Ενδιαφέρουσα?

KapioPulsar · #1

Θεωρούμε την συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο f(x)=c_1a^x+c_2b^x+c_3d^x

οπου $0<a,b,d \ne 1$ και $c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}$ όχι όλοι μηδέν .

i) Εάν $f(x) \geq c_1+c_2+c_3 \forall x \in \mathbb{R}$ νδο $a^{c_1}b^{c_2}d^{c_3}=1$ .

ii)Εάν $c_1,c_2,c_3\geq 0$ και οχι όλοι μηδέν τότε κάθε συνάρτηση που παράγεται απο τον παραπάνω τύπο δεν διαθέτει σημείο καμπύς.

chris · #2

I)
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle g(x)=c_1a^x+c_2b^x+c_3d^x-c_1-c_2-c_3,x\in \mathbb{R}$ με $\displaystyle g'(x)=a^xc_1lna+b^xc_2lnb+d^xc_3lnd$

Όμως είναι:
$\displaystyle g(x)=f(x)-\left(c_1+c_2+c_3 \right)\geq 0=g(0),\forall x \in \mathbb{R}$ και άρα απο το θεώρημα Fermat είναι:
$\displaystyle g'(0)=0\Rightarrow lna^{c_1}+lnb^{c_2}+lnd^{c_3}=0\Rightarrow ln\left(a^{c_1}b^{c_2}d^{c_3} \right)=ln1\Rightarrow a^{c_1}b^{c_2}d^{c_3} =1$

II)
Είναι $\displaystyle f'(x)=a^xc_1lna+b^xc_2lnb+d^xc_3lnd$
και f''(x)=a^xc_1ln^2a+b^xc_2ln^2b+d^xc_3ln^2d>0

άρα

κυρτή στο $\mathbb{R}$ και συνεπώς δεν έχει σημεία καμπής.

#3

i) Προφανώς $\displaystyle{f\left( 0 \right) = c_1 \cdot \alpha ^0 + c_2 \cdot b^0 + c_3 \cdot d^0 = c_1 + c_2 + c_3 }$
Και επειδή ισχύει: $\displaystyle{f\left( x \right) \geqslant c_1 + c_2 + c_3 ,\forall x \in R \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant f\left( 0 \right),\forall x \in R\mathop \Rightarrow \limits^{Fermat} f'\left( 0 \right) = 0:\left( 1 \right) }$

Όμως

$\displaystyle{ \begin{gathered} f'\left( x \right) = c_1 \cdot \alpha ^x \ln \alpha + c_2 \cdot b^x \ln b + c_3 \cdot d^x \ln d \Rightarrow \hfill \\ f'\left( 0 \right) = c_1 \ln \alpha + c_2 \ln b + c_3 \ln d = \ldots \ln \left( {\alpha ^{c_1 } \cdot b^{c_2 } \cdot d^{c_3 } } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f'\left( 0 \right) = 0} \hfill \\ \ln \left( {\alpha ^{c_1 } \cdot b^{c_2 } \cdot d^{c_3 } } \right) = 0 \Rightarrow \alpha ^{c_1 } \cdot b^{c_2 } \cdot d^{c_3 } = 1 \hfill \\ \end{gathered} }$

ii) Επειδή προφανώς η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R (η f’ είναι πράξεις με παραγωγίσιμες) με

$\displaystyle{ f''\left( x \right) = c_1 \cdot \alpha ^x \ln ^2 \alpha + c_2 \cdot b^x \ln ^2 b + c_3 \cdot d^x \ln ^2 d }$

και

$\displaystyle{ \begin{gathered} 0 < \alpha ,b,d \ne 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \ln ^2 \alpha > 0 \hfill \\ \ln ^2 b > 0 \hfill \\ \ln ^2 d > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha ^x ,b^x ,d^x \in \left( {0, + \infty } \right),\forall x \in R} \left\{ \begin{gathered} \alpha ^x \cdot \ln ^2 \alpha > 0 \hfill \\ b^x \cdot \ln ^2 b > 0 \hfill \\ d^x \cdot \ln ^2 d > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \mathop \Rightarrow \limits^{c_1 ,c_2 ,c_3 \geqslant 0} \left\{ \begin{gathered} c_1 \alpha ^x \cdot \ln ^2 \alpha \geqslant 0:\left( 1 \right) \hfill \\ c_2 b^x \cdot \ln ^2 b \geqslant 0:\left( 2 \right) \hfill \\ c_3 d^x \cdot \ln ^2 d \geqslant 0:\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} c_1 \alpha ^x \cdot \ln ^2 \alpha + c_2 b^x \cdot \ln ^2 b + c_3 d^x \cdot \ln ^2 d \geqslant 0 \Rightarrow f''\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} }$

Με την παρατήρηση η ισότητα να ισχύει όταν ισχύουν συγχρόνως οι ισότητες στις σχέσεις (1), (2) και (3) και θα συμβεί όταν

$\displaystyle{ c_1 = c_2 = c_3 = 0 }$ άτοπο από την υπόθεση.

Άρα ισχύει $\displaystyle{f''\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

και επομένως (επειδή είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R) δεν έχει σημεία καμπής

Ενδιαφέρουσα?

Ενδιαφέρουσα?

Re: Ενδιαφέρουσα?

Re: Ενδιαφέρουσα?

Μέλη σε σύνδεση