Να βρεθεί το όριο

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με $\displaystyle{ f\left( R \right) \subseteq \left( { - \infty ,0} \right) }$

Να βρεθεί το όριο : $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{f\left( x \right)}} {x} + \frac{{x^3 }} {{f\left( x \right)}}} \right) }$

Στάθης Κούτρας

mathxl · #2

Είναι $\displaystyle{f\left( x \right) < 0}$ για κάθε πραγματικό
Έστω ότι για χ κοντά στο +οο ισχύει
$\displaystyle{\frac{{f\left( x \right)}}{x} + \frac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}} \le - 2x \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right) + {x^4}}}{{xf\left( x \right)}} \le - 2x \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + {x^4} + 2{x^2}f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\left[ {f\left( x \right) + {x^2}} \right] \ge 0}$ αληθές (ο κυρ Αντώνης θα με μάλωνε ..."βάλε μόνο αρκεί")

Επειδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2x} \right) = - \infty }$
είναι και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x} + \frac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}}} \right) = - \infty }$

chris · #3

Για

έχουμε:
$\displaystyle -\left(\frac{f(x)}{x}+\frac{x^3}{f(x)} \right)\stackrel{-\frac{f(x)}{x}=h(x)}=h(x)+x^2\cdot \frac{1}{h(x)}\stackrel{h(x)>0}\geq 2\sqrt{x^2}=2x\Rightarrow \frac{f(x)}{x}+\frac{x^3}{f(x)}\leq -2x$

Είναι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(-2x \right)=-\infty$

άρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(\frac{f(x)}{x}+\frac{x^3}{f(x)} \right)=-\infty$

Βασίλη με πέρασες αλλά δεν χρειάστηκα ισοδυναμίες!!!

Α.Κυριακόπουλος · #4

chris έγραψε: Βασίλη με πέρασες αλλά δεν χρειάστηκα ισοδυναμίες!!!

Ούτε ο Βασίλης τις χρειάζεται και το ξέρει!!!

Να βρεθεί το όριο

Να βρεθεί το όριο

Re: Να βρεθεί το όριο

Re: Να βρεθεί το όριο

Re: Να βρεθεί το όριο

Μέλη σε σύνδεση