Πιθανότητα με συνδυαστική

Plutarch · #1

Εχουμε 5 γυναίκες και 10 άνδρες και τους τοποθετούμε σε σειρά. Ποια η πιθανότητα μία τουλάχιστον γυναίκα να βρίσκεται δίπλα σε άλλη.

styt_geia · #2

Λανθασμένη λύση αποσύρεται

#3

Μετασχηματίζουμε το πρόβλημα ως εξής: Έχουμε 11 κουτιά στην σειρά, με κοινό ενδιάμεσο τοίχωμα (άρα 10 ενδιάμεσα χωρίσματα) και 5 όμοιες σφαίρες. Τα 10 κοινά ενδιάμεσα τοιχώματα είναι οι άνδρες και οι 5 όμοιες σφαίρες είναι οι γυναίκες. Τοποθετώ τις 5 σφαίρες στα 11 κουτιά. Αν σε κάποιο κουτί μπουν 2 ή περισσότερες σφαίρες θα προκύψουν γειτνιάζουσες γυναίκες. Έστω Χ το ενδεχόμενο να υπάρχουν τουλάχιστον 2 γυναίκες δίπλα-δίπλα. Τότε Χ είναι ισοδύναμο με το να μπουν 2 τουλάχιστον σφαίρες σε ένα κάποιο κουτί. Προφανώς Χ’ είναι το ενδεχόμενο σε κάθε κουτί να έχουμε το πολύ 1 σφαίρα. Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα $\displaystyle{P\left( {X'} \right)}$ .

Ολικοί τρόποι $\displaystyle{{N_{tot}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}$ (από τις 15 θέσεις επιλέγω 5 και βάζω σφαίρα, στις υπόλοιπες βάζω χώρισμα)

Ευνοϊκοί τρόποι του $\displaystyle{X':{N_E} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}$ (από τα 11 κουτιά επιλέγω 5 και βάζω στο καθένα μία σφαίρα)

Τότε $\displaystyle{P\left( {X'} \right) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}} \Rightarrow \boxed{P\left( X \right) = 1 - \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}} = .. = 1 - \frac{{2}}{{13 }} = \frac{{11}}{{13 }}}}$ .

#4

Μια δεύτερη λύση που προήλθε με την βοήθεια του Αχιλλέα Αchilleas.

Έστω Χ’ το ενδεχόμενο να μην γειτνιάζουν γυναίκες μεταξύ τους. Εξετάζουμε το πλήθος των τρόπων που μπορεί να γίνει αυτό.
Οι 10 άνδρες μπαίνουν σε μια σειρά με 10! τρόπους. Υπάρχουν 11 θέσεις που μπορούμε να τοποθετήσουμε μία γυναίκα (πριν, μετά και ενδιάμεσα). Θεωρούμε τα άτομα διακριτά, άρα οι γυναίκες τοποθετούνται με $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right) \cdot 5!}$ τρόπους.

Επομένως $\displaystyle{N\left( {X'} \right) = 10! \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right) \cdot 5!}$ και (προφανώς) $\displaystyle{{N_{tot}} = 15!}$ .

Τελικά $\displaystyle{P\left( {X'} \right) = \frac{{10! \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right) \cdot 5!}}{{15!}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15} \\ 5 \\ \end{array} } \right)}}}$ .. και η συνέχεια ίδια.

Πιθανότητα με συνδυαστική

Πιθανότητα με συνδυαστική

Re: Πιθανότητα με συνδιαστική

Re: Πιθανότητα με συνδιαστική

Re: Πιθανότητα με συνδιαστική

Μέλη σε σύνδεση