Σύστηματα

erxmer · #1

Να λυθεί το σύστημα
1)
x^3+2x^2+x-3=y

2)

#2

Μια απάντηση στο 1ο σύστημα:

Το σύστημα γράφεται ως

$\displaystyle{(x-1)(x^2+3x+4)=y-1,}$

$\displaystyle{(y-1)(y^2+3y+4)=z-1,}$ (**)

$\displaystyle{(z-1)(z^2+3z+4)=x-1.}$

Με πολλαπλασιασμό αυτών βρίσκουμε

$\displaystyle{(x-1)(y-1)(z-1)(x^2+3x+4)(y^2+3y+4)(z^2+3z+4)=(x-1)(y-1)(z-1).}$

Αν ήταν $\displaystyle{x,y,z \ne 1,}$ θα είχαμε $\displaystyle{(x^2+3x+4)(y^2+3y+4)(z^2+3z+4)=1,}$ το οποίο δε μπορεί να συμβαίνει γιατί ισχύει

$\displaystyle{x^2+3x+4\geq \frac{7}{4}}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ πραγματικό.

Επομένως είναι ένα τουλάχιστον από τα $\displaystyle{x,y,z}$ ίσο με $\displaystyle{1}$ . Ας είναι π.χ. $\displaystyle{x=1.}$ Tότε, από τις σχέσεις (**) βλέπουμε ότι είναι $\displaystyle{y=z=1,}$ και προφανώς η τριάδα $\displaystyle{(1,1,1)}$ ικανοποιεί το σύστημα, άρα είναι η μοναδική του λύση.

John13 · #3

erxmer έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
1)
(1)
(2)
(3)

Λόγω συμμετρίας μπορούμε να θωρήσουμε, ότι $x \ge y \ge z$ .
Τότε, από ένα (1) , (3) έχουμε
$z^3+2z^2+z-3 \ge x^3+2x^2+x-3 \Longleftrightarrow z^3 + 2z^2 + z \ge x^3 + 2x^2 + x \Longleftrightarrow (z-x) [(z^2+ zx + x^2) + 2(z+x) + 1] = (z-x) [z^2 + (2+x) z + (x^2 + x + 1)] \ge 0$
Και, αφού $z-x \le 0$ , πρέπει $z^2 + (2+x) z + (x^2 + x + 1) \le 0$ .
Όμως, η η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι D = (2+x)^2 - 4 (x^2 + x + 1) = - 3 x^2 < 0

(αν

καταλήγουμε σε άτοπο)
Άρα, z^2 + (2+x) z + (x^2 + x + 1) > 0

.
Επομένως, πρέπει x=z

.
Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε x=y=z=1

, η οποία είναι και η μοναδική λύση του συστήματος.

#4

John13 έγραψε:
erxmer έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
1)
(1)
(2)
(3)

Λόγω συμμετρίας μπορούμε να θωρήσουμε, ότι $x \ge y \ge z$ .
...

Αυτό δεν είναι σωστό. Έχουμε κυκλικότητα, αλλά όχι συμμετρία.

John13 · #5

Ναι σωστά...

#6

erxmer έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα

Ας περιοριστούμε στις πραγματικές λύσεις του συστήματος.

Υψώνουμε την 1η εξίσωση στο τετράγωνο και για $x\neq -y$ η 2η εξίσωση γίνεται

(3x^3-y^3)(x+y)=(x^2+y^2)^2

ή ισοδύναμα 2x^4+3x^3y-2x^2y^2-xy^3-2y^4=0.

(1)

Αν

τότε και

που δεν επαληθεύει την 1η εξίσωση.

Αν $y\neq 0$ θέτοντας $\displaystyle{k=\frac{x}{y}}$ η (1) γίνεται:

2k^4+3k^3-2k^2-k-2=0

ή ισοδύναμα $\left(k-1 \right)\left(k+2 \right)\left(2k^2+k+1 \right)=0$

οπότε x=-2y

ή

Άρα $(x,y)=(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}})$ ή $(x,y)=(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$ ή $(x,y)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ ή $(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

#7

Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikozan)

Το σύστημα γράφεται:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} x^3+2x^2+2x-3=x+y\\ y^3+2y^2+2y-3=y+z \\z^3+2z^2+2z-3=z+x \end{matrix}\right|\\\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} f(x)=x+y\\f(y)=y+z \\f(z)=z+x \end{matrix}\right|$
όπου:
$\displaystyle f(t)=t^3+2t^2+2t-3,t\in R$
Όμως είναι:
$\displaystyle f'(t)=3t^2+4t+2>0,$
για κάθε $\displaystyle t\in R$
Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.(*)

Έστω $\displaystyle x\neq y$ τότε:
1) Αν $\displaystyle x<y$ θα έχουμε:
$\displaystyle f\left(x \right)<f\left(y \right)\ \ (*)\\\Rightarrow x+y<y+z\Rightarrow x<z\Rightarrow f\left(x \right)<f\left(z \right)\\\Rightarrow x+y<z+x\Rightarrow y<z\Rightarrow f\left(y \right)<f\left(z \right) \right)\\y+z<z+x\Rightarrow y<x\Rightarrow x>y$
το οποίο είναι άτοπο.
2) Αν $\displaystyle x>y$ με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.
Άρα $\displaystyle x=y$ .

Όμοια δείχνεται ότι: $\displaystyle y=z$ Άρα: $\displaystyle x=y=z$
Έτσι το σύστημα γίνεται:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} x^3+2x^2-3=0\\x=y=z \end{matrix}\right|\Leftrightarrow x=y=z=1\right)$
Άρα: $\displaystyle (x,y,z)=(1,1,1)$ μοναδική λύση.

Σύστηματα

Σύστηματα

Re: Σύστηματα

Re: Σύστηματα

Re: Σύστηματα

Re: Σύστηματα

Re: Σύστηματα

Re: Σύστηματα

Μέλη σε σύνδεση