Ελληνικής προέλευσης ('87)

#1

Έστω $A\in\mathbb{C}^{n^{2}}$ , τέθοιος ώστε $A^{2}-3A+2I=0$ . Ας δειχθεί ότι για κάθε φυσικό $k\geq1$ , ισχύει : $A^{2k}-(2^{k}+1)A^{k}+2^{k}I=0$ .

#2

Δείξτε επαγωγικά ότι A^k = (2^k-1)A - (2^k-2)I

.

#3

Μια άλλη ιδέα A=I+B

τότε $B^2=B\Rightarrow B^n=B\Rightarrow A^n=(I+B)^n=...$ άθροισμα διωνυμικών συντελεστων κοκ εκφράζεται συναρτήσει των B,I

άρα του

...
Οι ταυτότητες ισχύουν διότι B.I=I.B

giannisn1990 · #4

Μια άλλη λύση

ο πίνακας

έχει ιδιοτιμές τα $\lambda_{1}=1$ και $\lambda_{2}=2$ οπότε ο πίνακας $B=A^{n}$ θα έχει ιδιοτιμές τα $\lambda_{3}=1$ , $\lambda_{4}=2^{n}$ άρα από Θεώρημα Cayley-Hamilton θα είναι $B^{2}-(1+2^{n})B+2^{n}I=0\Leftrightarrow A^{2n}-(1+2^{n})A^{n}+2^{n}I=0$

#5

giannisn1990 έγραψε:Μια άλλη λύση

ο πίνακας έχει ιδιοτιμές τα $\lambda_{1}=1$ και $\lambda_{2}=2$ οπότε ο πίνακας $B=A^{n}$ θα έχει ιδιοτιμές τα $\lambda_{3}=1$ , $\lambda_{4}=2^{n}$ άρα από Θεώρημα Cayley-Hamilton θα είναι $B^{2}-(1+2^{n})B+2^{n}I=0\Leftrightarrow A^{2n}-(1+2^{n})A^{n}+2^{n}I=0$

Γιάννη, προσοχή! Ο πίνακας δεν είναι απαραίτητα 2χ2. Οι ιδιοτιμές μπορεί να εμφανίζονται με πολλαπλότητα και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Β δεν είναι απαραίτητα το $x^{2}-(1+2^{n})x+2^{n}$ .

#6

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $A\in\mathbb{C}^{n^{2}}$ , τέθοιος ώστε $A^{2}-3A+2I=0$ . Ας δειχθεί ότι για κάθε φυσικό $k\geq1$ , ισχύει : $A^{2k}-(2^{k}+1)A^{k}+2^{k}I=0$ .

Έστω $f(x)=x^{2k}-(2^{k}+1)x^{k}+2^{k}$ . Επειδή f(1)=f(2)=0

, έπεται ότι $f(x)=(x^{2}-3x+2)p(x)$ . Άρα $f(A)=(A^{2}-3A+2I)p(A)=0$ .

Ελληνικής προέλευσης ('87)

Ελληνικής προέλευσης ('87)

Re: Ελληνικής προέλευσης ('87)

Re: Ελληνικής προέλευσης ('87)

Re: Ελληνικής προέλευσης ('87)

Re: Ελληνικής προέλευσης ('87)

Re: Ελληνικής προέλευσης ('87)

Μέλη σε σύνδεση