Βαλκανική Ολυμπιάδα Μαθηματικών, Σερβία 2009

[cretanman]

Καλησπέρα σε όλους,

Παρακάτω παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού όπως τα μετέφρασε ο Σιλουανός (smar) τον οποίο ευχαριστούμε:




1. Να λύσετε την εξίσωση στους θετικούς ακεραίους :

2. Έστω τριγώνου όπου τα είναι σημεία των πλευρών αντίστοιχα. Oι ευθείες τέμνονται στο . Oι περιγεγραμμένοικύκλοι των τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία . Νδο

3. Ένα ορθογώνιο διαιρείται σε μοναδιαία τετράγωνα. Τα κέντρα όλων των μοναδιαίων τετραγώνων, εκτός από τα τέσσερα γωνιακά και τα οκτώ μοναδιαία τετράγωνα που έχουν μία κοινή πλευρά με ένα από αυτά, χρωματίζονται κόκκινα. Είναι δυνατόν να ονομάσουμε τα κόκκινα κέντρα έτσι ώστε να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι δύο παρακάτω συνθήκες:
1) οι αποστάσεις είναι όλες ίσες με ,
2) η κλειστή τεθλασμένη γραμμή έχει κέντρο συμμετρίας;

4. 'Εστω το σύνολο των θετικών ακεραίων. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις που είναι τέτοιες ώστε

για κάθε .




Σχόλια - Αποτελέσματα

1) Τα αποτελέσματα για την Ελληνική Ομάδα:

ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ ο Δημήτρης Παπαδημητρίου (dimitris pap στο forum μας)
ΧΑΛΚΙΝΑ ΜΕΤΑΛΛΙΑ οι υπόλοιποι 5 μαθητές της Ομάδας: Γιεχασκιελ Ηλίας, Λογοθέτης Φώτης, Παγωνάκης Δημήτρης, Παππέλης Κωνσταντίνος, Ταρατόρης Ευάγγελος.

Θέλω να δώσω πολλά συγχαρητήρια σε ολόκληρη την Ελληνική Ομάδα και ακόμη περισσότερα στον Δημήτρη Παπαδημητρίου και μέλος του forum, για την κατάκτηση του Χρυσού μεταλλίου (του 2ου της Ελλάδας αν δεν κάνω λάθος στην Ιστορία των Βαλκανικών Ολυμπιάδων).

ΠΟΛΛΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΣΑΣ ΠΑΙΔΙΑ!!ΜΑΣ ΚΑΝΕΤΕ ΥΠΕΡΗΦΑΝΟΥΣ

2) Ας σημειωθεί ότι το πρώτο θέμα είναι Ελληνική πρόταση.

3) Αξίζει να σημειωθεί τέλος, ότι το 4ο θέμα λύθηκε μόνο από ένα (Βούλγαρο) μαθητή ολοκληρωμένο!

4) Η επίσημη ιστοσελίδα της Βαλκανιάδας του 2009 στην οποία θα βρείτε τα θέματα και τα τελικά αποτελέσματα είναι η http://www.dms.org.rs/bmo/

Αλέξανδρος

[S.E.Louridas]

Θεωρώ υποχρέωση μου να συγχαρώ τα παιδιά της ομάδας γιά την πρoσωπική τους αυτή επιτυχία, στον διεθνή Μαθηματικό Διαγωνισμό B.M.O.2009 πού ειναι και επιστημονική επιτυχία της Πατρίδας μας και αν μου επιτραπεί, να τα ευχαριστήσω εκ μέρους τής μαθηματικής κοινότητας γιά αυτό.ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ τα μέλη της οικογένειας ΜΑΤΗΕΜΑΤΙCA έχουν την τιμή να ανήκει σε αυτή το ΧΡΥΣΟ μετάλλιο του Διαγωνισμού B.M.O.2009 ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ.
Ευχές γιά συνεχείς επιτυχίες (δεδομένο)
Σ.Ε.Λουρίδας

[mathxl]

ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ και από εμένα στα παδιά που τίμησαν τα χρώματα της ελληνικής ομάδας και με το παραπάνω

[Α.Κυριακόπουλος]

Μπράβο παιδιά. Μας κάνατε υπερήφανους. Πολλά συγχαρητήρια.

[mathfinder]

ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΤΟΥΣ . ΕΥΧΟΜΑΙ ΝΑ ΦΕΡΟΥΝ ΟΛΟΙ ΑΚΟΜΑ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ. ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΜΠΡΑΒΟ ΣΕ ΟΛΟΥΣ.

[chris_gatos]

Μπράβο σε όλους. Πάντα επιτυχίες στη ζωή σας!

[R BORIS]

ΜΠΡΑΒΟ ΣΤΑ ΠΑΙΔΙΑ

[gbaloglou]

Συγχαρητηρια και εις ανωτερα!

Για το #2 λεω οτι δεν γινεται διοτι η ιδια η 'κινηση' δεν εχει κεντρο συμμετριας

Επεξηγω: πηγαινουμε απο το ενα κεντρο στο επομενο κανοντας μια κινηση οπως αυτη του ιππου στο σκακι, μονο που σ' αυτην την περιπτωση η κινηση ειναι 3-2 αντι για 2-1 -- ετσι προκυπτει και η τετραγωνικη ριζα του 13 = 3^2 + 2^2. Οποτε, αν οντως μπορουμε να ταξιδεψουμε 'συμμετρικα' και 'κλειστα' αναμεσα στα 96 κεντρα τοτε μπορουμε να τα αριθμησουμε με τετοιο τροπο ωστε τα Κ-48 και Κ-49 να ειναι οχι μονο συμμετρικα ως προς το κεντρο Ο του ορθογωνιου μα και 'γειτονικα' -- αυτο ομως ειναι αδυνατον διοτι το *μη συμμετρικο* 'γαμμα' της μεταβασης απο το Κ-48 στο Κ-49 δεν μπορει να εχει κεντρο συμμετριας το Ο.

[Προσπαθησα και το #1 αλλα δεν τα καταφερα. Τα αλλα δυο δεν τα ειδα καθολου. Στο #2 βοηθαει και η σκεψη οτι δεν μπορει να ειναι δυνατη η ζητουμενη κατασκευη λογω αρκουντως πολυπλοκου (και για τους βαθμολογητες) σχηματος ]

Συγχαρητηρια και παλι,

Γιωργος Μπαλογλου

[iolis]

Συγχαρητήρια σε όλους σας και από μένα και πάντα επιτυχίες στη ζωή σας.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Συγχαρητήρια παιδιά, και ιδιαίτερα στο μέλος μας Δημήτρη πάντα επιτυχίες.

[xr.tsif]

Ένα μεγάλο Μπράβο στα παιδιά.
Πάντα επιτυχίες και να συνεχίσουν να μας κάνουν υπερήφανους

[Φωτεινή]

Μπράβο σας παιδιά,πάντα επιτυχίες

[Μπάμπης Στεργίου]

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλα τα παιδιά, στους γονείς τους αλλά και σε όλους τους συντελεστές που συνέβαλαν σε αυτή την τεράστια επιτυχία των μαθητών μας !


Μπάμπης

[dimitris pap]

Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τα συγχαρητήρια!

Θα ήθελα και εγώ να συγχαρώ τα υπόλοιπα 5 παιδιά τς ομάδας και να τους ευχηθώ και δημόσια καλή επιτυχία για την ΙΜΟ!

Επίσης θα ήθελα να συγχαρούμε όλοι ένα απ' τα βασικότερα στελέχη του forum, τον Αλέξανδρο Συγγελάκη, που πρότεινε το 1ο θέμα! (το 2ο ήταν απ' την Μολδαβία και τα 2 τελευταία από Βουλγαρία)

[S.E.Louridas]

Όταν το νεαρό της ηλικίας συνδιάζεται με την έπιστημονικότητα τότε υπάρχει μέλλον.
Μιλώ καί γιά τον Εισηγητή του ενός από τα θέματα της Β.Μ.Ο.2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ Αλέξανδρο Συγκελάκη.
Του αξίζουν συγχαρητήρια.
Επιτέλους τα παιδιά ,όπως ο Δημήτρης Παπαδημητρίου,Αποκαθιστούν την εντιμότητα της
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ.
Σ.Ε.Λουρίδας

[cretanman]

Δημήτρη και Σωτήρη σας ευχαριστώ πολύ! Ήταν ιδιαίτερα τιμητικό που προτίμησαν το θέμα μου για τη διοργάνωση αυτή! Φυσικά τα περισσότερα συγχαρητήρια ανήκουν στους μαθητές που την προσπάθησαν και την έλυσαν παρά στο δημιουργό ο οποίος χωρίς το άγχος των εξετάσεων κατασκεύασε ένα θέμα και το αντιμετώπισε χωρίς χρονικούς περιορισμούς!

Εύχομαι και εις ανώτερα στο Δημήτρη και σε όλη την ομάδα! Επισυνάπτω για την ιστορία το θέμα όπως το έστειλα στον πρόεδρο της επιτροπής διαγωνισμών ο οποίος το μετέφρασε και το έστειλε στο "Problem Selection Committee" της Βαλκανιάδας 2009 στη Σερβία. Η διαδικασία επιλογής των θεμάτων είναι η εξής: Η εν λόγω επιτροπή (συνήθως ολιγομελής) συγκεντρώνει όλα τα θέματα και διαλέγει κάποια τα οποία βάζει ανα κατηγορία (Θεωρία Αριθμών, Άλγεβρα, Γεωμετρία, Συνδυαστική) σε μία μεγαλύτερη λίστα περίπου 20-25 προβλημάτων συνολικά, τη λεγόμενη Shortlist ΧΩΡΙΣ όμως να αναφέρει τη χώρα που πρότεινε το κάθε θέμα. Έτσι, την προηγούμενη μέρα του διαγωνισμού στη συγκέντρωση των αρχηγών των αποστολών, βάζουν κάτω αυτή τη λίστα και ψηφίζουν για τα θέματα του διαγωνισμού (χωρίς όμως να γνωρίζουν από ποιά χώρα είναι το κάθε πρόβλημα - αυτός είναι και ο λόγος που μπορεί στην ίδια διοργάνωση να υπάρχουν 2 προβλήματα από την ίδια χώρα). Τα 4 θέματα που θα ψηφιστούν αποτελούν κι εκείνα που τελικά θα διαγωνιστούν οι υποψήφιοι την επομένη.

Ο κος Λάμπρου που έχει διατελέσει παλαιότερα αρχηγός της Ελληνικής αποστολής γνωρίζει πολύ περισσότερα.

Τελειώνοντας θα ήταν παράλειψη να μην ευχαριστήσω και τον πρόεδρο της επιτροπής διαγωνισμών της ΕΜΕ για την εμπιστοσύνη που έδειξε και έστειλε το εν λόγω θέμα στη διοργάνωση!

Αλέξανδρος Συγκελάκης

[Α.Κυριακόπουλος]

Όπως μαθαίνω:
Ελληνική πρόταση= Αλέξανδρος Συγκελάκης
Αλέξανδρε θερμά συγχαρητήρια.

[Μπάμπης Στεργίου]

Αλέξανδρε, συγχαρητήρια !

Να ένας λόγος που λέω ότι τα θέματα διαγωνισμών πρέπει να φέρουν και το όνομα του προτείνοντος. Δεν είναι χαζοί οι Ρώσσοι και όλοι οι ..ανατολικοί ! Και το αδιάβλητο εξασφαλίζουν και τη δημιουργία ασκήσεων στηρίζουν, αφού προβάλλουν τους δημιουργούς !

Εύχομαι να δούμε θέμα σου και στην ΙΜΟ(Διεθνή Ολυμπιάδα) !

Μπάμπης

[gbaloglou]

Θερμα συγχαρητηρια και απο καποιον που και αρκετη πειρα εχει σε τετοια θεματα και χρονο πολυ αφιερωσε σ' αυτο το τοσο ομορφο προβλημα ... χωρις επιτυχια

Γιωργος Μπαλογλου

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Αλέξανδρε θερμά συγχαρητήρια και σύντομη (μόνιμη) επιστροφή στο Ηράκλειο!
ΑΝΔΡΕΑΣ