Εκθετική εξίσωση

#1

Από τον Νίκο Ζανταρίδη (Ρουμανικής προελεύσεως)

Να λυθεί η $\displaystyle{2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}}=3$

#2

s.kap έγραψε:Από τον Νίκο Ζανταρίδη (Ρουμανικής προελεύσεως)

Να λυθεί η $\displaystyle{2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}}=3$

Αν $\displaystyle{x>0}$ είναι μία λύση της εξίσωσης, με εφαρμογή της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{3=2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}}=2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}-1}\geq 3\sqrt[3]{2^{x+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-3}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}-3}}=3.}$

Άρα πρέπει να ισχύει παντού ισότητα, οπότε $\displaystyle{x=1,}$ τιμή η οποία ικανοποιεί προφανώς την εξίσωση. Άρα υπάρχει μοναδική λύση η $\displaystyle{x=1.}$

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση