Ramsey

[KapioPulsar]

'Εστω για κάποια σύνολα Α,Β νδο :
i) υπάρχει : M άπειρο , και ή .
ii)Κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών περιέχει μια μονότονη ακολουθία .

ΥΓ: (ναί γίνετε και με άλλο τρόπο αλλά για να δούμε και με το λήμμα Ράμση)

[Demetres]

Επειδή το θέμα το γνωρίζω δεν θέλω να δώσω την λύση. Να εξηγήσω όμως την ορολογία διότι ίσως να μην είναι κατανοητή.

Αν ένα σύνολο, τότε με συμβολίζουμε το σύνολο όλων των υποσυνόλων του με δύο στοιχεία. Για παράδειγμα .

To (i) λοιπόν ζητάει να δειχθεί ότι αν το διαμεριστεί σε δύο μέρη, τότε θα υπάρχει άπειρο υποσύνολο του ώστε το να είναι υποσύνολο ενός από τα δύο μέρη.

Αυτό είναι το θεώρημα Ramsey στην άπειρη μορφή του. Στην πεπερασμένη μορφή του το έχουμε δει εδώ.

[Ilias_Zad]

Θα δείξω το (1). Το (2) είναι απλό με γνώση του (1).

Βάφουμε τα στοιχεία του Α κόκκινα και το Β μπλε για ευκολία και υποθέτουμε ότι τα 2-σύνολα είναι ακέραια σημεία που βρίσκονται πάνω απο την διαγώνιο στο 1ο τεταρτημόριο.

Έστω πως δεν υπάρχει μονοχρωματικό άπειρο.

Λήμμα:
Έστω αύξουσα ακολουθία φυσικών .

Τότε δεν γίνεται για κάθε , να υπάρχει ώστε τα για να είναι μπλε.

Πράγματι τότε σχηματίζεται ένα μπλέ άπειρο. Αυτό πάει επαγωγικα:

1)παίρνουμε

2) θεωρούμε το ώστε τα να είναι μπλε για και μικρότερο δυνατό.

3) Ύστερα θεωρούμε και εκτελούμε το (2) για το m_1 στην θέση του 2.
κτλ

Έτσι σχηματίζουμε μια όπου το μας ικανοποιεί.
---
Θα κατασκευάσουμε τώρα καταληγοντας σε άτοπο μια άύξουσα ακολoυθία άπειρη όπου μονοχρωματικό για κάθε m>n.

Aρχικά για παίρνουμε μια άπειρη αύξουσα ώστε τα χβτγ να είναι κόκκινα.
Θεωρούμε .

Παρατηρούμε ότι απο το λήμμα για την υπάρχει και ακολουθία ώστε τα , να είναι επίσης κόκκινα.

Θεωρούμε τώρα .

Ύστερα πάλι απο λήμμα για την υπάρχει ώστε τα να ειναι μόνο κόκκινα.

Θεωρούμε τότε . Mε τον ίδο τρόπο ορίζεται γενικώς η .

H επαλήθευση είναι πια εύκολη.