Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

#1

Μερικές φορές συμβαίνουν τρελά τυχαία γεγονότα :
Μέσα σε μια βδομάδα μου τηλεφώνησαν τουλάχιστον 5 συνάδελφοι για κάποιο ερώτημα διατύπωσης στη λύση ενός ερωτήματος. Για το λόγο αυτό βάζω την παρακάτω άσκηση.
Αυτό που αξίζει να κουβεντιάσουμε -και που ήταν η ερώτηση των συναδέλφων - είναι ο τρόπος λύσης (έκφρασης) στο ερώτημα α) και συγκεκριμένα για το πώς θα βρεθεί η παράγωγος στο 1.
Ρίξτε όμως μια ματιά στην άσκηση για να καταλάβετε ποιο είναι το επίμαχο σημείο και επανερχόμαστε.
Το υπόλοιπο σκέλος της άσκησης -(γ)- το ξαναέβαλα πρόσφατα σε άλλη συνάρτηση.
Μπάμπης

mathxl · #2

Γρήγορα γρήγορα (γράφω κάτι σημειώσεις ταυτόχρονα) για το Α και σύμφωνα με αυτά που είπε η Ελένη Μήτσιου στην Μαθηματική εβδομάδα 2007, οι κανόνες παργώγισης ισχύουν σε σημείο και γενικά για όποια χ παραγωγίζεται η συνάρτηση

#3

Είναι

. Aφαιρώ και απο τα δύο μέλη το

και το

και με κατάλληλο συμμάζεμα παίρνω:
f(x^2)-1+x[f(x^3)-1]=x^7+x^4-x-1

. Για

διαφορετικό του

, αλλά κοντά στο 1, έχουμε:
$\displaystyle{(x-1)(x+1)\frac{f(x^2)-1}{x^2-1}+x(x-1)(x^2+x+1)\frac{f(x^3)-1}{x^3-1}=}$ $\displaystyle{(x-1)(x^6+x^5+x^4+2x^3+2x^2+2x+1)$ .
Για

διαφορετικό του

κοντά στο

απλοποιώ το x-1,

λαμβάνω όρια στο

η

παραγωγίσιμη στο

κτλ, κτλ...

Συμπλήρωση: Επεξεργασία σε Latex μετά την αναδημοσίευση της άσκησης στις 1/11/2013.

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μερικές φορές συμβαίνουν τρελά τυχαία γεγονότα :
Μέσα σε μια βδομάδα μου τηλεφώνησαν τουλάχιστον 5 συνάδελφοι για κάποιο ερώτημα διατύπωσης στη λύση ενός ερωτήματος. Για το λόγο αυτό βάζω την παρακάτω άσκηση.
Αυτό που αξίζει να κουβεντιάσουμε -και που ήταν η ερώτηση των συναδέλφων - είναι ο τρόπος λύσης (έκφρασης) στο ερώτημα α) και συγκεκριμένα για το πώς θα βρεθεί η παράγωγος στο 1.
Ρίξτε όμως μια ματιά στην άσκηση για να καταλάβετε ποιο είναι το επίμαχο σημείο και επανερχόμαστε.
Το υπόλοιπο σκέλος της άσκησης -(γ)- το ξαναέβαλα πρόσφατα σε άλλη συνάρτηση.
Μπάμπης

$\displaystyle{\begin{array}{l} f({x^2})\, + xf({x^3})\, = \,{x^4}({x^3} + 1) \\ f({x^2}) - 1\, + xf({x^3}) - x\, = \,{x^4}({x^3} + 1) - x - 1 \\ \frac{{f({x^2}) - 1}}{{x - 1}}\, + x\frac{{f({x^3}) - 1}}{{x - 1}}\, = \,\frac{{{x^4}({x^3} + 1) - x - 1}}{{x - 1}} \\ (x + 1)\frac{{f({x^2}) - 1}}{{{x^2} - 1}}\, + x\frac{{f({x^3}) - 1}}{{{x^3} - 1}}({x^2} + x + 1)\, = \,\frac{{{x^4}({x^3} + 1) - x - 1}}{{x - 1}} \\ \end{array}}$
με ορια
αφου $\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f({x^2}) - 1}}{{{x^2} - 1}} = {f^\prime }(1) \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f({x^3}) - 1}}{{{x^3} - 1}} = {f^\prime }(1) \\ \end{array}}$

εxουμε f '(1)=2

#5

καλο αυτο ολοι μαζι απαντησαμε

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μερικές φορές συμβαίνουν τρελά τυχαία γεγονότα :
Μέσα σε μια βδομάδα μου τηλεφώνησαν τουλάχιστον 5 συνάδελφοι για κάποιο ερώτημα διατύπωσης στη λύση ενός ερωτήματος. Για το λόγο αυτό βάζω την παρακάτω άσκηση.
Αυτό που αξίζει να κουβεντιάσουμε -και που ήταν η ερώτηση των συναδέλφων - είναι ο τρόπος λύσης (έκφρασης) στο ερώτημα α) και συγκεκριμένα για το πώς θα βρεθεί η παράγωγος στο 1.
Ρίξτε όμως μια ματιά στην άσκηση για να καταλάβετε ποιο είναι το επίμαχο σημείο και επανερχόμαστε.
Το υπόλοιπο σκέλος της άσκησης -(γ)- το ξαναέβαλα πρόσφατα σε άλλη συνάρτηση.
Μπάμπης
$\displaystyle{\begin{array}{l} f({x^2})\, + xf({x^3})\, = \,{x^4}({x^3} + 1) \\ f({x^2}) - 1\, + xf({x^3}) - x\, = \,{x^4}({x^3} + 1) - x - 1 \\ \frac{{f({x^2}) - 1}}{{x - 1}}\, + x\frac{{f({x^3}) - 1}}{{x - 1}}\, = \,\frac{{{x^4}({x^3} + 1) - x - 1}}{{x - 1}} \\ (x + 1)\frac{{f({x^2}) - 1}}{{{x^2} - 1}}\, + x\frac{{f({x^3}) - 1}}{{{x^3} - 1}}({x^2} + x + 1)\, = \,\frac{{{x^4}({x^3} + 1) - x - 1}}{{x - 1}} \\ \end{array}}$
με ορια
αφου $\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f({x^2}) - 1}}{{{x^2} - 1}} = {f^\prime }(1) \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f({x^3}) - 1}}{{{x^3} - 1}} = {f^\prime }(1) \\ \end{array}}$

εxουμε f '(1)=2

#6

Θέτω

τότε

άρα
$\frac{g(x^2)-1}{x^2-1}+\frac{g(x^3)-1}{x^3-1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{x^9+x^6-2}{x^2-1}$
Παιρνουμε όρια και χρησιοποιούμε DLH στα κλασματα που δεν περιέχουν την f
Μετά
$\frac{xf(x)-x+x-1}{x-1}$ ...

ΛΑΘΟΣ θα ήταν να παραγωγίσουμε την δοσμένη γιατί η f δεν δίνεται παραγωγίσιμη αλλά δίνεται μὀνον το $f^\prime(1)$

k-ser · #7

Μπάμπη,
συμφωνώ με τις προηγούμενες απόψεις των συναδέλφων.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρεις την παράγωγο της f(x^2)+xf(x^3)

.
O ένας με τη βοήθεια του ορίου και ο δεύτερος με τους κανόνες παραγώγισης.
Για τον δεύτερο χρειάζεται προσοχή στην διατύπωση:
Οι συναρτήσεις x^2

,

είναι παραγωγίσιμες στο 1. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1^2

και στο

οπότε οι

,

είναι παραγωγίσιμες στο 1
Ακόμη η συνάρτηση f(x^2)+xf(x^3)

είναι παραγωγίσιμη στο 1 ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f(x^2)

,

,
αφού η τελευταία είναι παραγωγίσιμη στο 1 ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Αν g(x)=f(x^2)+xf(x^3)

, με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης έχουμε:
$g^{\prime}(1) = f^{\prime}(1)\cdot3\cdot1+f(1^3)+1\cdot f^{\prime}(1^3)\cdot3\cdot1^2$
Από αυτό τα σημείο και πέρα τα πράγματα είναι εύκολα.

#8

k-ser έγραψε:Μπάμπη,
συμφωνώ με τις προηγούμενες απόψεις των συναδέλφων.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρεις την παράγωγο της .
O ένας με τη βοήθεια του ορίου και ο δεύτερος με τους κανόνες παραγώγισης.
Για τον δεύτερο χρειάζεται προσοχή στην διατύπωση:
Οι συναρτήσεις , είναι παραγωγίσιμες στο 1. Η f είναι παραγωγίσιμη στο και στο οπότε οι , είναι παραγωγίσιμες στο 1
Ακόμη η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 1 ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ,,
αφού η τελευταία είναι παραγωγίσιμη στο 1 ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Αν , με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης έχουμε:
$g^{\prime}(1) = f^{\prime}(1)\cdot3\cdot1+f(1^3)+1\cdot f^{\prime}(1^3)\cdot3\cdot1^2$
Από αυτό τα σημείο και πέρα τα πράγματα είναι εύκολα.

Βεβαια υπαρχει και αυτος ο τροπος οπως ακριβως στον ορισμο του σχολικου
μονο που σχεδον τον εχουμε απαγορευσει στους μαθητες.

#9

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:
k-ser έγραψε:Μπάμπη,
συμφωνώ με τις προηγούμενες απόψεις των συναδέλφων.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρεις την παράγωγο της .
O ένας με τη βοήθεια του ορίου και ο δεύτερος με τους κανόνες παραγώγισης.
Για τον δεύτερο χρειάζεται προσοχή στην διατύπωση:
Οι συναρτήσεις , είναι παραγωγίσιμες στο 1. Η f είναι παραγωγίσιμη στο και στο οπότε οι , είναι παραγωγίσιμες στο 1
Ακόμη η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 1 ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ,,
αφού η τελευταία είναι παραγωγίσιμη στο 1 ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Αν , με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης έχουμε:
$g^{\prime}(1) = f^{\prime}(1)\cdot3\cdot1+f(1^3)+1\cdot f^{\prime}(1^3)\cdot3\cdot1^2$
Από αυτό τα σημείο και πέρα τα πράγματα είναι εύκολα.
Βεβαια υπαρχει και αυτος ο τροπος οπως ακριβως στον ορισμο του σχολικου
μονο που σχεδον τον εχουμε απαγορευσει στους μαθητες.

Στον παρακατω Συνημμένο:μο

είναι ο πρώτος τρόπος.pdf

φαινεται ποσο επικυνδυνος ειναι ο παραπανω τροπος ,οπως ειχε επισημανει και ο Νίκος Μαυρογίαννης
Αλλα δεν παυει να μ΄αρεσει και ας μην τον διδασκω πλεον.

#10

mathxl έγραψε:Γρήγορα γρήγορα (γράφω κάτι σημειώσεις ταυτόχρονα) για το Α και σύμφωνα με αυτά που είπε η Ελένη Μήτσιου στην Μαθηματική εβδομάδα 2007, οι κανόνες παργώγισης ισχύουν σε σημείο και γενικά για όποια χ παραγωγίζεται η συνάρτηση

Καλημέρα !

Πώς δηλαδή θα έγραφε τη λύση η Ελένη στην άσκηση αυτή ; Θα μου πεις τώρα , να της τηλεφωνήσω και να τη ρωτήσω ! Εντάξει , θα την πάρω το βράδυ(Αστιεύομαι !) Πώς όμως , αν έχεις λίγο χρόνο , θα έγραφες εσύ τη λύση, σύμφωνα με αυτά που κατάλαβες από την Ελένη ;Δεν στο ζητάω για μένα μόνο , αλλά για όλους μας .Θα σας πω και γω τι απάντησα στους συναδέλφους.
Διότι νομίζω ότι σε αυτό το θέμα παιδεύουμε άσκοπα τους εαυτούς μας . Αυτό που έγραψες με βρίσκει σύμφωνο !Με μια απλή και καλή διατύπωση όλα τακτοποιούνται.

Μπάμπης

mathxl · #11

Μπάμπη ο kser με έχει καλύψει!

Το συνημμένο το Ν.Μαυρογιάννη είναι διδακτικότατο αλλά προτιμώ την λύση του kser μιας και την βρίσκω πιο σύντομη και επίσης χρησιμοποιεί ένα παραμελημένο θεώρημα παραγώγισης σύνθετης (άρα και πιο διδακτικό)! Τον άλλο τρόπο τον βρίσκω λίγο κουραστικό...αλλά ομολογουμένως με πιο άκίνδυνη διατύπωση.

#12

mathxl έγραψε:Μπάμπη ο kser με έχει καλύψει!

Το συνημμένο το Ν.Μαυρογιάννη είναι διδακτικότατο αλλά προτιμώ την λύση του kser μιας και την βρίσκω πιο σύντομη και επίσης χρησιμοποιεί ένα παραμελημένο θεώρημα παραγώγισης σύνθετης (άρα και πιο διδακτικό)! Τον άλλο τρόπο τον βρίσκω λίγο κουραστικό...αλλά ομολογουμένως με πιο άκίνδυνη διατύπωση.

Το εξαίρετο αρχείο του Νίκου φωτίζει κυρίως και άλλα επίσης επικίνδυνα πράγματα. Εδώ το ζήτημα είναι σχετικά απλό. Η πιο απλή απάντηση , σύμφωνα και με το πνεύμα του Κώστα Σερίφη, είναι αυτή :

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο χ=1 , σύμφωνα με τους κανόνες παραγώγισης και τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης( η ανάλυση του Κώστα είναι υποδειγματική), έχουμε :

$2xf^ \prime (x^2 )\, + \,f(x^3 )\, + xf ^ \prime (x^3 ) \cdot 3x^2 \, = \,7x^6 \, + \,4x^3$

δηλαδή(αφού χ = 1) :

$2 \cdot 1f ^ \prime (1)\, + \,f(1)\, + 1f ^ \prime (1) \cdot 3 \cdot 1\, = \,7\, + \,4 \Leftrightarrow f ^ \prime (1)\, = \,2$
,
διότι η δοσμένη σχέση για x= 1 δίνει f(1) = 1

ΣΧΟΛΙΟ

Ενας μαθητής σε διαγώνισμα έγραψε :

Αν η f ήταν παραγωγίσιμη στο ΙR , θα ίσχυε :

$2xf^ \prime (x^2 )\, + \,f(x^3 )\, + xf ^ \prime (x^3 ) \cdot 3x^2 \, = \,7x^6 \, + \,4x^3$

Ο τύπος όμως αυτός ισχύει και όταν η f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο 1. Επομένως :

$2 \cdot 1f ^ \prime (1)\, + \,f(1)\, + 1f ^ \prime (1) \cdot 3 \cdot 1\, = \,7\, + \,4 \Leftrightarrow f ^ \prime (1)\, = \,2$
,
διότι η δοσμένη σχέση για x= 1 δίνει f(1) = 1

Έχουν και οι πιστιρικάδες τα ωραία τους και μερικές φορές μας ..εμψυχώνουν !

Α! Αν κάποιος έχει γράψει τη λύση όλης της άσκησης, ας μας τη στείλει για το φάκελο.

Μπάμπης

Αξίζει να το διαβάσετε :

Ξέρω ότι μερικοί συνάδελφοι θα αναρωτηθούν (και καλά θα κάνουν): άραγε να υπάρχει τέτοια συνάρτηση που έδωσε ο Στεργίου , ή η άσκηση είναι αντιφατική και αν τη βάλω σε κανα διαγώνισμα θα μου πει το ξεφτέρι της τάξης ότι '' Κύριε , συμβαίνουν περίεεργα πράγματα και η άσκηση δεν είναι σωστή'' ; Λοιπόν , μια συνάρτηση όπως αυτή της εκφώνσης είναι η f(x) = x^2

.
Μπορείτε λοιπόν να την βάλετε άφοβα σε κάποιο επαναληπτικό διαγώνισμα το Μάρτη - Απρίλη

, χωρίς το φόβο να πάει κάτι στραβά !
Μερικοί φίλοι του κλαμπ - μη λέμε ονόματα - που ίσως το Μάη να είναι στην ΚΕΓΕ (τους το εύχομαι!), ας το προσέξουν ιδιαίτερα αυτό το σημείο. Ξέρω ότι το ξέρουν , αλλά καμιά φορά μέσα στην πίεση του χρόνου , μπορεί και να ξεφύγει , ιδιαίτερα αν την άσκηση τη δώσει καποιος που την πήρε από κάποιο ξένο βιβλίο και θεώρησε αυτόματα ότι η άσκηση είναι μη αντιφατική.

Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Re: Παράγωγος - Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση