Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

G.Tsikaloudakis · #1

Έστω συνάρτηση

συνεχής στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ , τέτοια ώστε:

$[\alpha ,\beta ] \subseteq f\left( {[\alpha ,\beta ]} \right){\rm{ }}{\rm{, }}f(\alpha ) < \alpha < f(\beta ) < \beta$

Να δείξετε ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) η εξίσωση:

$\frac{{x - \alpha }}{{f(x) - \alpha }} - \frac{{x - \beta }}{{f(x) - \beta }} = 0$

(Συναρτήσεις- Όρια -Συνέχεια: Γ.Τσικαλουδάκη)

PanosG · #2

Έχει κάτι που δε βλέπω η άσκηση η προκύπτει άμεσα απο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

pana1333 · #3

PanosG έγραψε:Έχει κάτι που δε βλέπω η άσκηση η προκύπτει άμεσα απο
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Bolzano για την $\displaystyle g(x)= (f(x)-\beta)(x-a)-(x-\beta)(f(x)-a)$ στο [α,β]

Είναι $g\left(\alpha \right)<0,g\left(\beta \right)<0$

#4

Παναγιώτη καλησπέρα!
Δεν εφαρμόζεται Bolzano γιατί και οι δύο τιμές στα άκρα είναι αρνητικές.
Επειδή $\displaystyle{ f(a) \ne f(\beta ) }$
υπάρχει $\displaystyle{ x_1 \in \left( {a,\beta } \right) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f(x_1 ) = a }$
Τότε η g που δίνεις είναι:
$\displaystyle{ g(x_1 ) = (x_1 - a)(a - \beta ) < 0 }$
Επίσης λόγω συνέχειας θα υπάρχει $\displaystyle{ x_2 \in \left( {a,\beta } \right) }$
με $\displaystyle{ f(x_2 ) = \beta }$
Τότε $\displaystyle{ g(x_2 ) = (\beta - x_2 )(\left( {\beta - a} \right) > 0 }$
(αφού ισχύει $\displaystyle{ m \le f(a) < a < f(\beta ) < \beta \le M }$
και $\displaystyle{ f(\beta ) \ne M }$ όπου $\displaystyle{ m,M }$
η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα.Απο Θ.Ε.Τ προκύπτει το εν'λόγω $\displaystyle{ x_2 }$ )
Τώρα με ένα Bolzano στο $\displaystyle{ [x_1 ,x_2 ] }$ ή στο $\displaystyle{ [x_2 ,x_1 ] }$ καθαρίσαμε.

Υ.Γ:Εντάξει χρωστάω μία καλύτερη διατύπωση όσον αφορά στο δεύτερο Θ.Ε.Τ που εφαρμόζω αλλά αυτήν τη στιγμή αδυνατώ.Τουλάχιστον η κεντρική ιδέα είναι η ίδια.Συγνώμη για την ατσαλοσύνη.

Υ.Γ 2:Γράφω μερικά συμληρώματα για να είναι εννιαία η λύση.Μιάς και το ξ δε μηδενίζει τους παρονομαστές της αρχικής εξίσωσης είναι δεκτό ως ρίζα.Το γιατί δείχνεται και δύο μηνύματα πιό κάτω.Ευχαριστώ το Γ.Τσικαλουδάκη για την επισήμανση και το τελικό σκούντηγμα.

G.Tsikaloudakis · #5

Προσοχή! Σε μια πλήρη Λύση ,πρέπει να ελέγξουμε αν είναι δεκτή η ρίζα, δεδομένου ότι
έχουμε κλασματική εξίσωση.

#6

Σωστά Γιώργο.Είναι μία πρόχειρη λύση.
Αλλά για το ξ που θα βγάλω μπορεί άραγε να ισχύει $\displaystyle{ f(\xi ) = a \vee f(\xi ) = \beta }$ ;

Αν $\displaystyle{ f(\xi ) = a }$ τότε $\displaystyle{ g(\xi ) = 0 \Rightarrow (\xi - a)(a - \beta ) = 0 \Rightarrow \xi = a }$ άτοπο
Αν $\ f(\xi ) = \beta }$
τότε:
$\displaystyle{ g(\xi ) = 0 \Rightarrow (\beta - \xi )(\beta - \alpha ) = 0 \Rightarrow \beta = \xi }$ άτοπο.
(Και στις δύο περιπτώσεις το ξ είναι εσωτερικό του διαστήματος $\displaystyle{ (\alpha ,\beta ) }$ .

harinho7 · #7

Γεια χαρα,κυριε χρηστο πως αποδειξατε οτι υπαρχει f(x2)=β?
Αυτο που λετε λογο συνεχειας δεν το καταλαβαινω

#8

Γειά χαρά.
Αν και σε αυτή τη λύση ήμουν εξαιρετικά νυσταγμένος θα προσπαθήσω να σου αναλύσω τη σκέψη μου.
Αν $\displaystyle{ \beta = M }$
τότε προφανώς και υπάρχει $\displaystyle{ x_2 }$ και είναι η θέση μεγίστου.Αυτό το σημείο δεν το είχα θίξει στη λύση.
Τώρα αν $\displaystyle{ f(\beta ) < \beta < M }$ και λόγω της συνέχειας της f ενεργοποιείται το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.

Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Re: Θ. Bolzano-Θ.Ε.Τ.-Θ.Μ.Ε.Τ.

Μέλη σε σύνδεση