Πολυώνυμο 2---------------->Bulletin(1/2)

#1

Έστω ότι η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+1$ , όπου οι $a_{i}$ είναι μη αρνητικοί έχει

πραγματικές ρίζες. Δείξτε ότι $f(2)\geq 3^{n}$ .

#2

Αφού όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι μη αρνητικοί άρα οι ρίζες είναι όλες αρνητικές. Συνεπώς το πολυώνυμο γράφεται

$f(x)=(x+x_1)(x+x_2)\cdots (x+x_n)$ με $x_1,\ldots,x_n >0$ και (από τους γενικευμένους τύπους του Vieta) $x_1x_2\cdots x_n=1$ .

Όμως λόγω της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ έχουμε $2+x_i = 1+1+x_i \geq 3\sqrt[3]{x_i}$ για όλα τα $i=1,\ldots,n$ .

Άρα $f(2)=(2+x_1)(2+x_2)\cdots (2+x_n) \geq 3^n\sqrt[3]{x_1x_2\cdots x_n} = 3^n$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Με τις ίδιες υποθέσεις, μπορεί κάποιος να αποδείξει μία γενίκευση του παραπάνω ωραίου προβλήματος.

Με τις ίδιες λοιπόν υποθέσεις:
α) Εάν $\displaystyle\frac{k}{l} > 0$ είναι ρητός αριθμός ( k,l

θετικοί ακέραιοι) τότε να αποδειχθεί ότι

$f\left(\displaystyle\frac{k}{l}\right) \geq \left(\displaystyle\frac{k}{l}+1\right)^n$ και

β) Να αποδειχθεί με τη βοήθεια του (α) ότι $f(x)\geq (x+1)^n$ για κάθε μη αρνητικό πραγματικό αριθμό

.

Αλέξανδρος

#3

cretanman έγραψε:Να αποδειχθεί ότι $f(x)\geq (x+1)^n$ για κάθε μη αρνητικό πραγματικό αριθμό .

Έχουμε : για $k=1,\ldots,n-1$ , $\displaystyle\frac{a_{n-k}}{\binom{n}{k}}=\frac{\displaystyle\sum_{1\leq i_{1}<\ldots<i_{k}\leq n-1}r_{i_{1}}\cdot\ldots\cdot r_{i_{k}}}{\binom{n}{k}}\stackrel{*}{\geq}\Big(\prod_{1\leq i_{1}<\ldots<i_{k}\leq n-1}r_{i_{1}}\cdot\ldots\cdot r_{i_{k}}\Big)^{\frac{1}{\binom{n}{k}}}\stackrel{**}{=}(\big(r_{1}\cdot\ldots\cdot r_{n}\big)^{t})^{\frac{1}{\binom{n}{k}}}=1$
όπου

κάποιος φυσικός.

(*) από ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου
(**)αφού κάθε $r_{i_{j}}$ εμφανίζεται στο ίδιο πλήθος παραγόντων του γινομένου $\displaystyle\prod_{1\leq i_{1}<\ldots<i_{k}\leq n-1}$ .
Άρα $a_{n-k}\geq\binom{n}{k}$ , άρα $f(x)\geq (x+1)^n$ για κάθε μη αρνητικό πραγματικό αριθμό

.

#4

Για το β) είχα την εξής λύση στο μυαλό μου:

$\begin{aligned} f\left(\displaystyle\frac{k}{l}\right) &= \displaystyle\frac{1}{l^{n}}\cdot\prod_{i=1}^{n}(k+lx_{i}) = \displaystyle\frac{1}{l^{n}}\cdot\prod_{i=1}^{n} (\underbrace{1+1+\cdots +1}_{k} + \underbrace{x_i+x_i+\cdots + x_i}_{l}) \\ &\stackrel{AM-\Gamma M}{\geq} \displaystyle\frac{1}{l^{n}}\cdot\prod_{i=1}^{n}(k+l)\cdot\sqrt[k+l]{x_{i}^{l}}=\left(\displaystyle\frac{k}{l}+1\right)^{n}\end{aligned}$

οπότε πλέον το γ) έπεται αφού για κάθε $x \in [0,+\infty)$ υπάρχει μία ακολουθία ρητών r_n

τέτοια ώστε $\displaystyle\lim_{n\to\infty} r_n=x$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος

Πολυώνυμο 2---------------->Bulletin(1/2)

Πολυώνυμο 2---------------->Bulletin(1/2)

Re: Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Re: Πολυώνυμο 2

Μέλη σε σύνδεση