Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

kritiman · #1

Στο μάθημα της φυσικής
μου δημιοργήθηκε ενα έντονο πρόβλημα στις παραγωγους των διανυσμάτων

$\displaystyle{\frac{d(\vec{J})}{dt}=\frac{\vec{r}\times(\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt})}{r^3}+\frac{d\hat{r}}{dt}\\$

$||\frac{d\vec{r}}{dt}||=sta8ero=c$

Θέλω να αποδείξω ότι η παράγωγος αυτή είναι ίση με το μηδενικό διάνυσμα
Την έχω φέρει πολλές βόλτες την άσκηση...αλλά δεν

kritiman · #2

Το μέτρο και το μοναδιαίο διάνυσμα δεν ξέρουμε αν είναι σταθερά
...
Εχω αρχίσει να πιστεύω ότι κάτι δεν έχω στα δεδομένα

#3

kritiman έγραψε:Στο μάθημα της φυσικής
μου δημιοργήθηκε ενα έντονο πρόβλημα στις παραγωγους των διανυσμάτων

$\displaystyle{\frac{d(\vec{J})}{dt}=\frac{\vec{r}\times(\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt})}{r^3}+\frac{d\hat{r}}{dt}\\$

$||\frac{d\vec{r}}{dt}||=sta8ero=c$

Υπόδειξη (μόνο που δεν έκανα τις πράξεις μέχρι τέλους γιατί πολλές αλλά είναι ρουτίνα)

Θα χρησιμοποιήσεις

α) $\frac {d}{dt}(a\times b) = \frac {da}{dt}\times b + a\times\frac {db}{dt}$

β) $a\times (b\times c) = (a\cdot c)b-(a\cdot b)c$

γ) $a\times a =0$

δ) Αφού (δίνεται) $\frac{dr}{dt}\cdot \frac{dr}{dt} = stathero$ έχουμε παραγωγίζοντας $\frac{dr}{dt}\cdot \frac{d^2r}{dt^2} =0$

Ελπίζω να βοήθησα, πάντως δεν έχει τίποτα ουσιαστικό από δω και πέρα.

Μ.

#4

kritiman έγραψε:Το μέτρο και το μοναδιαίο διάνυσμα δεν ξέρουμε αν είναι σταθερά
...
Εχω αρχίσει να πιστεύω ότι κάτι δεν έχω στα δεδομένα

Δες πρώτα από όλα αν μας μετέφερες σωστά την άσκηση (όπως σου την έδωσαν). Έλεγξε, επίσης, με βάση αυτά που γράφω παραπάνω.

kritiman · #5

Λοιπόν εγώ πάλι σας θαυμάζω
το έχω φτάσει μέχρι εδώ

$\\\frac{(\vec{r}\frac{d(\vec{r})}{dt})\vec{r}-r^2\frac{d(\vec{r})}{dt}}{r^3}+\frac{d(\hat{r})}{dt}=\\\frac{(\vec{r}\frac{d(\vec{r})}{dt})\hat{r}}{r^2}-\frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{r}+\frac{d\hat{r}}{dt}$

#6

kritiman έγραψε: $\displaystyle{\frac{d(\vec{J})}{dt}=\frac{\vec{r}\times(\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt})}{r^3}+\frac{d\hat{r}}{dt}\\$

$||\frac{d\vec{r}}{dt}||=sta8ero=c$ [/b]

Θέλω να αποδείξω ότι η παράγωγος αυτή είναι ίση με το μηδενικό διάνυσμα

Χωρίς άλλες υποθέσεις η άσκηση δεν είναι σωστή: Πάρε $\vec{r} = (\sin t, \cos t, t)$ , οπότε $||\frac{d\vec{r}}{dt}||= ||( \cos t, - \sin t, 1)|| = \sqrt 2$

Με αντικατάσταση στο αποδεικτέο βλέπουμε ότι δεν ισούται με 0. Π.χ. το ξεκινάμε με τα $\vec r \times \frac{d\vec{r}}{dt} = (\sin t, \cos t, t) \times ( \cos t, - \sin t, 1) = (\cos t + t \sin t, \, t \cos t -\sin t, -1)$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

kritiman · #7

Την ξαναπαρουσιάζω ολόκληρη μήπως και εγώ λανθάνω κάπου
Ας με συγχωρέσει το φόρουμ που είναι φυσικό πρόβλημα ,όμως το πρόβλημα είναι κατι παραπάνω απο αναλυτικής γεωμετρίας
Και για μένα το τρίτο έχει και γεωμετρική επέκταση

Δίνεται σωματίδιο,το οποίο κινείται μέσα σε ενα συγκεκριμμενο πεδιο δυναμης,όπου η μοναδική δύναμη που ασκείται είναι η $\\F=\frac{\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}}{r^3}$
Να αποδειχθεί ότι η κινητική ενέργεια του σώματιδίου είναι σταθερή
Να δείξετε ότι η $\vec{J}=\vec{r}\times\vec{p}+\hat{r},\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}$ είναι σταθερό
Και τρίτον να δείξετε ότι το σωματίδιο διατρέχει κωνική επιφάνεια,υπόδειξη $\hat{r}\cdot\vec{J}=0$

Για το πρώτο
Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ελπίζω να εχώ κάνει σωστά τις μαθηματικές πράξεις
Αν κάτι δεν σας αρέσει πείτε μου να το διορθώσω

Το δεύτερο παίρνουμε την χρονική παράγωγο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν θέλετε λύστε μου μια απορία στο τρίτο το J παίζει το ρόλο του άξονα του κάθετου που περνά η αρχή του κώνου
και όταν λέμε διατρέχει κωνική επιφάνεια απο πού φαίνεται αυτο απο την υπόδειξη...
Αν μπορείτε απαντήστε μου σε αυτό το ερώτημα ,,,γιατι οι καμπύλες επιφάνειες τις πέρνανε σχεδόν σε όλες τις σχολές πολύ γρήγορα

Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Re: Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Re: Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Re: Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Re: Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Re: Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Re: Μια άσκηση με παραγώγους διανυσμάτων

Μέλη σε σύνδεση