνησε ως εξης
Με κάποιο συνάδελφο συναντήσαμε την παρακάτω πρόταση.
«Ένα προς ένα ονοµάζεται µία συνάρτηση ορισµένη σε ένα σύνολο Α, όπου για κάθε x1,x2∈A ισχύει f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x 1= x2.»
ή πιο απλά
« Μια συνάρτηση $\displaystyle{f\,:\,A\to \mathbb{R}}$ ονομάζεται συνάρτηση $\displaystyle{\mathbf{1}-\mathbf{1}}$ , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A}$ ισχύει η συνεπαγωγή:

................................. αν $\displaystyle{f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})}$ , τότε $\displaystyle{{{x}_{1}}={{x}_{2}}}$ .[/b]»
Η απάντηση μου ήταν ότι είναι σωστή .
Η απάντηση του συναδέλφου ήταν ,ότι είναι λάθος .

Φίλε Κώστα.
Ζητάω συγνώμη αλλά δεν κατάλαβα γιατί ο συνάδελφος λέει ότι είναι λάθος.
• Γενικότερα, πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι σε προτάσεις αυτού του τύπου το Σ ή Λ δεν απευθύνεται στο αν η πρόταση αυτή καθεαυτή είναι σωστή ή όχι, αλλά στο αν ο ορισμός που έχουμε δώσει ( στην περίπτωσή μας της 1-1 συνάρτησης) είναι αυτός (Σ) ή όχι (Λ).
Φιλικά.

k-ser · #10

Χθες, έγραψα ένα σχόλιο πάνω στο θέμα. Το μετάνιωσα και το έσβησα μετά από λίγο. Σκέφτηκα ότι μάλλον δεν διατύπωσα καλά τις σκέψεις μου και ότι θα προκαλούσα δικαιολογημένες αντιδράσεις.
Κάτι όμως με τριβολίζει και δεν μπορώ παρά να επανέλθω.

Σαν βαθμολογητής δεν πρόκειται ποτέ να κόψω ούτε μισή μονάδα σε μαθητή που του ζητείται
ο ορισμός του 1-1 ή της πλάγιας ασύμπτωτης
και η απάντησή του είναι
η άμεση συνέπεια του ορισμού του 1-1, που είναι πρόταση ισοδύναμη του ορισμού,
ή, αντίστοιχα,
το θεώρημα που ακολουθεί αμέσως μετά τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης και είναι ισοδύναμη, με τον ορισμό, πρόταση.
Και οι δύο προτάσεις θα μπορούσαν να έχουν τη θέση του ορισμού στο σχολικό βιβλίο, σε άλλα βιβλία ίσως την έχουν, και δεν το καταφέρνουν απλά γιατί ο συγγραφέας επηρεασμένος από την θέση των πλανητών την περίοδο που έγραφε το βιβλίο τις τοποθέτησε αμέσως μετά τον ορισμό.

Ένας ακόμα λόγος είναι ότι και εγώ ο ίδιος, αρκετές φορές, ξεχνώ τα ονόματα δυο "κολλητών" προτάσεων: ορισμός, θεώρημα και συνεπώς δεν έχω την απαίτηση να τα θυμάται ο μαθητής μου.

Καλό είναι βέβαια, να διακρίνει τη σημασία των ονομάτων και την διάταξη που χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε σωστά μια μαθηματική θεωρία, ή να γράψουμε ένα βιβλίο μαθηματικών αλλά, σε καμιά περίπτωση, στόχος της αξιολόγησης του μαθητή στις πανελλήνιες εξετάσεις δεν είναι η ικανότητά του να γράψει ένα βιβλίο μαθηματικών, η ικανότητα αποστήθισης της διάταξης και των ονομάτων των προτάσεων του σχολικού βιβλίου.

Μπορεί... να κάνω λάθος!

#11

Δεν κάνεις λάθος, Κώστα!!!!!!

#12

Δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα. Αυτό που γράφει ο Τηλέγραφος στην αρχή είναι ο ορισμός της 1-1 συνάρτησης.

Το $f(x_{1})=f(x_{2})\Leftarrow x_{1}=x_{2}$ αφορά στο ότι η απεικόνιση

είναι συνάρτηση, δεν έχει να κάνει με τον ορισμό του 1-1

.

Α.Κυριακόπουλος · #13

Φίλε Κώστα Σερίφη.
• Τα μαθηματικά είναι ένα λογικό «κατασκεύασμα» με αυστηρούς κανόνες που έχει αρχή, σειρά, συνέχεια και συνέπεια. Πρόκειται για τα ίδια μαθηματικά, είτε τα γράφουμε σε βιβλίο είτε τα διδάσκουμε στον πίνακα.Και εξάλλου, το θεωρείς εύκολο να ξέρει ένας μαθητής αν μια πρόταση είναι ισοδύναμη με έναν ορισμό ή όχι; Για παράδειγμα, πόσοι μαθητές ξέρουν ή μπορούν να βρουν αν ο ορισμός της γνήσιας μονότονης συνάρτησης είναι ισοδύναμος με το ότι η συνάρτηση είναι 1-1; Δεν σου λέω να ρωτήσεις τους δικούς σου μαθητές γιατί είμαι σίγουρος ότι τους έχει πει την απάντηση.
• Βλέπεις λοιπόν Κώστα ότι όσο απομακρυνόμαστε από τη σωστή αντιμετώπιση των μαθηματικών, τόσο δυσκολότερα γίνονται. Και ότι οι αυστηροί τους κανόνες δεν τα καθιστούν δυσκολότερα, αλλά ευκολότερα!!!
• Αν, όπως λες, σαν βαθμολογητής δεν θα κόψεις ούτε μισή μονάδα από μαθητή που αντί για τον ορισμό που θα πρέπει να δώσει, γράψει μια ισοδύναμη πρόταση ( με απόδειξη;), τότε αδικείς τους μαθητές εκείνους που θα δώσουν το ορισμό που έχουν μάθει.
Με εκτίμηση και αγάπη.

#14

Εγώ εδώ θα συμφωνήσω με τον Κώστα Σερίφη.

Αυτό που πρέπει να εξετάζουμε είναι αν ο μαθητής γνωρίζει μια μαθηματική έννοια και όχι αν γνωρίζει πως το βιβλίο εξηγεί μια μαθηματική έννοια. Αποκλείεται δηλαδή ο μαθητής να διάβασε από κάποιο άλλο βιβλίο ένα ισοδύναμο ορισμό και να έγραψε αυτόν; Αν λοιπόν ο μαθητής γράψει ένα σωστό ορισμό για πιο λόγο να του αφαιρέσουμε μονάδες;

Το κριτήριο πρέπει να είναι ένα. Αν υποθέσουμε πως δεν γνωρίζαμε τι σημαίνει μια συνάρτηση να είναι 1-1, μπορούμε από αυτά που έγραψε ο μαθητής να το μάθουμε; Αν ναι πρέπει να πάρει όλες τις μονάδες.

#15

Το πνεύμα του διαλόγου είναι απόλυτα κατανοητό από όλους.Δε θα αναλωθούμε σε πράγματα που κατά βάση συμφωνούμε. Η διατύπωση ενός ορισμού έχει από μόνη της μια μοναδική σημασία.Η βαθμολόγησή του έχει κατά συνέπεια τη δική της αξία.
Αν καταστρατηγηθεί η απαίτηση ο ορισμός να είναι ....ορισμός,άρα διατυπωμένος σωστά και με δοσμένο σημείο αναφοράς που στις εξετάσεις είναι το σχολικό βιβλίο , τότε δεν χρειάζεται να ζητήσουμε ορισμό.

Για να δώσω και μια νότα χαλαρής κουβεντούλας:

Σκεφτείτε ένα μαθητή που στον ορισμό της παραγωγίσιμης συνάρτησης δώσει την εξής απάντηση :

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR, όταν $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x - h)}}{h}\, \in \,IR$ για κάθε αριθμό x.

Μπορούμε να θεωρήσουμε την απάντηση βαθμολογικά άρτια ; Εσείς θα μου πείτε !

Επίσης , αν ζητήσουμε τον ορισμό της συνέχειας στο α και ο μαθητής δώσει τον ορισμό με ακολουθία που τον διάβασε κάπου , κάτι που είναι απολύτως σωστό από μαθηματική άποψη,θα είμαστε ικανοποιημένοι και θα θεωρήσουμε την απάντηση πλήρη ;Προβληματίζομαι και γω.

Οι ερωτήσεις στις εξετάσεις γίνονται με βάση τους διδακτικούς στόχους που έχουν τεθεί εκ των προτέρων. Αν αυτό το παραβλέψουμε , δεν έχει νόημα να βαθμολογήσουμε ούτε τον έναν ούτε τον άλλο ορισμό και η ερώτηση αποδεικνύεται άστοχη. Θα ήταν καλύτερα να είχαμε θέσει το ερώτημα ως εξής :'' τι σας θυμίζει ο όρος συνέχεια ; '', οπότε βαθμολογούμε κάθε σωστή άποψη και όχι κάτι συγκεκριμένο.

Όλα αυτά που συζητάμε έχουν κυρίως θεωρητικό χαρακτήρα. Στις εξετάσεις , γενικά , δεν έχουμε τέτοια προβλήματα και η διόρθωση γίνεται ομοιόμορφα. Όπως στην περίπτωση με την ασύμπτωτη, έτσι και στο μέλλον , αν υπάρξει παρόμοιο θέμα, θα δοθεί φαντάζομαι γενική οδηγία, με την οποία μπορεί και να διαφωνούμε, αλλά αυτό είναι άλλο ! Αν αυτό δεν γίνει, οι συντονιστές διόρθωσης και το σώμα βαθμολογητών έχει την ωριμότητα και την κρίση να βρει το σωστό τρόπο βαθμολόγησης μιας απάντησης που δεν είναι απόλυτα ταυτόσημη με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου.
Η άποψή μου ωστόσο είναι ότι με τους ορισμούς ο μαθητής οφείλει να σέβεται το βιβλίο , τον καθηγητή του που τους δίξαξε σωστά και τον θεσμό που λέγεται ''εξετάσεις''.Πρέπει λοιπόν να τους μάθει ορθά και να μην τους μπερδεύει με τις άλλες προτάσεις.
Από κει και πέρα όλα μπαίνουν σε ... διαβούλευση και μπορεί να υπάρξουν και απώλειες.
Ο προβληματισμός του Κώστα και του Δημήτρη έχουν παιδαγωγικό ενδιαφέρον και τον δέχομαι με απόλυτο σεβασμό.Με εξαίρεση τη λεπτότητα του θέματος, χάρη στην οποία ανταλλάσσουμε αυτές τις απόψεις , δεν νομίζω ότι λέω κάτι διαφορετικό.Μια μικρή μόνο απόκλιση, δεν κάνει κακό.

Μπάμπης

k-ser · #16

Αντώνη, γνωρίζεις ότι η αυστηρότητα στα Μαθηματικά μ' αρέσει.

Προσπαθώ πάντα, διδάσκοντας τα μαθηματικά, να είμαι συνεπής με τους κανόνες που αυτά θέτουν.
Δεν θα μ' άρεσε, σε καμιά περίπτωση, οι μαθητές μου να μπερδεύουν τους ορισμούς με τις συνέπειες τους.

Ανέφερα δύο συγκεκριμένα παραδείγματα στα οποία δεν θα μ' ενοχλούσε αν ο μαθητής μπέρδευε τον ορισμό με την ισοδύναμη πρόταση που ακολουθεί αυτόν και είναι άμεση συνέπειά του.

Όσο για το αν θα αδικήσω το μαθητή...
Ένας καλός μαθητής στα μαθηματικά μπορεί να αδικηθεί κυρίως από τον τρόπο αξιολόγησής του και πολύ λιγότερο από την δική μου βαθμολόγηση.
Οι ερωτήσεις Σωστό Λάθος, παράδειγμα, με τον τρόπο που δίνονται στις εξετάσεις δεν καταλαβαίνω πως αξιολογούν την ικανότητα ενός μαθητή στα μαθηματικά.
Το να ζητήσεις από τον μαθητή να σου δώσει τον τάδε ορισμό και ο μαθητής το κάνει, χωρίς καν να κατανοεί τι είναι αυτό που γράφει ο ορισμός, δεν καταλαβαίνω: τι είναι αυτό που αξιολογούμε;
Πριν λίγα χρόνια, το 2007 αν θυμάμαι καλά, μαθητής μου έγραψε 18 στις πανελλήνιες, απαντώντας σε όλα τα θέματα εκτός από την ερώτηση θεωρίας: Να αποδείξετε ότι η παράγωγος του ln|x| είναι 1/x. Προσπαθούσε να κάνει την απόδειξη με τον ορισμό της παραγώγου, θεωρώντας ότι έχει να κάνει με κάποιο θεώρημα που έχει το βιβλίο και δεν το πρόσεξε! - Είχε υπόψιν του ότι στο 1ο θέμα ζητείται η απόδειξη κάποιου θεωρήματος! Δεν είχε προσέξει τα "ψιλά" γράμματα του βιβλίου που κάνουν την απόδειξη(;) με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης.

Τέλος πάντων, πρέπει να είμαστε προσεκτικοί και στην βαθμολόγηση αλλά, κυρίως, και στο πως θα κρίνουμε μέσω των εξετάσεων ή οποιασδήποτε αξιολόγησης τον ικανότερο.

#17

Επί του τύπου
Το βιβλίο γράφει (σελίδα 151, η υπογράμμιση δική μου)
Α) ΟΡΙΣΜΟΣ
Μια συνάρτηση $\displaystyle{f\,:\,A \to R}$ λέγεται συνάρτηση $\displaystyle{{\bf{1}} - {\bf{1}}}$ , όταν για οποιαδήποτε $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in A}$ ισχύει η συνεπαγωγή: αν $\displaystyle{{x_1} \ne {x_2}}$ , τότε $\displaystyle{f({x_1}) \ne f({x_2})}$
Πιο κάτω (σελίδα 152, η υπογράμμιση δική μου) γράφει:

B) Μια συνάρτηση $\displaystyle{f\,:\,A \to R}$ είναι συνάρτηση $\displaystyle{{\bf{1}} - {\bf{1}}}$ , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in A}$ ισχύει η συνεπαγωγή:
αν $\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2})}$ , τότε $\displaystyle{{x_1} = {x_2}}$

Επομένως το Σ-Λ που ανέφερε ο Κώστας θεωρείται σωστό.
Πάμε τώρα στο ερώτημα τι θα κάναμε αν ζητούσαν τον ορισμό της 1-1;
Θα συμφωνήσω ότι αν η ερώτηση ετίθετο με την εξής μορφή:
«Να γράψετε στο τετράδιο σας αυτό που το βιβλίο αναφέρει ως ορισμό της 1-1 συνάρτησης»
τότε ο μαθητής οφείλει να αναπαραγάγει αυτό που φέρεται στο βιβλίο ως ορισμός δηλαδή αυτό που επιγράφεται ως ορισμός. 'Ετσι όμως ζητούνται οι ορισμοί;
Ας δούμε μερικά σχετικά ερωτήματα από τα θέματα των προηγουμένων ετών:

Πότε η ευθεία x=x_0

λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

;

Πότε λέμε ότι η

στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο $\Delta$ ;

Πότε μία συνάρτηση

λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x_0

του πεδίου ορισμού της;

Πότε μια συνάρτηση

λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $\left[ \alpha ,\beta \right]$ ;

Και ερωτώ: Από που προκύπτει (όχι τι καταλαβαίνουμε εμείς αλλά προκύπτει) ότι αυτό που ζητείται ως ορθή απάντηση είναι ο επονομαζόμενος ορισμός; Επειδή στην διατύπωση του ορισμού υπάρχει το ρήμα λέγω; Δηλαδή η διαφορά έγκειται, όπως επισημαίνει ο (συνάδελφος φαντάζομαι) Linardatos στο λέγεσθαι και στο είναι; Κοντολογής μία συνάρτηση δικαιούται να είναι 1-1 ικανοποιώντας την συνθήκη Β) αλλά όχι και να λέγεται 1-1 παρεκτός αν ικανοποιεί την συνθήκη Α). Και οι ικανοποιούσες την συνθήκη Α) συναρτήσεις μπορούν να βροντοφωνάζουν «λεγόμαστε 1-1» ή κατά μόνας «με λένε 1-1» αλλά όχι «είμαστε 1-1»;
Και τι έγινε, ποια μαθηματική αρχή παραβιάζεται, ποια αρχιτεκτονική διδασκαλίας καταστρέφεται αν ο μαθητής γράψει την μία συνθήκη και όχι την άλλη λογικά ισοδύναμη της που είναι γραμμένες στο σχολικό του βιβλίο δεν τις έφερε απ΄έξω και μάλιστα σε απόσταση λίγων εκατοστών;
Η γνώμη μου είναι τίποτε. Πάντα όταν έρχεται η ώρα της βαθμολόγησης όποια και αν είναι τα καθήκοντα μου υποστηρίζω σταθερά πως αν το σχολικό (να το ξεκαθαρίζουμε) βιβλίο αναφέρει δύο ισοδύναμες αναπόδεικτες συνθήκες και η μία επέχει θέση ορισμού τότε και οι δύο πρέπει να εκλαμβάνονται ως ορισμός. Στην περίπτωση που αναφέρει μία χαλαρότερη μη ισοδύναμη συνθήκη τότε η απάντηση θα αξιολογηθεί κατά περίπτωση (λ.χ. μονότονη=παραγωγίσιμη με θετική παράγωγο).
Ο μόνος λόγος για να εμμείνει κάποιος σε αυτό το θέμα είναι η απαίτηση ενός είδους διανοητικής υποταγής: "Αυτό λέμε σαν ορισμό αυτό θα γράφεις όχι το άλλο το ισοδύναμο." Με το συμπάθειο αλλά δεν αντελήφθην ότι αυτός είναι ο σκοπός των Μαθηματικών.
Τελειώνοντας επί του τυπικού θα ήθελα να προσθέσω ότι δεν είναι θέμα παιδαγωγικής επιλογή που μας οδηγεί να δεχθούμε και τις δύο απαντήσεις σαν σωστές. Είναι αποκλειστικά θέμα μαθηματικής ορθότητας. Δεν είναι τυχαίο ότι σοβαρά συγγράμματα (εν πάση περιπτώσει σοβαρότερα του σχολικού βιβλίου) συχνά "διστάζουν" να προκρίνουν κάποια συνθήκη από τις πολλές διαθέσιμες ισοδύναμες ως ορισμό. 'Εχω μπροστά μου (δυστυχώς σε φωτοαντίγραφο) την Αγγλική έκδοση του πρώτου τόμου της τοπολογίας των Bourbaki. Στη σελίδα 75 βλέπω:
ΠΡΟΤΑΣΗ Ι 'Εστω ένα τοπολογικός χώρος. Τότε οι επόμενοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι:
(ακολουθούν 6 ισχυρισμοί και ακολουθεί απόδειξη)
και πιο κάτω
ΟΡΙΣΜΟΣ 'Ενας τοπολογικός χώρος που ικανοποιεί τις συνθήκες της πρότασης Ι λέγεται....

Επί της ουσίας
Δεν χρειάζεται να γραφεί τίποτε. Αν είμαστε προσεκτικά τυπικοί στο μαθηματικό μέρος ενίοτε εξαντλούμε και τα ζητήματα ουσίας.

Μαυρογιάννης

bilstef · #18

Σελίδα 100 σχολικού βιβλίου γεωμετρίας Α-Β Λυκείου .
ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παρ/μο που έχει μια γωνία ορθή .
Μαθητής γράφει : Ορθογώνιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει 4 Ορθές .

Σελ.101 ίδιου βιβλίου.
Ορισμός: Ρόμβος λέγεται το παρ/μο που έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες.
Μαθητής γράφει : Ρόμβος λέγεται το τετράπλευρο που έχει 4 ίσες πλευρές

Θα τα πάρουμε λάθος γιατί το βιβλίο -οι συγγραφείς του το γράφουν αλλιώς;

(για να πω δε την γνώμη μου συμφωνώ με τον μαθητή παρά με το βιβλίο,στο πλαίσιο της παραγωγικής -επαγωγικής πορείας των εννοιών .
- Πρώτα ήν το σημείο,
-μετά η κίνησή του από -έως δίνει τμήμα ,
-η κίνησή του με "σύντομο" δρόμο δίνει "ευθύγραμμο τμήμα" ενώ αν δεν έχει αρχή ούτε τέλος δίνει "ευθεία"
-Πολλά διαδοχικά μη συνευθειακά ευθύγραμμα τμήματα δίνουν τεθλασμένη γραμμή και αν τα άκρα της ταυτίζονται δίνουν κλειστή τεθλασμένη γραμμή-πολύγωνο,
-η κλειστή τεθλασμένη γραμμή με τρία ευθύγραμμα τμήματα δίνει τρίγωνο με τα είδη του ,
-η κλειστή τεθλασμένη γραμμή με 4 τμήματα δίνει τετράπλευρο.
Το τετράπλευρο :
--με 2 παράλληλες πλευρές λέγεται τραπέζιο ,
--με 2 ζεύγη παραλλήλων πλευρών λέγεται παρ/μο ,
-- με 4 ίσες γωνίες λέγεται ορθογώνιο ,
--με 4 ίσες πλευρές λέγεται ρόμβος ,
--με 4 ίσες γωνίες και πλευρές λέγεται τετράγωνο κλπ)

KARKAR · #19

Ας θυμηθούμε τις περυσινές εξετάσεις. ΕΡΩΤΗΜΑ :

Πότε μιά συνάρτηση συνεχής σ΄ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ , θα λέμε ότι είναι κυρτή στο Δ ;

Στα μισά σχεδόν γραπτά υπήρχε η απάντηση : .....αν f''(x)>0

για κάθε εσωτερικό

σημείο του Δ.

Η παραπάνω απάντηση πήρε από τους βαθμολογητές τα μισά μόρια.

Θα ισχυριστεί , βέβαια , κανείς πως εδώ δεν έχουμε ισοδύναμη πρόταση . Σωστά ..

Αλλά ας έχουμε υπόψη μας ότι οι ορισμοί που προτείνονται από τους συγγραφείς (κατά κανόνα) περνούν από 40 κόσκινα .

Θα έλεγα λοιπόν ότι δεν θα ήταν "φρόνιμο" , να αμφισβητούμε ελαφρά τη καρδία τα πάντα ,

και πάντως ας προφυλάξουμε τους υποψήφιους από τέτοιες "κακοτοπιές" , γιατί στην περίπτωση

που δεν έχουν αντιληφθεί πλήρως τις λεπτές διαφορές των εννοιών , ενδέχεται να την πατήσουν...

#20

KARKAR έγραψε: και πάντως ας προφυλάξουμε τους υποψήφιους από τέτοιες "κακοτοπιές" ,

Δεν διαφωνώ με αυτό. Από την στιγμή που το πιο πιθανό είναι να μην δοθούν όλες οι μονάδες είναι καθήκον του κάθε καθηγητή να προφυλάξει τους μαθητές του.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Επίσης , αν ζητήσουμε τον ορισμό της συνέχειας στο α και ο μαθητής δώσει τον ορισμό με ακολουθία που τον διάβασε κάπου , κάτι που είναι απολύτως σωστό από μαθηματική άποψη,θα είμαστε ικανοποιημένοι και θα θεωρήσουμε την απάντηση πλήρη ;Προβληματίζομαι και γω.

Μπάμπη, ξέχνα τις τελικές εξετάσεις Γ' Λυκείου, την προετοιμασία για αυτές, και το ότι πρέπει να προστατέψεις τους μαθητές σου από τις κακοτοπιές που λέει ο KARKAR. Έστω ότι δεν υφίστανται όλα αυτά. Θα έκοβες βαθμούς από τον μαθητή σου αν έγραφε κάτι τέτοιο σε ένα διαγώνισμα;

Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Re: Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

Μέλη σε σύνδεση