Μεγαλύτερη-Μικρότερη

#1

!!!...

...!!!
Αν A,B

ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με $\displaystyle P(B)=\frac{1}{2}\quad \kappa\alpha\iota \quad P(A\cup B)=\frac{3}{4}$ ,
να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της πιθανότητας P(X)

, όπου

ένα ενδεχόμενο του $\Omega$ ,τέτοιο ώστε X-A=B

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Δεν ξέρω αν είναι η κατάλληλη λύση η παρακάτω, την δίνω για μελέτη ή σχολιασμό:

1. Θα δείξουμε ότι τα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους

Τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους γιατί, από το ενδεχόμενο Χ αφαιρούμε τα στοιχεία του Α, αν το Α είχε κοινά στοιχεία με το Β τότε από το ενδεχόμενο Χ αφαιρούμε στοιχεία και από tο Β, άτοπο γιατί το Χ - Α τότε δεν θα μπορούσε να είναι ίσο με το Β.

Άλλος τρόπος είναι ο εξής:
$\displaystyle{y \in B \Rightarrow y \in \left( {X - A} \right) \Rightarrow \left\{ {\left. {y \in X\,\,\kappa \alpha \iota \,y \notin A} \right\}} \right.}$
άρα $\displaystyle{y \in B \Rightarrow y \notin A}$ οπότε $\displaystyle{A\bigcap {B = \emptyset } }$

2. Εύρεση της πιθανότητας του ενδεχομένου Α

Άρα $\displaystyle{P\left( {A\bigcup B } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) \Leftrightarrow \frac{3}{4} = P\left( A \right) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{4}}$

3. Εύρεση της μέγιστης και ελάχιστης τιμής του P(X)

A΄ τρόπος
$\displaystyle{X - A \subseteq X \Rightarrow B \subseteq X \Rightarrow P\left( B \right) \le P\left( X \right) \Rightarrow \frac{1}{2} \le P\left( X \right)}$ η ελάχιστη τιμή και

$\displaystyle{X - A = B \Rightarrow X \subseteq A\bigcup B \Rightarrow P\left( X \right) \le P\left( {A\bigcup B } \right) \Rightarrow P\left( X \right) \le \frac{3}{4}}$ η μέγιστη τιμή

Β΄ τρόπος (αλλά δεν ξέρω πως ή αν χρειάζεται να δείξω το πρώτο βήμα)
$\displaystyle{X - A = B \Rightarrow X = A\bigcup B \Rightarrow ...}$ (1) μετά είναι εύκολο να βρούμε ελάχιστη και μέγιστη

Μια απόδειξη (ετεροχρονισμένα) για την σχέση (1):
$\displaystyle{y \in X \Rightarrow \left\{ {\left. {y \in \left( {X - A} \right)\,\,or\,\,y \in \left( {X\bigcap A } \right)} \right\}} \right. \Rightarrow \left\{ {\left. {y \in B\,\,or\,\,y \in A} \right\}} \right. \Rightarrow y \in A\bigcup B }$ οπότε
$\displaystyle{X \subseteq A\bigcup B }$

Το αντίστροφο, $\displaystyle{y \in A\bigcup B \Rightarrow \left\{ {\left. {y \in A\,or\,\,y \in B} \right\}} \right. \Rightarrow \left\{ {\left. {y \in A\,\,or\,\,y \in \left( {X - A} \right)} \right\}} \right. \Rightarrow y \in X}$ (εδώ δεν πείθομαι για την απόδειξή μου) οπότε $\displaystyle{A\bigcup B \subseteq X}$

Άρα, $\displaystyle{A\bigcup B = X}$

sxima · #3

Αφού είναι Χ-Α=Β , ισχύει $B\subseteq X\subseteq A\bigcup{B}$ (*)
Άρα $P(B)\leq P(X)\preceq P(A\bigcup{B)}$
$\frac{1}{2}\preceq P(X)\preceq \frac{3}{4}$
Άρα η ελάχιστη τιμή της Ρ(Χ) είναι 1/2 όταν Χ=Β και
η μέγιστη τιμή είναι 3/4 αν Χ= $A\bigcup{B}$

(*) Αν $X\subseteq B$ τότε $X-A\subseteq B$
Αν $A\bigcup{B}\subseteq X$ τότε $B\subseteq X-A$

Μάκης Χατζόπουλος · #4

sxima έγραψε:Αφού είναι Χ-Α=Β , ισχύει $B\subseteq X\subseteq A\bigcup{B}$ (*)
Άρα $P(B)\leq P(X)\preceq P(A\bigcup{B)}$
$\frac{1}{2}\preceq P(X)\preceq \frac{3}{4}$
Άρα η ελάχιστη τιμή της Ρ(Χ) είναι 1/2 όταν Χ=Β και
η μέγιστη τιμή είναι 3/4 αν Χ= $A\bigcup{B}$

(*) Αν $X\subseteq B$ τότε $X-A\subseteq B$
Αν $A\bigcup{B}\subseteq X$ τότε $B\subseteq X-A$

Να σε ρωτήσω κάτι; Που διαφέρουν οι αποδείξεις μας;

sxima · #5

Πουθενά. Δεν έπρεπε να ανεβάσω την λύση μου;

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Όχι να την ανεβάσεις, αλλά θεώρησα ότι είχες κάτι διαφορετικό να προσθέσεις...

#7

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Να σε ρωτήσω κάτι; Που διαφέρουν οι αποδείξεις μας;

sxima έγραψε:Πουθενά. Δεν έπρεπε να ανεβάσω την λύση μου;

Σας ευχαριστώ πολύ !!! και τους δυο
-------------------------------------------

την καλημέρα μου στο φίλο Μάκη

Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Re: Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Re: Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Re: Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Re: Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Re: Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Re: Μεγαλύτερη-Μικρότερη

Μέλη σε σύνδεση