Ισοσκελές Τρίγωνο

#1

Έστω

ισοσκελές τρίγωνο $(AB=AC),\,\,\hat A=20^o$ .

η προβολή του

στην

και

σημείο στην

τέτοιο ώστε $\displaystyle{CN=\frac{BC}{2}}$ .
Να υπολογίσετε τη γωνία $\hat{AMN}$

Σκοτίδας Σωτήριος · #2

Αν

το μέσο της

τότε προφανώς ισχύει MT = BT = TC = NC

Κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο MPT

.
Τότε $PTB = {20^0} + {60^0} = {80^0} = NCT$
, άρα

ρόμβος
Έτσι $PM = PN\,\,,\,\,\,MPN = {60^0} + {80^0} = {140^0}$
Τότε $PNM = {20^0}$
και $ANM = {20^0} + {80^0} = {100^0}$

Τελικά $AMN = {180^0} - ({100^0} + {20^0}) = {60^0}$

#3

Σωτήρη ,σε ευχαριστώ

==================
στην απάντηση του Σωτήρη,έκανα αλλαγή των Ε ...σε... Β

Τότε $PTE = {20^0} + {60^0} = {80^0} = NCT$

#4

Αφού η Φωτεινή το πρότεινε και ο Στράτης ... κάπου λείπει, ας κάτσω εγώ να γράψω την (απαγορευμένη) τριγωνομετρική λύση.

Μπορεί να μην είναι τόσο κομψή όσο του Σωτήρη Σκοτίδα, αλλά δείτε τι οικονομία κάνουμε στο σχήμα: ΟΥΤΕ ΜΙΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ!

: 05-02-2011 Γεωμετρία γ.jpg (9.4 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Έστω ΒΓ = α και $\displaystyle \widehat{\Gamma {\rm M}{\rm N}} = \phi ,\;\;0^\circ < \phi < 90^\circ$

Στο ορθογώνιο ΜΒΓ: $\displaystyle M\Gamma = \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu 10^\circ$

Στο ΜΓΝ:

$\displaystyle \frac{{{\rm N}\Gamma }}{{\eta \mu \phi }} = \frac{{{\rm M}\Gamma }}{{\eta \mu \left( {110^\circ - \phi } \right)}} \Leftrightarrow \frac{\alpha }{{2\eta \mu \phi }} = \frac{{\alpha \cdot \sigma \upsilon \nu 10^\circ }}{{\eta \mu \left( {\phi + 70^\circ } \right)}} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \eta \mu \left( {\phi + 70^\circ } \right) = 2\eta \mu \phi \cdot \sigma \upsilon \nu 10^\circ$

$\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \eta \mu \left( {\phi + 70^\circ } \right) = \eta \mu \left( {\phi + 10^\circ } \right) + \eta \mu \left( {\phi - 10^\circ } \right) \\ \\ \Leftrightarrow \eta \mu \left( {\phi + 70^\circ } \right) - \eta \mu \left( {\phi + 10^\circ } \right) = \eta \mu \left( {\phi - 10^\circ } \right) \\ \\ \Leftrightarrow 2\eta \mu 30^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {\phi + 40^\circ } \right) = \eta \mu \left( {\phi - 10^\circ } \right) \\ \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\phi + 40^\circ } \right) = \eta \mu \left( {\phi - 10^\circ } \right)\; \Leftrightarrow \eta \mu \left( {50^\circ - \phi } \right) = \eta \mu \left( {\phi - 10^\circ } \right) \\ \end{array}$

οπότε, αφού $\displaystyle 0^\circ < \phi < 90^\circ$ είναι: $\displaystyle \phi = 30^\circ \Rightarrow \widehat{{\rm A}{\rm M}{\rm N}} = 90^\circ = 30^\circ = 60^\circ$

edit: Διόρθωσα το όνομα του Σωτήρη Σκοτίδα (του είχα αλλάξει το βαφτιστικό του...). Συγνώμη.

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Αφού η Φωτεινή το πρότεινε και ο Στρατής ... κάπου λείπει, ας κάτσω εγώ να γράψω την (απαγορευμένη) τριγωνομετρική λύση.

...δεχόμαστε ...και... απαγορευμένες λύσεις

του χρόνου,ίσως αφαιρέσουν και τίποτα άλλο,ποιός ξέρει...

Ιστοσελίδα · #6

Χρόνια πολλά, καλή Σαρακοστή. Άλλη μια γεωμετρική λύση.

Θέτω

το μέσο της

και θα ισχύει $MD = \displaystyle\frac{{BC}}{2} = DC$ (σαν διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου προς την υποτείνουσα) με $D\widehat CM = D\widehat MC = {10^ \circ }$ .

Φέρω το συμμετρικό του τριγώνου DMC

ως προς

(τρίγωνο

). Το τετράπλευρο DMEC

είναι ρόμβος (4 πλευρές ίσες) με $D\widehat ME = D\widehat CE = {20^ \circ }$ και $M\widehat EC = M\widehat DC = {160^ \circ }.$

Το τρίγωνο CEN

είναι ισόπλευρο ( $CE = CN,\,N\widehat CE = {80^ \circ } - {20^ \circ } = {60^ \circ }$ ) και το τρίγωνο EMN

ισοσκελές ( EM = EN

) με $M\widehat EN = {140^ \circ }$ και $E\widehat MN = E\widehat NM = {20^ \circ }.$

Από εξωτερική γωνία του τριγώνου AMN

ισχύει: $M\widehat NC = {80^ \circ } = x + {20^ \circ } \Rightarrow x = {60^ \circ }.$

#7

ευχαριστώ και το Μιχάλη για την απάντηση (Ruxumuxu εξαφανίστηκε )

στο σχήμα που δίνω κάτω η κορυφή Α του τριγώνου είναι πάνω από την οθόνη σας αλλά δεν πειράζει

φέρω $FC ,\mu\epsilon \,\,\ \hat{FCM}=10^o,$ το τρίγωνο FBC

είναι ισοσκελές με BC=CF=2 CN

το μέσο της

και $\triangle CGN$ ισόπλευρο, $\triangle FGN$ ισοσκελές , $\hat{GFN}=30^o\longrightarrow \hat{OFN}=70^o=\hat{MCN}$

το τετράπλευρο FMCN

είναι εγγράψιμο και επομένως $\hat{AMN}=\hat{OMN}=\hat{FCN}=60^o$

============
edit
και τώρα που το ξανακοιτάζω
μπορούμε να το συνεχίσουμε λίγο διαφορετικά

η $\hat{AMN}=\hat{OMN}$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο (G,GF)

και βαίνει στο τόξο $\overset{\frown}{FN}=120^o=\hat{FGN}$

άρα είναι $\hat{AMN}=60^o$

Ισοσκελές Τρίγωνο

Ισοσκελές Τρίγωνο

Re: Ισοσκελές Τρίγωνο

Re: Ισοσκελές Τρίγωνο

Re: Ισοσκελές Τρίγωνο

Re: Ισοσκελές Τρίγωνο

Re: Ισοσκελές Τρίγωνο

Re: Ισοσκελές Τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση