ακολουθία μιγαδικών

KapioPulsar · #1

Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση??

#2

KapioPulsar έγραψε:Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση??

Υπάρχει.

Θεωρούμε την ασυνεχή συνάρτηση $f : [0,1] \rightarrow \mathbb R, f(x) = 0$ στο $[0, \frac{1}{2}], \, f(x) = 1$ στο $(\frac{1}{2}, 1].$ .

Κατασκευάζουμε την ακολουθία των πολυωνύμων σε δύο βήματα: Για $n\in \mathbb N$ θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση $f_n : [0,1] \rightarrow \mathbb R, f(x) = 0$ στο $[0, \frac{1}{2}], \, f_n(x) = 1$ στο $(\frac{1}{2} +\frac{1}{n}, 1]$ και γραμμική στο ενδιάμεσο $(\frac{1}{2} , \frac{1}{2}+\frac{1}{n}]$ .

Είναι απλό να δούμε ότι η f_n

συγκλίνει κατά σημείο στην

.

Τώρα, από Weierstrass υπάρχει για κάθε n πολυώνυμο p_n

ομοιόμορφα κοντά στην f_n

και συγκεκριμένα με $\sup | f_n(x) - p_n(x)| < \frac{1}{n}$ . Εύκολα βλέπουμε ότι η (p_n)

συγκλίνει κατά σημείο στην ασυνεχή

.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

KapioPulsar έγραψε:Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση??

Και αλλιώς: Η p_n(x) = x^n

στο

συγκλίνει κατά σημείο στην ασυνεχή
$f(x) = 0, \, x\in [0,1), \, f(1)=1$ .

Αφήνω την προηγούμενη λύση γιατί μπορεί να προσαρμοστεί σε σωρεία ασυνεχών συναρτήσεων.

M.

ακολουθία μιγαδικών

ακολουθία μιγαδικών

Re: ακολουθία μιγαδικών

Re: ακολουθία μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση