Θέμα ανάλυσης

[chris_gatos]

Έστω a,b πραγματικοί αριθμοί, a<b. Ορίζουμε τη συνάρτηση f : [a,b) -> R, παραγωγίσιμη στο [a,b) με
συνεχή πρώτη παράγωγο. Επιπλέον, αν ισχύουν :
1) f(a)=1

2) .

3)

για κάθε χ στο [a,b)
τότε να αποδείξετε πως :


Nα δώσετε παράδειγμα συνάρτησης g ορισμένης στο [0,1) που να πληροί τις παραπάνω προυποθέσεις...

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλησπέρα Χρήστο. Να απαντήσω και γω σε μια δική σου άσκηση.

Η συνάρτηση \displaystyle h(x) = - \frac{1}
{{f(x)}} - xείναι γνήσια φθίνουσα και περνώντας στα όρια έχουμε
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {\alpha ^ + }} h(x) = - 1 - \alpha
και
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {\beta ^ - }} h(x) = - \beta , οπότε από τη μονοτονία και τη διάταξη στα όρια έχουμε \displaystyle \beta - \alpha \geqslant 1
Θωμάς
Υ.Γ
Οι ολυμπιακοί δεν βλέπουν τηλεόραση.
Λύνουν ασκήσεις

[Φωτεινή]

Θωμά καλησπέρα

ξέρουμε ότι ;

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Μου την έσκασε ο Χρήστος.
Θα το δω.
Συγχαρητήρια στον Παναθηναϊκό.
Ήταν το τέλος του αγώνα και δεν πρόσεξα.
Θ.Ρ
Χρήστο μια τέτοια συνάρτηση είναι η \displaystyle f(x) = \frac{1}
{{1 - x}},x \in \left[ {0,1} \right)

[R BORIS]

Να ρωτήσω γιατί η άσκηση αυτἠ βρίσκεται στα ΑΕΙ?

[chris_gatos]

Kαλημέρα.
Γιατί τη βρήκα σε θέματα απειροστικού λογισμού κάποιας ελληνικής μαθηματικής σχολής...
Δε μπορώ να ξέρω απο πριν πως θα τη λύσει ο καθένας!

[hsiodos]

Καλημέρα Χρήστο
Αν δείξουμε ότι η f δεν μηδενίζεται τότε στέκει η απόδειξη του Θωμά παίρνοντας υπόψη ότι η h μπορεί να είναι και σταθερή.
Έτσι δεν είναι;
Γιώργος

[chris_gatos]

Όσον αφορά το πρώτο, νομίζω πως επιβάλλεται,αφού ο Θωμάς επέλεξε αυτόν τον τρόπο.
Για το δεύτερο που με ρωτάς, παρατήρησα κι εγώ πως η συνάρτηση που επιλέγει, κάνει τη βοηθητική g σταθερή...
Θα το ψάξω. Οχι όμως τώρα γιατί διαβάζω πολλαπλά ολοκληρώματα και δε θέλω να διακόψω.
Κι εγώ σκέφτομαι την άσκηση, παράλληλα με εσάς...

[hsiodos]

Δίνω μια απόδειξη ότι δεν μηδενίζεται η f .

Έστω ότι η f μηδενίζεται σε κάποιο .

Από το Θ.Μ.Τ στο με < x < b προκύπτει k στο ώστε

f΄(k) = και επειδή f΄(k) ] παίρνουμε

δηλαδή (1)

Παίρνοντας τώρα όρια στην (1) με προκύπτει , άτοπο

Άρα η f δεν μηδενίζεται στο [a , b)

Γιώργος

Τώρα που το καλοβλέπω και να είναι πάλι βρίσκουμε και με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο! Τι γίνεται; Εγώ κάνω λάθος ή η άσκηση είναι λάθος;

*Νομίζω κατάλαβα το λάθος μου. Το k εξαρτάται από το x , άρα f(k) δεν είναι σταθερά. Άντε πάλι από την αρχή!

[chris_gatos]

Aς διορθώσω κι εγώ την εκτίμηση μου, όσον αφορά την προσπάθεια του Γιώργου, η οποία ήταν πολύ καλή.
Όταν είσαι απορροφημένος, όμως δε μπορείς να κοιτάζεις τα πράγματα σε βάθος...Συγνώμη!

[Demetres]

Θέτω . Επειδή τότε για κάθε , η απόδειξη του Θωμά δείχνει .

[R BORIS]

Η άσκηση νομίζω ότι δόθηκε στον απειροστικό 2 του μαθηματικού Αθήνας, δινόταν όμως ότι f αύξουσα το οποίο μάλλον ξεχάστηκε
Καλό θα ήταν να βρεθεί τώρα ένα αντιπαράδειγμα

[chris_gatos]

Ανακάλω, έγραφε και μάλιστα ''γνησίως αύξουσα''...Συγνώμη, αλλά πραγματικά ήταν σα να μήν υπήρξε! Έχει δίκιο ο Ροδόλφος..

[hsiodos]

Τώρα μάλιστα!
Νομίζω ότι οι συναρτήσεις με και ικανοποιούν τις συνθήκες της άσκησης.

Γιώργος

* Η συνέχεια της f΄ που μας χρησιμεύει;

[chris_gatos]

Πάντως κι εγω προσπαθούσα να την επιλύσω χωρίς το δεδομένο ''γνησίως αύξουσα''.Ειδικά χτες το βράδυ, λύσσαξα!
Ξαναζητάω συγνώμη απο τους συναδέλφους για την ταλαιπωρία.
Ροδόλφε, έπρεπε να επέμβεις...γρηγορότερα! Αλήθεια, γιατί αναρωτήθηκες, τι ζητάει η άσκηση, σ'αυτήν την κατηγορία;

[R BORIS]

Διότι την έχω κάνει ήδη στους μαθητές μου

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Έστω a,b πραγματικοί αριθμοί, a<b. Ορίζουμε τη συνάρτηση f : [a,b) -> R, παραγωγίσιμη στο [a,b) με
συνεχή πρώτη παράγωγο. Επιπλέον, αν ισχύουν :
1) f(a)=1

2) .

3)

για κάθε χ στο [a,b)
τότε να αποδείξετε πως :


Nα δώσετε παράδειγμα συνάρτησης g ορισμένης στο [0,1) που να πληροί τις παραπάνω προυποθέσεις...

Χρήστο καλησπέρα, γιατί η f΄ πρέπει να είναι συνεχής;
Πάντως αν και με ταλαιπώρησε η άσκηση, νομίζω ότι
οι θέσεις που μηδενίζεται η f (αν μηδενιζόταν) είναι και σημεία μηδενισμού της f΄.
Θωμάς

[chris_gatos]

Θωμά, αν σου πω πως δεν ξέρω γιατί f' συνεχής , θα με πιστέψεις;
Ξέχασα, βλακωδώς,να γράψω το βασικότατο ''γνήσια αύξουσα'' στα δεδομένα κι έτσι ταλαιπώρησα κι έμενα κι εσάς...
Με αυτό το δεδομένο η άσκηση τελειώνει νομίζω αφού έτσι δεν αφήνει περιθώρια μηδενισμού στην f.

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Εντάξει Χρήστο.
Για να δούμε στη πράξη ένα κομμάτι της τεχνικής της άσκησης δες το συνημένο αρχείο.
Όσον αφορά τη συνέχεια της f΄ παραμένει το ερωτηματικό.
Θωμάς