Τριώνυμο και τρεις αριθμοί

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x^2+px+q.

Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς
$|f(0)|\; ,\; |f(1)|\; ,\; |f(-1)|\; ,\;$ δεν είναι μικρότερος του $\dfrac{1}{2}.$

#2

Aρκεί να αποδειχθεί πως τουλάχιστον ένας απο τους δοθέντες αριθμούς είναι μεγαλύτερος ή ίσος του $\displaystyle{ \frac{1}{2} }$ .
Ας υποθέσουμε πως και οι τρείς είναι μικρότεροι απο το $\displaystyle{ \frac{1}{2} }$ .

Τότε:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} |f(-1)| = |1 - p + q| < 1/2(1) \\ |f(0)| = |q| < \frac{1}{2} \Rightarrow |2q| < 1(2) \\ |f(1)| = |1 + p + q| < \frac{1}{2}(3) \\ \end{array} }$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(2),(3) έχω:
$\displaystyle{ |1 - p + q| + |2q| + |1 + p + q| < \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2 }$
Απ'όπου εφαρμόζοντας τριγωνική ανισότητα λαμβάνω:
$\displaystyle{ 2 = |2 + 2q - 2q| \le |1 - p + q + 1 + p + q| + |2q| \le |1 - p + q| + |2q| + |1 + p + q| < \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2 }$

Άτοπο.
Συνεπώς τουλάχιστον ένας απο τους τρείς είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο το $\displaystyle{ \frac{1}{2} }$

Τριώνυμο και τρεις αριθμοί

Τριώνυμο και τρεις αριθμοί

Re: Τριώνυμο και τρεις αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση