Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Ιστοσελίδα · #1

Το μέλος ηλεκτρο από το Καζακστάν μου έστειλε την ακόλουθη άσκηση:
Σε τρίγωνο ABC

παίρνω εσωτερικό σημείο

τέτοιο ώστε: $P\widehat AC = {102^ \circ },\,P\widehat CA = {24^ \circ },\,P\widehat AB = {18^ \circ }$ και AB = PC.

Βρείτε τη γωνία $x = A\widehat BP.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

$\displaystyle{\triangle APB :\frac{AB}{\sin(18+x)}=\frac{AP}{\sin x}}$

$\displaystyle{\triangle APC:\frac{PC}{\sin 78}=\frac{AP}{\sin 24}}$

από τις προηγούμενες έχουμε: $\displaystyle{\frac{\sin(18+x)}{\sin(x)}=\frac{\cos 12}{\sin 24}=\frac{1}{2 \sin 12}\Longrightarrow \sigma\phi x=\frac{1-2 \sin 12\cdot \cos 18}{2\cdot \sin 12\cdot \sin 18}}$

$\displaystyle{\sigma\phi x=\frac{\cos 12}{\sin 12}\cdot \frac{1-\sin 30+\sin 6}{2 \sin 18\cdot \cos 12}=\frac{\cos 12}{\sin 12}\cdot \frac{\frac{1}{2}+\sin 6}{ \sin 30 +\sin 6}=\frac{\cos 12}{\sin 12}\Longrightarrow x=12^o}$

#3

Και η Φωτεινή κερδίζει επάξια τον τίτλο της άριστης οδηγού του (παράνομου...) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΟΔΟΣΤΡΩΤΗΡΑ, που ισοπεδώνει σε dt τις Γεωμετρικές ασκήσεις, που έκαναν το λάθος να μάς αποκαλύψουν πάνω από μία γωνία τους...

Ιστοσελίδα · #4

Να δώσω και μια γεωμετρική λύση στην άσκηση του ηλεκτρο.

Μεταφέρω το τρίγωνο ABP

έτσι ώστε η

να ακουμπήσει στην ίση της

(τρίγωνο

).

Ισχύει: $D\widehat PA = {54^ \circ } - {18^ \circ } = {36^ \circ }$ και το τρίγωνο PDA

ισοσκελές ( PD = PA

), άρα $P\widehat AD = \displaystyle\frac{{{{180}^ \circ } - {{36}^ \circ }}}{2} = {72^ \circ }$ και $D\widehat AC = {102^ \circ } - {72^ \circ } = {30^ \circ }.$

Φέρω τη μεσοκάθετο-διχοτόμο

που τέμνει την

στο

Επειδή

έπεται ότι $P\widehat FD = {60^ \circ }$ και απ’ τις γωνίες του τριγώνου PFC

έχω $D\widehat FC = {60^ \circ }.$

Από τη διχοτόμο

ισχύει $D\widehat PE = E\widehat PA = {18^ \circ }$ , συνεπώς το

είναι το έγκεντρο του FPC

, άρα $x = A\widehat BP = \displaystyle\frac{{{{24}^ \circ }}}{2} = {12^ \circ }.$

smathss · #5

Με ποιο λογισμικό κατασκευάσατε το τελευταίο σχήμα;

Ιστοσελίδα · #6

smathss έγραψε:Με ποιο λογισμικό κατασκευάσατε το τελευταίο σχήμα;

Και τα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με Geogebra και Photoshop, ειδικά το τελευταίο (με το λευκό φόντο) μπορεί να γίνει και μόνο με Geogebra.
Για περισσότερες λεπτομέρειες κοίταξε εδώ.

#7

ας το γυρίσουμε κι από την άλλη,(σε λίγο θα ζαλιστεί το τρίγωνο)

φέρω $AM\perp PC,\mu\epsilon \quad AM=AP\rightarrow \hat{PAM}=36^o,\triangle APC,\triangle AMB \,\,\iota\sigma\alpha,\,\, \triangle APM \quad \iota\sigma o \sigma \kappa \epsilon \lambda \epsilon s$

$\hat{AMN}=102^o\rightarrow \hat{PMN}=30^o$

φέρω διχοτόμο

,τότε το τρίγωνο PMN

είναι ισοσκελές και $\hat{MNA}= \hat{ANP}= \hat{PNB}=60^o$

δηλαδή στο τρίγωνο ANB

οι

είναι φορείς των διχοτόμων ,που σημαίνει το

είναι έγκεντρο και επομένως

φορέας της τρίτης διχοτόμου $\hat{NBP}= \hat{PBA}=12^o$

Ιστοσελίδα · #8

Ακόμα μία λύση.

Στην προέκταση της

παίρνω σημείο

τέτοιο ώστε PD = PC.

Το τρίγωνο PDC

είναι ισοσκελές, οπότε $P\widehat DC = P\widehat CD = {24^ \circ },\,P\widehat AD = {60^ \circ } + {18^ \circ } = {78^ \circ }$ συνεπώς το τρίγωνο DPA

είναι ισοσκελές.

Εφόσον DA = DP = PC = AB

και $D\widehat AB = {60^ \circ }$ έπεται ότι το τρίγωνο DAB

είναι ισόπλευρο. Αφού DB = DA = DP

και $B\widehat DP = {60^ \circ } - {24^ \circ } = {36^ \circ }$ το τρίγωνο DBP

θα είναι ισοσκελές με $x = \displaystyle\frac{{{{180}^ \circ } - {{36}^ \circ }}}{2} - {60^ \circ } = {12^ \circ }.$

#9

ruxumuxu έγραψε:Ακόμα μία λύση.

Στην προέκταση της παίρνω σημείο τέτοιο ώστε Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε $P\widehat DC = P\widehat CD = {24^ \circ },\,P\widehat AD = {60^ \circ } + {18^ \circ } = {78^ \circ }$ συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Εφόσον και $D\widehat AB = {60^ \circ }$ έπεται ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

...

... Μιχάλη

...αλλάζω λίγο τη συνέχεια

έχουμε DA=DP=DB

$\hat{ADP}=24^o$ ,επίκεντρη στον κύκλο (D,DA)

βαίνει στο τόξο $\overset{\frown}AP$

η $\hat{ABP}$ εγγεγραμμένη στο ίδιο τόξο ,άρα $\hat{ABP}=12^o$

=================
...

... ευχαριστούμε το μέλος ''ηλεκτρο'' για την ωραία άσκηση

περιμένουμε κι άλλη...

#10

τώρα που ξανακοιτάζω τη δεύτερη λύση του Μιχάλη
σκέφτομαι πως από την αρχή θα έπρεπε να δούμε

την κατασκευή του ισοπλεύρου τριγώνου εξωτερικά του ABC

αφού $\hat{BAC}=120^o$ και η εξωτερική είναι 60^o

ας το αλλάξουμε λοιπόν λίγο , ας βάλουμε και λίγη τριγωνομε 3

κατασκευάζουμε εξωτερικά το ισόπλευρο $\triangle :ADB,\,\,\quad AD=DB=BA=PC$ και φέρουμε το

$\displaystyle{\triangle:APC\rightarrow \frac{PC}{\sin 102}=\frac{AP}{\sin 24}}$

$\displaystyle{\triangle:APD\rightarrow \frac{AD}{\sin P}=\frac{AP}{\sin (102-P)}}$

από τις προηγούμενες έχουμε: $\displaystyle{\frac{\sin P}{\sin 102}=\frac{\sin(102-P)}{\sin 24}\Longrightarrow \frac{\sin(78+P)}{\sin P}=\frac{\sin 24}{\cos 12}\Longrightarrow}$

$\displaystyle{\sin 78\cdot \sigma\phi P+\cos 78=2\sin 12\Longrightarrow \cos 12\cdot \sigma\phi P=\sin 12\Longrightarrow \sigma\phi P=\epsilon\phi 12\Longrightarrow \hat P=78^o}$

$\hat P=78^o\Longrightarrow \hat{ADP}=12^o \Longrightarrow DA=DP \dots$

και συνεχίζουμε όπως πάνω...

...πολύ ωραία...!!!
με μια άσκηση Γεωμετρίας ,ο μεσημεριανός καφές είναι υπέροχος !!!

Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Re: Βρείτε τη γωνία x (71) - ηλεκτρο

Μέλη σε σύνδεση