Σταθερή συνάρτηση

#1

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει

$f(e^x+y)=f(e^y+x), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Να αποδειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

Dreamkiller · #2

Έστω ένας τυχαίος πραγματικός αριθμός

, τον οποίον σταθεροποιώ. Τότε για κάθε $x \in R$ υπάρχει $y \in R$ τέτοιο ώστε e^x+y=z

.
Θεωρώ τώρα τη συνάρτηση $g(x)=e^y+x=e^{z-e^x}+x$ , η οποία είναι συνεχής στο

.
Είναι $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }g(x)=-\infty$ και $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }=+\infty$ , άρα η

σαρώνει όλο το

.
Επανεξετάζοντας βάσει αυτών τη δοθείσα, παίρνουμε πως $f(x)=f(z) \forall x \in g(R)=R,$ άρα η

είναι σταθερή.

#3

Ωραία!!

Ας το γράψω λίγο πιο αναλυτικά :

Αν a,b

είναι δύο αυθαίρετα επιλεγμένοι πραγματικοί, αρκεί να δείξω ότι f(a)=f(b)

Η συνάρτηση $g(x)=e^{a-e^x}+x, x \in \mathbb{R}$ είναι συνεχής και

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty, \displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty$ , άρα $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

Συνεπώς υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ ώστε $g(x_0)=b \Rightarrow b=e^{a-e^{x_0}}+x_0$

Έστω $y_0=a-e^{x_0}$

Τότε $a=y_0+e^{x_0} \wedge b=e^{y_0}+x_0 \Rightarrow f(a)=f(y_0+e^{x_0})=f(x_0+e^{y_0})=f(b)$

και η απόδειξη τελείωσε.

kostas_zervos · #4

s.kap έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει

$f(e^x+y)=f(e^y+x), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Να αποδειχθεί ότι η είναι σταθερή.

Ψάχνοντας σε παλιές αναρτήσεις βρήκα αυτήν την πολύ ωραία άσκηση...

Μια παρόμοια λύση...

Για y=-e^x

έχουμε $f(0)=f\left(e^{-e^x}+x\right)$ .

Έστω $g(x)=e^{-e^x}+x\;,\;x\in\Bbb{R}$ .

Η

είναι συνεχής στο $\Bbb{R}$ και παραγωγίσιμη με $g'(x)=1-e^{x-e^{x}}>0$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ , αφού $e^x>x\Rightarrow x-e^x<0\Rightarrow e^{x-e^x}<1$ .

Άρα είναι γνησίως αύξουσα στο $\Bbb{R}$ .

Επίσης $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ και $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , επομένως $f(\Bbb{R})=\Bbb{R}$ .

Άρα για κάθε $t\in\Bbb{R}$ , υπάρχει $x\in\Bbb{R}$ , ώστε $g(x)=t\iff e^{-e^x}+x=t$ .

Έτσι για $t=e^{-e^x}+x$ , έχουμε f(t)=f(0)

για κάθε $t\in\Bbb{R}$ , δηλαδή η

είναι σταθερή.

FERMA · #5

Παραθέτω άλλη μία λύση.

θέτω για $y\prec 0$ το $e^x\rightarrow -y$ και η αρχική σχέση θα πάρει την παρακάτω μορφή.
$f(0)=f(e^{e^{x}}+ln(-y))$ . Τώρα για χ $\rightarrow 0$ , f(0)=f(e+ln(-y))

και αυτό από την αρχική ισότητα γίνεται
f(0)=f(1-y)

. Βάζω $t\rightarrow 1-y$ και προκύπτει f(t)=f(0)

για κάθε t.

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση