Ανάλυση και Μιγαδικοί

plat_man · #1

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R->R , με f(a)<0 και οι μιγαδικοί αριθμοί

z=f^2(a)+f(γ)i , w=f(β)+f(δ)i για τους οποίους ισχύει z < w .

Δείξτε ότι:

1. η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (a,β)

2. υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο στο διάστημα (γ,δ) όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f να είναι παράλληλη στον άξονα x'x.

chris · #2

plat_man έγραψε:οι μιγαδικοί αριθμοί.... .

Καλησπέρα,
Στους μιγαδικούς δεν χρησιμοποιούμε ανισοτικές σχέσεις...αν θέλετε να δώσετε κάποια σχέση μεταξύ των πραγματικού η του φανταστικού μέρους των δύο μιγαδικών καλύτερα να το δώσετε κάπως αλλιώς διότι προσωπικά δεν βγάζω νόημα!

Φιλικά

#3

plat_man έγραψε:Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R->R , με f(a)<0 και οι μιγαδικοί αριθμοί

z=f^2(a)+f(γ)i , w=f(β)+f(δ)i για τους οποίους ισχύει z < w .

Δείξτε ότι:

1. η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (a,β)

2. υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο στο διάστημα (γ,δ) όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f να είναι παράλληλη στον άξονα x'x.

Το... υπονοούμενο είναι, ότι οι $\displaystyle{z,w}$ είναι πραγματικοί με $\displaystyle{z<w}$ , άρα $\displaystyle{f(c)=f(d)=0}$ (1) και $\displaystyle{f(b)>f^{2}(a)}$ (2)

Τώρα, η $\displaystyle{f}$ είναι ως παραγωγίσιμη, συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{[a,b]}$ και ισχύει $\displaystyle{f(a)<0,}$ ενώ $\displaystyle{f(b)>0}$ λόγω της (2), οπότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει το 1ο ζητούμενο.

Επίσης, η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{[c,d]}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(c,d)}$ και από την (1) $\displaystyle{f(c)=f(d)=0.}$

Τότε, το ζητούμενο προκύπτει άμεσα από το θεώρημα Rolle.

plat_man · #4

Εύγε για την λύση!

Η ιδέα του θέματος προέρχεται από την σελίδα 87 του σχολικού βιβλίου όπου αναφέρεται ότι δεν ορίζεται

διάταξη στο σύνολο C.

plat_man · #5

Σχετική αναφορά υπάρχει και στον σύνδεσμο
http://www.study4exams.gr/math_k/course/view.php?id=36
του Υπουργείου Παιδείας (Απαντήσεις σε ερωτήματα μαθητών - Κεφάλαιο 1ο)-Ερώτηση 7 του αρχείου pdf.

#6

Επειδή αυτά τα πράγματα (δανείζομαι μία φράση του Χρήστου Κυριαζή)"μπερδεύουν ανθρώπους που δεν πρέπει να μπερδευτούν" ας δούμε ξανά το θέμα μας. Είναι γνωστό και το έχουμε συζητήσει πολλές φορές (λ.χ. εδώ viewtopic.php?f=28&p=47480#p47480 και αλλού) ότι το $\mathbb{C}$ δεν επιδέχεται διάταξη που να συνεργάζεται καλά με τις πράξεις δηλαδή να είναι διατεταγμένο σώμα. 'Αλλες λιγότερο καλές διατάξεις δέχεται αλλά στο σχολείο δεν υιοθετούμε καμία. Συνεπώς δεν έχει νόημα να ρωτάμε πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι άνισοι. Με άλλα λόγια ένα ερώτημα που είναι "νόμιμο" για τους πραγματικούς δεν είναι για τους μιγαδικούς. Διότι άνισοι ως προς ποια διάταξη αφού δεν έχουμε ορίσει καμία;
Θα πει βέβαια κάποιος: Αφού στο $\mathbb{R}$ έχουμε ορίσει διάταξη τότε θα είναι
$a+bi\leq c+di$ αν και μόνο αν είναι b=d=0

και $a\leq c$ (1)
Αυτό είναι τελείως αυθαίρετο. Είναι σαν να λέμε. "Αφού δεν μπορούμε να έχουμε μία αρκούντως καλή διάταξη στους μιγαδικούς όποτε μας λένε να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς θα απαιτούμε πρώτα να ανήκουν κάπου όπου μπορούν να συγκριθούν και κατόπιν να συγκριθούν.".
Μα δεν είναι το $\mathbb{R}$ το μόνο υποσύνολο του $\mathbb{C}$ όπου έχουμε ικανοποιητική διάταξη. Είναι απλώς μέγιστο διατεταγμένο υπόσωμα.
Ωστόσο υπάρχουν και άλλα σύνολα λ.χ. οι ευθείες όπου μπορούμε να έχουμε μία γραμμική διάταξη.
Τί θα λέγαμε σε ένα μαθητή που πολύ λογικά θα ρώταγε "Και γιατί να ανήκουν στον άξονα των και να μην ανήκουν στον άξονα των ;" Δηλαδή με την ίδια λογική θα μπορούσαμε να πούμε ότι
$a+bi\leq c+di$ αν και μόνο αν a=c=0

και $b\leq d$ (2)
ή ακόμη και
$a+bi\leq c+di$ αν και μόνο αν a=b,c=d

και $a\leq c$ (3)
Το (1) ως "κριτήριο" κυκλοφορεί χρόνια στην πιάτσα αλλά αυτό δεν λέει τίποτε: στην πιάτσα κυκλοφορεί ότι νάναι. Το ότι επαναλαμβάνεται στον ιστότοπο του Υπουργείου (http://www.study4exams.gr/math_k/mod/re ... php?id=815) πάλι δεν λέει τίποτε.
Μάλιστα η ερώτηση εκεί είναι
"Αν μας δοθεί ....τότε τι συμπέρασμα έχουμε από αυτή τη σχέση διάταξης;"
Η ερώτηση αυτή μόνο με ερώτηση μπορεί να απαντηθεί:
"Από που και ως που να μας δοθεί;"
Για να το μαζέψουμε το πράγμα: Αφού το σχολικό βιβλίο ρητά αναφέρει "η διάταξη και οι ιδιότητες της δεν μεταφέρονται" (σελίδα 87) ουδείς νομιμοποιείται να θέτει τέτοιο ερώτημα.
Μαυρογιάννης

plat_man · #7

Διακρίνω έναν αδικαιολογητο πανικό και ίσως μια μικρή εμπάθεια σχετικά με το νόμιμο ή το επιτρεπτό. Δεν είναι θέμα αρμοδιοτήτων ούτε δικαιοδοσίας.

Έτσι λεγανε και οι μαθητές το 1993 στην φυσική δέσμης "από που και ως που"
και όμως δεν άνοιξε ρουθούνι, κόπηκε στεγνά το 90% σε θέματα "μη νομιμότητας". Το ότι έχει αναρτηθέι στον ιστότοπο του υπουργείου ως απάντηση σε ερώτηση μαθητή
(σαν κεντρική ιδέα περί διάταξης) φυσικά και λέει. Λεέι ότι εμείς είμαστε καλυμένοι.
Μην εκπλαγείται όταν δείτε λοιπόν τέτοια κάποια στιγμή, γιατί ενώ εμείς θα είμαστε εδώ και θα συζητάμε περί νομιμότητας, ή ποιός είναι περισσότερος είδικός να γράψει τι, εκείνοι θα κόβουνε μονάδες.

Ψυχραιμία λοίπον, άλλο νόμιμο και άλλο στα πλαίσια του ανεκτού.

Με εκτίμηση,

plat_man · #8

Η όλη εμπειρία που αποκόμισα, είναι οτι τα θέματα τα "θάβετε" με πολύ σύνοπτικές διαδικασίες..

#9

plat_man έγραψε:Η όλη εμπειρία που αποκόμισα, είναι οτι τα θέματα τα "θάβετε" με πολύ σύνοπτικές διαδικασίες..

Φίλε plat_man, από ότι βλέπω έχεις κάνει 10 δημοσιεύσεις. Από πού προέκυψε η όλη εμπειρία για το θάψιμο θεμάτων; Αν παρατήρησες λίγες μέρες αναρτήθηκε ένα ποστ με μια χοντράδα κατά τη λύση ασκήσης στο επίσημο site του υπουργείου. Δηλαδή πιστεύεις ότι θα έπρεπε να εφαρμοστεί η χοντράδα αυτή στη μέθοδο διδασκαλίας; Τι είναι το site του υπουργείου, ο γνώμονας της μαθηματικής αλήθειας; Αλοίμονο...

#10

plat_man έγραψε:Διακρίνω έναν αδικαιολογητο πανικό και ίσως μια μικρή εμπάθεια σχετικά με το νόμιμο ή το επιτρεπτό. ....
Ψυχραιμία λοίπον, άλλο νόμιμο και άλλο στα πλαίσια του ανεκτού.

Προσωπικά δεν "διακρίνω" ούτε "αδικαιολόγητο πανικό" ούτε μια "μικρή εμπάθεια", αλλά ούτε και "έλλειψη ψυχραιμίας". Γενικά αδυνατώ να "διακρίνω" την ψυχοσύνθεση κάποιου που βρίσκεται σε απόσταση. Δεν χρειάζεται άλλωστε, αφού στο mathematica συζητάμε μαθηματικά. Αυτό που διάβασα στην συγκεκριμένη δημοσίευση είναι η σωστή παρατήρηση του μαθητή Χρήστου Στραγάλη και η πλήρης και αναλυτική εξήγηση του Νίκου Μαυρογιάννη.
Να σημειώσω, επίσης, ότι δεν υπάρχει "νόμιμο ή επιτρεπτό" στα μαθηματικά. Υπάρχει σωστό ή εσφαλμένο.

plat_man έγραψε:Η όλη εμπειρία που αποκόμισα, είναι οτι τα θέματα τα "θάβετε" με πολύ σύνοπτικές διαδικασίες..

Άν οι πλήρεις απαντήσεις σε μαθηματικά ερωτήματα είναι "θάψιμο", τότε στο mathematica συνηθίζουμε νά "θάβουμε" διαρκώς και μάλιστα με "πολύ σύνοπτικές διαδικασίες", όρα Re: Διάταξη στους μιγαδικούς και Διάταξη μιγαδικών .

#11

Η μαθηματική "νομιμότητα" δεν καθορίζεται με υπουργικές αποφάσεις (!), ούτε καπαρώνεται ως σωστή μια μέθοδος επειδή κάποιος ανάρτησε σε ένα "επίσημο" ιστοχώρο μια λάθος λύση.
Αλοίμονο αν επικρατήσει κάτι τέτοιο...

Μία από τις υπηρεσίες που προσφέρουν οι συμμετέχοντες στους διαλόγους του mathematica είναι ακριβώς αυτή. Μέσα από γόνιμο και εποικοδομητικό διάλογο να εντοπίζουν παραλήψεις, ασάφειες, λάθη, κυρίως στα ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Επίσημα βιβλία, θέματα εξετάσεων, οδηγίες διδασκαλίας κ.α. και να συμβάλλουν στη διόρθωση τους.

Ειλικρινά δεν κατάλαβα αν ο Παναγιώτης μάς μέμφεται για την τακτική μας αυτή με τις προτάσεις του
Η όλη εμπειρία που αποκόμισα, είναι οτι τα θέματα τα "θάβετε" με πολύ σύνοπτικές διαδικασίες..

και

Διακρίνω έναν αδικαιολογητο πανικό και ίσως μια μικρή εμπάθεια σχετικά με το νόμιμο ή το επιτρεπτό. Δεν είναι θέμα αρμοδιοτήτων ούτε δικαιοδοσίας.

Ελπίζω να εννοεί κάτι άλλο!

edit: Η ιστοσελίδα γράφει ότι είναι ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΗ, άρα υπόκειται σε έλεγχο και ΔΕΝ διεκδικεί το Παπικό αλάθητο, οπότε οι αιτιάσεις του Παναγιώτη για εγκυρότητα των γραπτών όσων τις ασπαστούν δεν ισχύουν.
Και βεβαίως το πρόβλημά μας ΔΕΝ είναι: "να είμαστε εμείς καλυμένοι...". Αυτό δεν είναι παιδαγωγική και επιστημονική αντίληψη!

#12

plat_man έγραψε:
Το ότι έχει αναρτηθέι στον ιστότοπο του υπουργείου ως απάντηση σε ερώτηση μαθητή
(σαν κεντρική ιδέα περί διάταξης) φυσικά και λέει. Λεέι ότι εμείς είμαστε καλυμένοι.

Και ο μαθητής μπορεί να μας απαντήσει ότι και αυτός είναι καλυμμένος. Στο ίδιο φυλλάδιο στις απαντήσεις στα (6),(8),(15) και (19) λέει πως ανισότητες μεταξύ μιγαδικών δεν έχουν νόημα. (Η επισήμανση αυτού του προβλήματος έχει γίνει και εδώ.)

#13

Καλημέρα!
Ο Παναγιώτης έχει δικαίωμα να πιστεύει ότι θέλει είτε είναι,είτε δεν είναι αλήθεια.
Εμένα η απορία μου είναι αλλού. Είναι τόσο θελκτικό το θέμα της διάταξης των
μιγαδικών στις πανελλήνιες εξετάσεις,ώστε να ασχολούμαστε με αυτό στο συγκεκριμένο φάκελο;
Υπάρχει ποτέ πιθανότητα να ζητηθεί απο τους μαθητές κάτι παρεμφερές;
Χλωμό...
Καλό θα ήταν λοιπόν να ανοιχτεί φίλε Παναγιώτη ένα ανάλογο θέμα στο φάκελο που
βρίσκεται τώρα ή στο φάκελο της διδακτικής ή στο φάκελο του ΑΣΕΠ(δυστυχώς δε γνωρίζω που το άνοιξες αρχικά,άρα
αν σε αδικώ σου ζητώ προκαταβολικά συγνώμη).
Εξ'άλλου όπως θα διαπίστωσες έχει σχολιαστεί διεξοδικότερα σε προηγούμενες δημοσιεύσεις.
Καλώ και όλους τους συναδέλφους να πράττουν αναλόγως βάζοντας τα ανάλογα θέματα
στις ανάλογες θέσεις.

plat_man · #14

Θα προσπαθήσω να απαντήσω όσο πιο συνοπτικά και περιεκτικά μπορώ σε όλους τους Κυρίους, επειδή είναι πολλά τα μέτωπα και δεν έχω σκοπό να ανοίξω και άλλα.

sorfan · #15

Ο Νίκος Μαυρογάννης κάλυψε το θέμα με τον καλύτερο τρόπο ως προς το μαθηματικό μέρος.
Αυτό που φοβάμαι είναι άλλο. Επειδή η ύπαρξη της συγκεκριμένης ιστοσελίδας πρέπει να "δικαιωθεί", μπορεί κάποιοι από υπερβαλλοντα ζήλο να οδηγηθούν σε περίεργες επιλογές ερωτήσεων. Ίσως είναι φανταστικά σενάρια. Όμως σκέφτομαι ότι το υπουργέιο μας άλλαξε όνομα και η νέα προσθήκη έγινε θέμα έκθεσης των πανελλαδικών εξετάσεων. Μπορεί να ήταν και τυχαίο.

Βασίλης Καλαμάτας · #16

Από χθες το βράδυ που το διάβασα είχα και εγώ την ένστασή μου για την ανισότητα με τους μιγαδικούς, αλλά πρέπει να παραδεχθώ ότι μου άρεσε η "ιδέα" της άσκησης... Ας μου επιτρέψει ο συνάδελφος μια μικρή διασκευή και τον ευχαριστώ γιατί βρήκα μια νέα δεξαμενή για την κατασκευή ορισμένων παρόμοιων συνδυαστικών θεμάτων μιγαδικών και ανάλυσης.

Δίνεται μια συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο

με $f(\alpha )<0$ και μια συνάρτηση

η οποία είναι γνήσια αύξουσα στο

.
Θεωρούμε τους αριθμούς $z=f^{2}(\alpha )+f(\gamma)i$ και $w=f(\beta )+f(\delta)i$ που είναι τέτοιοι, ώστε $z=g(\gamma)$ και $w=g(\delta)$ , όπου $\alpha , \beta ,\gamma ,\delta$ πραγματικοί αριθμοί με $\alpha<\beta$ και $\gamma <\delta$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) υπάρχει ένα τουλάχιστο σημείο της καμπύλης της

με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα $(\gamma ,\delta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της καμπύλης της

στο σημείο αυτό να είναι παράλληλη στον άξονα χ'χ.
β) η εξίσωση f(x)=0

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(\alpha ,\beta)$ .

Με όλο το σεβασμό προς τους συναδέλφους που έχουν γράψει στο θέμα αυτό, θα ήθελα να παραθέσω ορισμένα προσωπικά σχόλια για τα υπόλοιπα που έχουν αναφερθεί.
Το μαθηματικό μέρος, όπως αναφέρει και άλλος συνάδελφος, το κάλυψε με σαφήνεια και πληρότητα ο κ. Μαυρογιάννης, άλλωστε δε νομίζω ότι διαφωνεί κάποιος από εμάς στο σημείο αυτό.

Ο κ. Πλατής είχε μια πολύ αξιόλογη, κατά τη δική μου κρίση, ιδέα, αλλά στην κατασκευή της άσκησης υπήρχε ένα πρόβλημα. Σε ποιόν όμως από αυτούς που κατασκευάζουν ή διασκευάζουν ασκήσεις δεν του έχει τύχει κάτι παρόμοιο συνάδελφοι? Δεν έχω σκοπό να παίξω το ρόλο του συνήγορου της υπεράσπισης του συναδέλφου, αλλά μου έχει συμβεί πολλές φορές στις ασκήσεις που έχω κατασκευάσει και ειδικά στις θεωρητικές που δε δίνουμε τους τύπους των συναρτήσεων, ενώ νόμιζα ότι έχω κατασκευάσει μια εξαιρετική άσκηση, τελικά να υπάρχει σοβαρό πρόβλημα και να "καταρέει" το θέμα.

Για μια ακόμη φορά, εγώ τουλάχιστον, καταλήγω στο συμπέρασμα ότι η κουβέντα όλη γίνεται για τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να υποδείξουμε σε ένα συνάδελφο ότι έχει κάνει λάθος, αν θέλετε και για το πως εισπράτει τη νουθεσία, αλλά και πως αντιδρά αυτός που δέχεται την υπόδειξη.
Ειλικρινά δε θέλω να υπερασπιστώ ή να κατηγορήσω κανέναν από αυτούς που συμμετείχαν στη συζήτηση αυτή μέχρι τώρα και ζητάω προκαταβολικά συγγνώμη, αν σε κάποιο σημείο του κειμένου αυτού διαφαίνεται κάτι τέτοιο...

Με εκτίμηση, καλό βράδυ σε όλους από την παγωμένη Λαμία...

plat_man · #17

Αγαπητέ κύριε Καλαμάτα,
με συγκίνησε ιδιαίτερα η τοποθέτηση σας. Ομολογώ ότι εδώ και 2 μέρες νιώθω ότι τα πράγματα έχουν ξεφύγει λίγο από τον έλεγχο. Η άσκηση είναι κατασκευή. Δεν την βρήκα, ούτε την τροποποίησα. Και όντως η άσκηση έχει λάθος.
Η απάντηση του κύριου «nsmavrogiannis» είναι επιστημονική και τεκμηριωμένη σε κάθε επίπεδο, δεν υπάρχει καμία αμφιβολία. Το ύφος της απάντησης όμως είναι κάπως υπεροπτικό (ειδικά στην αρχή και στο τέλος) και δεν το ασπάζομαι.

Επίσης, συμφωνώ και με την σύντομη απάντηση του κύριου «sorfan». Και εγώ αυτό φοβήθηκα βλέποντας ότι υπάρχει αναρτημένο στην ιστοσελίδα του υπουργείου, γι αυτό το χρησιμοποίησα ως πηγή.

Κύριε Χρήστο Κυριαζή,
διάβαζα πολύ προσεκτικά την απάντηση σας. Το θέμα δεν είναι αν ο Παναγιώτης έχει δικαίωμα να πιστεύει ότι θέλει, εξάλλου το δικαίωμα αυτό το έχουν όλοι, ανεξάρτητα από πρόσωπα ή μειοψηφίες γιατί εν τέλει όλοι, αυτή την αλήθεια ψάχνουμε να βρούμε. Πολύ περισσότερο στην κατεύθυνση των θετικών επιστημών, ειδικότερα στα μαθηματικά και ακόμα περισσότερο εστιασμένα σε επίπεδο σχολικής μονάδας και ενός συστήματος αξιολόγησης που κρίνει την εισαγωγή στην ανώτατη εκπαίδευση με θέματα που δεν επιδέχονται καμία αμφισβήτηση σε χρονικό περιθώριο 3 ωρών. Στις γενικές εξετάσεις το 1995 (μαθηματικά Α΄ δέσμης, ζήτημα 1ο, ερώτημα β), ο πίνακας 2Α-3Ι ήταν αντιστρέψιμος, ζητήθηκε όμως να αποδειχθεί ότι η ορίζουσα ήταν μικρότερη ή ίση του μηδενός. Τους είπανε ψέματα, γιατί το ίσον δεν ισχύει ποτέ. Συμφωνώ με την γνώμη σας ότι το θέμα της διάταξης ίσως μην είναι θελκτικό. Τα χλωμά για τους απέξω, αποκτούν ζωηρό χρώμα για τους από μέσα καμιά φορά (γενικές εξετάσεις Φυσικής Α΄ δέσμης 1996, ζήτημα 4ο , ερώτημα β. τα φροντιστήρια μαζικά δώσανε λάθος απάντηση στο εν λόγω ζήτημα, το άριστα ήταν το 17,5 οι καθηγητές πανεπιστημίων είπαν ότι το ζητούμενο λύνεται με διαφορικές εξισώσεις και τέλος. Η ζωή συνεχίζεται.
Το θέμα το άνοιξα αρχικά στον φάκελο «ασκήσεις σε όλη την ύλη» και πριν περάσουν 24 ώρες πήγε στο φάκελο του καθηγητή. Φυσικά και έχει σχολιαστεί διεξοδικά με άκρως εμπεριστατωμένο τρόπο.
Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και επισημάνσεις σας περί επιλογής φακέλου

Κύριε «Demetres»,
δεν νομίζω ότι οι μαθητές είναι καλυμμένοι με κανέναν τρόπο σε θέματα πανελληνίων εξετάσεων. Η επισήμανση που αναφέρεται έγινε κατόπιν εορτής. Πριν γίνει το σχετικό θέμα, δεν είχε πάρει μυρωδιά κανένας τι παιζότανε. Γενικά σέβομαι την άποψη σας. Σας ευχαριστώ για την παράθεση.

Φίλε Κοτρώνη Αναστάσιε,
απ ότι βλέπω έχεις κάνει 1887 δημοσιεύσεις.. και τι να λεέι; Η όλη εμπειρία αποκτήθηκε από προχθές. Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου ότι τέτοιες χοντράδες δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να εφαρμόζονται στη μέθοδο διδασκαλίας, όμως οι εξετάσεις δεν είναι μέθοδος διδασκαλίας, είναι σύστημα αξιολόγησης. Και τα συστήματα υπόκεινται σε σφάλματα, ατοπήματα, ελλείψεις. Το site του υπουργείου δεν είναι ο γνώμονας της μαθηματικής αλήθειας σε καμία περίπτωση. Αλλά από την άλλη εσύ μήπως είσαι μονάδα μέτρησης της αποκτηθείσας εμπειρίας; Αλοίμονο.. λέω και εγώ.

Κύριοι: Γιώργο Ρίζο (Συντονιστής) και «grigkost» (Διαχειριστής)
Θα χρειαστώ πολλές ανθρωπο-ώρες για να σας απαντήσω. Και φοβάμαι ότι θα εμπλακούμε σε προσωπικούς χαρακτηρισμούς και κυκεώνα ανταπαντήσεων που δεν συνάδουν με το πνεύμα του mathematica. Όμως θα το τολμήσω.

Κύριε «grigkost»,
δεν θα σχολιάσω το ύφος, τον τόνο και την διάθεση της απάντησης σας. Εγώ προσωπικά διέκρινα και πολύ έντονα μάλιστα, και πανικό και έλλειψη ψυχραιμίας και εμπάθεια.
Όσον αφορά την φράση:
«Γενικά αδυνατώ να "διακρίνω" την ψυχοσύνθεση κάποιου που βρίσκεται σε απόσταση..» ένταξη, δεν ξέρω αν είστε ψυχολόγος (αν είστε μάλλον δεν πάνε καλά οι δουλειές), αλλά αν δεν είστε δεν είναι δύσκολο, λίγο διάβασμα θέλει και 4 χρόνια πανεπιστήμιο.
Εγώ αυτό που είδα στην συγκεκριμένη δημοσίευση είναι «η σωστή παρατήρηση του μαθητή Χρήστου Στραγάλη» και μετά την ΛΥΣΗ. Είδα ΛΥΣΗ! Στην πυρά ο κύριος Μάγκος Θάνος που την έλυσε! Μόνο στον δικό μου υπολογιστή εμφανίστηκε η ΛΥΣΗ; Και κατόπιν «την πλήρη και αναλυτική εξήγηση του Νίκου Μαυρογιάννη».
Όσον αφορά την φράση:
«Αν οι πλήρεις απαντήσεις σε μαθηματικά ερωτήματα είναι "θάψιμο", τότε στο mathematica συνηθίζουμε να "θάβουμε" διαρκώς και μάλιστα με "πολύ συνοπτικές διαδικασίες", όρα Re: Διάταξη στους μιγαδικούς και Διάταξη μιγαδικών»
Έτσι όπως το καταλαβαίνω εγώ, νομίζω ότι δεν αναφέρεστε στο mathematica, αλλά σε Καρτέλ. Γιατί μόνο εκεί συναντάμε θάψιμο και συνοπτικές διαδικασίες.

Κύριε Γιώργο Ρίζο,
για να σχολιάσω κάθε φράση σας θα απαιτηθούν πολλές σελίδες. Γενικά η απάντηση σας για μένα είναι άκυρη και άκαιρη. Και γενικότερα εκτός της δικής μου ιδιοσυγκρασίας.
Συμφωνώ στο σημείο:
« Μία από τις υπηρεσίες που προσφέρουν οι συμμετέχοντες στους διαλόγους του mathematica είναι ακριβώς αυτή. Μέσα από γόνιμο και εποικοδομητικό διάλογο να εντοπίζουν παραλήψεις, ασάφειες, λάθη, κυρίως στα ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: Επίσημα βιβλία, θέματα εξετάσεων, οδηγίες διδασκαλίας κ.α. και να συμβάλλουν στη διόρθωση τους.» και το κάνετε πολύ καλά. Σε αυτό έχετε την αμέριστη συμπαράσταση μου. Είμαστε τυχεροί που υπάρχετε και είναι τιμή μας που συμμετέχουμε.
Δεν μπορώ να σχολιάσω την φράση σας:
«..οπότε οι αιτιάσεις του Παναγιώτη για εγκυρότητα των γραπτών όσων τις ασπαστούν δεν ισχύουν», γιατί ειλικρινά δεν έχω καταλάβει καλά τι εννοείτε.

Αγαπητέ κύριε Καλαμάτα Βασίλη,
Ευχαριστώ πολύ για την τοποθέτηση σας, όχι γιατί νιώθω ότι με υπερασπίζεστε ή ότι αδικούμε άλλους συναδέλφους, αλλά γιατί για μένα τα πράγματα είναι έτσι ακριβώς όπως τα περιγράφετε από την αρχική σύλληψη της ιδέας του θέματος έως σήμερα σε όλες τις εκφράσεις και εκφάνσεις.

Καλό βράδυ από την επίσης παγωμένη Κάρυστο..

#18

Θα ήθελα να γράψω κάποιες σκέψεις και εξηγήσεις. Προτίμησα να το κάνω τώρα ώστε να περάσει κάποιος καιρός από την προηγούμενη απάντηση.

Α) Θα ήθελα να διαβεβαιώσω ότι δεν αντιμετώπισα κανένα με υπεροψία. Με τόσους καλούς μαθηματικούς στο mathematica η υπεροπτική συμπεριφορά ταυτίζεται με την κωμική συμπεριφορά. Επίσης πουθενά δεν αναφέρθηκα σε λάθος. Ανέφερα ότι κάποιο συμπέρασμα είναι αυθαίρετο για τον απλούστατο λόγο ότι δεν προκύπτει από την θεωρία που ξέρουμε εμείς και οι μαθητές μας. Ούτε με απασχόλησε αυτό καθαυτό το γεγονός αν η άσκηση ήταν επιτυχής ή ατυχής. Συμβαίνει τους πιο πολλούς από μας (ανάμεσα τους και εγώ) να ανεβάσουμε μία άσκηση που η εκφώνηση της έχει κάποια αδυναμία ή να δώσουμε εσφαλμένη απάντηση σε κάποια άσκηση που ανέβασε κάποιος άλλος. Δεν θέλουμε να συμβαίνει αυτό, δεν είμαστε ευτυχείς όταν συμβαίνει, μπορούμε ενδεχομένως να το περιορίσουμε αλλά, μάλλον, δεν μπορούμε να το αποφύγουμε. Το συζητάμε και γινόμαστε καλλίτεροι. Μακριά λοιπόν από μένα η όποια διάθεση κριτικής σε αυτό το πεδίο.
Αν παρ’ όλα αυτά δημιουργήθηκε μία αντίθετη εντύπωση ζητώ συγνώμη.

Β) Αυτό που με ενδιέφερε ήταν να ασκήσω κριτική σε ένα ενδημικό σύμπτωμα που έχει να κάνει με τις επεμβάσεις σε εκείνο το κομμάτι των σχολικών Μαθηματικών που σχετίζεται με τις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Ξέρουμε όλοι πολύ καλά ότι υπάρχει Αναλυτικό Πρόγραμμα, υπάρχει Διδακτικό Βιβλίο, υπάρχουν Οδηγίες Διδασκαλίας, υπάρχει Εξεταστέα Ύλη. Όλοι από το Έβρο ως την Κρήτη πορευόμαστε (ή οφείλουμε να πορευθούμε) με αυτά.
Από την άλλη μεριά κατά καιρούς συνάδελφοι επιχειρούν να αλλάξουν διάφορα πράγματα: Προσθέτοντας θεωρήματα, αλλάζοντας τους ορισμούς, αλλάζοντας τις αποδείξεις. Άλλοτε αυτές οι επεμβάσεις είναι ανώδυνες και επιτυχείς αλλά τις πιο πολλές φορές είναι παρακινδυνευμένες και ατυχείς. Γιατί αλλάζουν τους κανόνες με τους οποίους διαβάζουν, λύνουν ασκήσεις και γράφουν στις εξετάσεις οι μαθητές μας. Αν αυτές οι αλλαγές της δεύτερης κατηγορίας γίνονται από μεμονωμένους συναδέλφους το κακό (διότι δεν παύει να είναι τέτοιο) είναι μικρό. Όταν όμως εκπορεύονται από επίσημες ή ημιεπίσημες πηγές (εδώ είναι η περίπτωση μας με τον ιστότοπο του Υπουργείου) τα πράγματα γίνονται με ενοχλητικό τρόπο περίπλοκα. Διότι προκαλούν σύγχυση και αμηχανία. Στους μαθητές αλλά και στους δασκάλους τους. Ας δούμε για παράδειγμα την άσκηση που συζητήθηκε εδώ. Ο Χρήστος Στραγάλης (που είναι από τους ικανότατους μαθητές-μέλη μας) εύστοχα σημειώνει:

chris έγραψε:Στους μιγαδικούς δεν χρησιμοποιούμε ανισοτικές σχέσεις...αν θέλετε να δώσετε κάποια σχέση μεταξύ των πραγματικού η του φανταστικού μέρους των δύο μιγαδικών καλύτερα να το δώσετε κάπως αλλιώς διότι προσωπικά δεν βγάζω νόημα!

Το ότι ο Θάνος Μάγκος έμπειρος και γνώστης ων κρατάει κάποια απόσταση από την άσκηση και με κατά κάποιο τρόπο παιγνιώδη διάθεση σημειώνει

matha έγραψε: Το... υπονοούμενο είναι, ότι οι $\displaystyle{z,w}$ είναι πραγματικοί με $\displaystyle{z<w}$ , άρα $\displaystyle{f(c)=f(d)=0}$ (1) και $\displaystyle{f(b)>f^{2}(a)}$ (2)

δεν σημαίνει ότι και όλοι οι συνάδελφοι θα έχουν το θέμα υπό έλεγχο. Σου λέει «από το Υπουργείο είναι».

ΟΚ όλοι μας οι συνάδελφοι των Σχολείων ή των Φροντιστηρίων θέλουμε να βοηθήσουμε τους μαθητές μας. Και να προλάβουμε. Αλλά ως ποιο βαθμό θα τρέχουμε πίσω από κάθε ανοησία που μας έρχεται από τα «κεντρικά»; Ή κάτι είναι σωστό, θεμιτό, και χρήσιμο οπότε το διδάσκουμε ή όχι οπότε το μαζεύουμε. Αυτό είναι όλο και είναι πολύ απλό.
Γιατί αν αρχίζουμε να κυνηγάμε και το αλλόκοτο και το λάθος τότε θα τα τρελλάνουμε τα παιδιά. Διότι με την ίδια λογική θα πρέπει να τρέχουμε ξωπίσω και από τα λάθη των εξετάσεων. Να τρία «θέματα» αυτής της λογικής.

«ΘΕΜΑ» 1 (Θεωρία)
Να αποδειχθεί ότι αν

είναι μία συνεχής συνάρτηση στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ τότε η

παίρνει στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ μία μέγιστη τιμή

και μία ελάχιστη τιμή

Απάντηση:
Δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο αλλά υπάρχει στα τετράδια των μαθητών αφού οι καθηγητές ευσυνείδητοι όντες για λόγους πληρότητας την έχουν διδάξει

«ΘΕΜΑ» 2
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow :\mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε $\left( f\circ f\right) \left( x\right) =-x$ για κάθε

Να αποδειχθεί ότι
Α) $f\left(:\mathbb{R} \right) =:\mathbb{R}$
Β) Η $f{\prime }$ έχει ακριβώς μία ρίζα.
Απάντηση:
Α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός

είναι τιμή της

πράγμα που προκύπτει από την δοθείσα σχέση αν θέσουμε όπου

το

:
$f\left( f\left( -y\right) \right) =y$ .
Β) Είναι f(f(0))=0

. Ας υποθέσουμε ότι η

είχε δύο ή περισσότερες ρίζες. Θεωρούμε δύο ρίζες της $\rho _{1}<\rho _{2}$ . Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την

στο διάστημα $\left[ \rho _{1},\rho _{2}\right]$ και συνάγουμε ότι η $f^{\prime }$ θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $\left( \rho _{1},\rho _{2}\right)$ . Αλλά από την σχέση $\left( f\circ f\right) \left( x\right) =-x$ έχουμε ότι $\left( f\left( f\left( x\right) \right) \right) ^{\prime }=\left( -x\right) ^{\prime }$ δηλαδή $f^{\prime }\left( x\right) f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =-1$ και επομένως η $f^{\prime }$ δεν έχει ρίζα (άτοπο).

«ΘΕΜΑ» 3
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow :\mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση και πραγματικοί αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ τέτοιοι ώστε
Α) $\alpha <\beta <\gamma$
Β) $\left( f^{\prime }\left( \alpha \right) +1\right) ^{2}+\left( f^{\prime }\left( \beta \right) \right) ^{2}+\left( f^{\prime }\left( \gamma \right) -1\right) ^{2}=0$
Να αποδειχθεί ότι η

έχει μία τουλάχιστον θέση ακροτάτου.
Απάντηση:
Από την σχέση $\left( f^{\prime }\left( \alpha \right) +1\right) ^{2}+\left( f^{\prime }\left( \beta \right) \right) ^{2}+\left( f^{\prime }\left( \gamma \right) -1\right) ^{2}=0$ συνάγουμε ότι
$f^{\prime }\left( \alpha \right) +1=f^{\prime }\left( \beta \right) =f^{\prime }\left( \gamma \right) -1=0$
και επομένως $f^{\prime }\left( \alpha \right) =-1$ , $f^{\prime }\left( \beta \right) =0$ , $f^{\prime }\left( \gamma \right) =1$
Άρα η παράγωγος της

στο $\beta$ γίνεται μηδέν στο $\beta$ , αριστερά του $\beta$ παίρνει μία αρνητική τιμή και δεξιά του $\beta$ μία θετική. Επομένως παρουσιάζει ακρότατο (τοπικό ελάχιστο) στο $\beta$ .

Τα «θέματα» αυτά, μιμούνται υπαρκτά θέματα εξετάσεων. Στο τρίτο και υπαρκτή απάντηση της επιτροπής θεμάτων:
Το 1983 πρώτη χρονιά εφαρμογής των Δεσμών ζητήθηκε η απόδειξη του θεωρήματος του Rolle. Η απόδειξη του θεωρήματος όχι μόνο δεν υπήρχε στο τότε βιβλίο αλλά έλλειπαν και τα σχετικά θεωρήματα με τα οποία θα μπορούσε να δοθεί μία απόδειξη (στο τωρινό βιβλίο υπάρχουν και απόδειξη μπορεί να δοθεί). Στις διαμαρτυρίες που ακολούθησαν δόθηκε η απάντηση που παραθέτω.
Συνάρτηση που να ικανοποιεί τις υποθέσεις του «θέματος» 2 δεν υπάρχει (αν υπήρχε θα ήταν 1-1 και συνεχής σε διάστημα και επομένως γνησίως μονότονη άρα η σύνθεση της με το εαυτό της θα ήταν γνησίως αύξουσα, άτοπο). Το 1997 η επιτροπή έδωσε μία άσκηση με ανύπαρκτη συνάρτηση γεγονός απαράδεκτο για θέμα εξετάσεων.
Η «επιχειρηματολογία» στο «θέμα» 3 είναι ουσιαστικά εκείνη του λάθους θέματος των εξετάσεων του 2003.

Άραγε μήπως πρέπει να διδάξουμε αυτά ή παρόμοια θέματα για να είμαστε καλυμμένοι;
Μα φυσικά όχι. Ας κρατήσουμε την λογική μας ακέραιη και ας κάνουμε απερίσπαστοι την δουλειά μας. Η κριτική στάση μας σε ότι μας σερβίρουν είναι η καλλίτερη προστασία της Τέχνης μας. Δεν θα μας την δώσει κανείς άλλος. Υπενθυμίζω ότι και στις τρεις περιπτώσεις οι ιθύνοντες του Υπουργείου Παιδείας προσπάθησαν να κάνουν το μαύρο άσπρο. Από κοντά και οι επικεφαλής της Μαθηματικής Εταιρείας. Το 1997 εδέησαν να οργανώσουν κάποια συζήτηση…το Σεπτέμβριο. Το 2003 ξεπέρασαν τον εαυτό τους. Επικουρούμενοι από διάφορους που είχαν ωφελήματα από δραστηριότητες της Εταιρείας να προσπαθούν με ιταμό τρόπο να πείσουν τον κόσμο ότι το θέμα δεν ήταν λάθος.
Δεν έχουμε κανένα λόγο να παρακολουθούμε τις όπως-τους-βολεύει λογικές αυτών των ανθρώπων.
Τελειώνοντας θα ήθελα να κάνω και μία ακόμη επισήμανση:
Το mathematica λειτουργεί σαν ηχείο. Πλείστοι άνθρωποι επηρεάζονται από αυτά που γράφονται εδώ. Άρα η κριτική όχι μόνο είναι επιτρεπτή αλλά είναι και ευκταία.
Μαυρογιάννης

Α.Κυριακόπουλος · #19

plat_man έγραψε: Στις γενικές εξετάσεις το 1995 (μαθηματικά Α΄ δέσμης, ζήτημα 1ο, ερώτημα β), ο πίνακας 2Α-3Ι ήταν αντιστρέψιμος, ζητήθηκε όμως να αποδειχθεί ότι η ορίζουσα ήταν μικρότερη ή ίση του μηδενός. Τους είπανε ψέματα, γιατί το ίσον δεν ισχύει ποτέ.

• Δεν μπορώ να καταλάβω πού είναι το ψέμα, αφού για παράδειγμα ισχύει: $- 3 \le 0$ , αλλά το ίσον δεν ισχύει (ποτέ).
Φιλικά.

nsmavrogiannis έγραψε: Αυτό που με ενδιέφερε ήταν να ασκήσω κριτική σε ένα ενδημικό σύμπτωμα που έχει να κάνει με τις επεμβάσεις σε εκείνο το κομμάτι των σχολικών Μαθηματικών που σχετίζεται με τις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Ξέρουμε όλοι πολύ καλά ότι υπάρχει Αναλυτικό Πρόγραμμα, υπάρχει Διδακτικό Βιβλίο, υπάρχουν Οδηγίες Διδασκαλίας, υπάρχει Εξεταστέα Ύλη. Όλοι από το Έβρο ως την Κρήτη πορευόμαστε (ή οφείλουμε να πορευθούμε) με αυτά.

• Ακόμα και αν μας λένε, για παράδειγμα, ότι δεν ισχύει ισότητα: $\int {f(x)dx = \int {f(x)dx} }$ ή ότι δεν ισχύουν οι ιδιώτες των πράξεων;

nsmavrogiannis έγραψε: ΟΚ όλοι μας οι συνάδελφοι των Σχολείων ή των Φροντιστηρίων θέλουμε να βοηθήσουμε τους μαθητές μας. Και να προλάβουμε. Αλλά ως ποιο βαθμό θα τρέχουμε πίσω από κάθε ανοησία που μας έρχεται από τα «κεντρικά»;

• Αυτό δεν έρχεται σε αντίφαση με αυτό που γράφεις και που παραθέτω παραπάνω;

nsmavrogiannis έγραψε: Άραγε μήπως πρέπει να διδάξουμε αυτά ή παρόμοια θέματα για να είμαστε καλυμμένοι; Μα φυσικά όχι. Ας κρατήσουμε την λογική μας ακέραιη και ας κάνουμε απερίσπαστοι την δουλειά μας. Η κριτική στάση μας σε ότι μας σερβίρουν είναι η καλλίτερη προστασία της Τέχνης μας. Δεν θα μας την δώσει κανείς άλλος. Υπενθυμίζω ότι και στις τρεις περιπτώσεις οι ιθύνοντες του Υπουργείου Παιδείας προσπάθησαν να κάνουν το μαύρο άσπρο. Από κοντά και οι επικεφαλής της Μαθηματικής Εταιρείας

• Το θέμα είναι ποια λογική πρέπει να κρατήσουμε ακέραιη. Τη λογική που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά ή την κοινή λογική, η οποία όπως έχει αποδειχθεί από τον 19ο αιώνα, δεν είναι αρκετή για την κατανόηση και σωστή αντιμετώπιση των μαθηματικών.
• Επειδή πολλοί συνάδελφοι πιθανόν να μη γνωρίζουν τις αντιδράσεις μου για το λανθασμένο θέμα που είχαν βάλει το έτος 2003, μπορούν να δουν εδώ τα άρθρα που είχα δημοσιεύσει τότε στις εφημερίδες.
Φιλικά.

#20

Καθυστέρησα σκόπιμα την απάντηση στο προηγούμενο μήνυμα για να υπάρξει μία χρονική απόσταση.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε: Αυτό που με ενδιέφερε ήταν να ασκήσω κριτική σε ένα ενδημικό σύμπτωμα που έχει να κάνει με τις επεμβάσεις σε εκείνο το κομμάτι των σχολικών Μαθηματικών που σχετίζεται με τις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Ξέρουμε όλοι πολύ καλά ότι υπάρχει Αναλυτικό Πρόγραμμα, υπάρχει Διδακτικό Βιβλίο, υπάρχουν Οδηγίες Διδασκαλίας, υπάρχει Εξεταστέα Ύλη. Όλοι από το Έβρο ως την Κρήτη πορευόμαστε (ή οφείλουμε να πορευθούμε) με αυτά.
• Ακόμα και αν μας λένε, για παράδειγμα, ότι δεν ισχύει ισότητα: $\int {f(x)dx = \int {f(x)dx} }$ ή ότι δεν ισχύουν οι ιδιώτες των πράξεων;

Δεν κατάλαβα σε ποια επίσημα κείμενα αναφέρεσαι και γιαυτό δεν είμαι σε θέση να απαντήσω.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε: ΟΚ όλοι μας οι συνάδελφοι των Σχολείων ή των Φροντιστηρίων θέλουμε να βοηθήσουμε τους μαθητές μας. Και να προλάβουμε. Αλλά ως ποιο βαθμό θα τρέχουμε πίσω από κάθε ανοησία που μας έρχεται από τα «κεντρικά»;
• Αυτό δεν έρχεται σε αντίφαση με αυτό που γράφεις και που παραθέτω παραπάνω;

Λυπάμαι αλλά αδυνατώ να διακρίνω κάποια αντίφαση. Λέγοντας «κεντρικά» (γιαυτό και τα εισαγωγικά) δεν αναφέρομαι στους καθ΄ύλην αρμόδιους για την διεύθυνση της εκπαίδευσης. Αναφέρομαι στους πάσης φύσεως αλλά άνευ σημασίας παρατρεχάμενους.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε: Άραγε μήπως πρέπει να διδάξουμε αυτά ή παρόμοια θέματα για να είμαστε καλυμμένοι; Μα φυσικά όχι. Ας κρατήσουμε την λογική μας ακέραιη και ας κάνουμε απερίσπαστοι την δουλειά μας. Η κριτική στάση μας σε ότι μας σερβίρουν είναι η καλλίτερη προστασία της Τέχνης μας. Δεν θα μας την δώσει κανείς άλλος. Υπενθυμίζω ότι και στις τρεις περιπτώσεις οι ιθύνοντες του Υπουργείου Παιδείας προσπάθησαν να κάνουν το μαύρο άσπρο. Από κοντά και οι επικεφαλής της Μαθηματικής Εταιρείας
• Το θέμα είναι ποια λογική πρέπει να κρατήσουμε ακέραιη. Τη λογική που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά ή την κοινή λογική, η οποία όπως έχει αποδειχθεί από τον 19ο αιώνα, δεν είναι αρκετή για την κατανόηση και σωστή αντιμετώπιση των μαθηματικών.

Μιλάω για την συνήθη λογική. Είναι η ίδια λογική με εκείνη που χρησιμοποιούν οι δικηγόροι οι γιατροί οι μηχανικοί οι μαστόροι οι νοικοκυραίοι και φυσικά οι μαθηματικοί. Αυτή που χρησιμοποιούσαν εδώ και αιώνες και χρησιμοποιούν ακόμη.
'Ολοι οι κανόνες συμπερασμού στα Μαθηματικά μαθαίνονται με την απλή μαθητεία και έτσι συνεχίζεται από γενιά σε γενιά. Η Μαθηματική Λογική αναπτύχθηκε για την μελέτη των αξιωματικών συστημάτων και όχι για να κάνουμε Μαθηματικά. Ακόμη και για να μελετήσουμε Μαθηματική Λογική χρησιμοποιούμε την συνήθη λογική που χρησιμοποιούμε για να κάνουμε Άλγεβρα, Γεωμετρία, Ανάλυση κτλ. Το ότι μετά Sputnik shock πέρασε μαζί με άλλα αντικείμενα στα σχολικά Μαθηματικά ορισμένων χωρών είναι μία άλλη ιστορία άσχετη με την όποια παιδευτική αξία της Μαθηματικής Λογικής.
Βέβαια αυτά είναι γνώμες και στους ανθρώπους, ευτυχώς ή δυστυχώς, δεν υπάρχει μία γνώμη. Πάντως στα επιστημονικά περιβάλλοντα (στα θρησκευτικά ή τα πολιτικά υπάρχουν άλλοι κανόνες και άλλη αισθητική) είθισται μία συγκεκριμένη γνώμη να διατυπώνεται μία δυο άντε τρεις φορές και να μην χρησιμοποιείται η επανάληψη της ως τεχνική πειθούς.
Μαυρογιάννης

Ανάλυση και Μιγαδικοί

Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση και Μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση