Εξίσωση

nonlinear · #1

Έστω (x,y) μη μηδενικοί θετικοί ακέραιοι . Να βρείτε τα ζεύγη (x,y) που επαληθεύουν την :

$\displaystyle{{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( {x - y - 6} \right)^2}}$

stavros11 · #2

$\displaystyle{(x+y)^3=(x-y-6)^2\Rightarrow (x+y)^3=(x+y-2y-6)^2\Rightarrow (x+y)^3=[x+y-2(y+3)]^2\Rightarrow }$

$\displaystyle{(x+y)^3=(x+y)^2-4(x+y)(y+3)+4(y+3)^2\Rightarrow (x+y)^2(x+y-1)=4(y+3)(y+3-x-y)\Rightarrow }$

$\displaystyle{(x+y)^2(x+y-1)=4(y+3)(3-x)}$

Αφού $\displaystyle{x,y\in \mathbb{N}^{*}}$ παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος είναι θετικό. Άρα και το δεύτερο μέλος πρέπει να είναι θετικό, κάτι που ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x<3}$ . Όμως αφού $\displaystyle{x\in \mathbb{N}^{*}}$ , τότε $\displaystyle{x=1}$ ή $\displaystyle{x=2}$ .

Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{(x+y)^3=(y-x+6)^2}$ και έχουμε τις περιπτώσεις:
1) Για $\displaystyle{x=1}$
$\displaystyle{(y+1)^3=(y+5)^2\Rightarrow y^3+2y^2-7y-24=0}$ , όπου με Horner βλέπουμε ότι η μόνη ακέραια λύση είναι η $\displaystyle{y=3}$
Άρα έχουμε το ζεύγος $\displaystyle{(x,y)=(1,3)}$

2) Για $\displaystyle{x=2}$
$\displaystyle{(y+2)^3=(y+4)^2\Rightarrow y^3+5y^2+4y-8=0}$ η οποία δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Άρα το μοναδικό ζεύγος θετικών ακεραίων που την επαληθεύει είναι το $\displaystyle{(x,y)=(1,3)}$

Ελπίζω να μην έχει κάποιο λάθος. Η τελευταία εξίσωση πιθανόν να λύνεται διαφορετικά, για να αποφύγουμε το Horner, αλλά δεν προλαβαίνω να το δω τώρα.

Eagle · #3

stavros11 έγραψε:Η τελευταία εξίσωση πιθανόν να λύνεται διαφορετικά, για να αποφύγουμε το Horner, αλλά δεν προλαβαίνω να το δω τώρα.

Ναι υπάρχει.Εφόσον $y \in \mathbb{N^*}$ θα πρέπει ο

να είναι είναι διαιρέτης του

.Από εδώ και πέρα παίρνουμε τις περιπτώσεις και λύνουμε τα συστήματα.Προσωπικά θεωρώ ότι το σύστημα Horner είναι καλύτερο στην προκειμένη περίπτωση.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση