Με πολύ απλά νούμερα !

KARKAR · #1

Πόσες και ποιές κοινές εφαπτόμενες έχουν οι καμπύλες με εξισώσεις

$c_{1} : x^{2}-y^{2}=1$ , και $c_{2}:y^{2}=2x$ ;

Σκοτίδας Σωτήριος · #2

Μετά από δυσκολίες στην Latex ...
Έστω $({e_1}):\,\,{x_1}x - {y_1}y = 1\,\,\,,\,\,\,\,({e_2}):{y_2}y = 1(x + {x_2})$
οι δύο εφαπτομένες των ${C_1}\,,\,{C_2}$
στα σημεία $({x_1},{y_1})\,,\,({x_2},{y_2})$
αντίστοιχα. Για να ταυτίζονται οι $\left( {{e_1}} \right)\,\,,\,\,({e_2})$
πρέπει να ισχύει $\frac{{{x_1}}}{{ - 1}} = \frac{{ - {y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{ - 1}}{{ - {x_2}}} \Rightarrow {x_1} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{ - 1}}{{{x_2}}}$

Αλλά $\left. \begin{array}{l} {x_1}^2 - {y_1}^2 = 1 \\ {y_2}^2 = 2{x_2} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow {\left( {\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}} \right)^2} = \frac{{{x_1}^2 - 1}}{{2{x_2}}} \Rightarrow {x_1}^2 + 2{x_2} - 1 = 0 \Rightarrow$

$\begin{array}{l} \\ \\ \end{array}$

${x_1} = - 1 - \sqrt 2 \,\,,\,\,\,{y_1} = \pm \sqrt {2(1 + \sqrt 2 )} \,\,\,,\,\,\,{x_2} = \sqrt 2 - 1\,\,\,,\,\,{y_2} = \pm \sqrt {2(\sqrt 2 - 1)} \,\,$
${x_1} = - 1 - \sqrt 2 \,\,,\,\,\,{y_1} = \pm \sqrt {2(1 + \sqrt 2 )} \,\,\,,\,\,\,{x_2} = \sqrt 2 - 1\,\,\,,\,\,{y_2} = \pm \sqrt {2(\sqrt 2 - 1)} \,\,$

Τότε ${y_1} = \pm \sqrt {2(1 + \sqrt 2 )} \,\,,\,\,\,{x_2} = \sqrt 2 - 1\,\,,\,\,\,{y_2} = \pm \sqrt {2(\sqrt 2 - 1)}$

Και οι κοινές εφαπτομένες είναι δύο , οι εξής :
$- \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \pm \sqrt {2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} y = 1$

Με πολύ απλά νούμερα !

Με πολύ απλά νούμερα !

Re: Με πολύ απλά νούμερα !

Μέλη σε σύνδεση