Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

#1

καλημέρα ...

...
--------------------------
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ για την οποία ισχύει: $f^3(x)+f(x)+1=x ,\forall x \in \mathbb R$
a)Να δείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα
b) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση $f^{-1}$
c)Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \tau\eta s \ \ f^{-1}$

d) Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{\eta\mu x}{f^{-1}(x)}}$

ZITAVITA · #2

α)Έστω $\displaystyle{ x_1 ,x_2 \in R }$ με $\displaystyle{ \begin{array}{l} f(x_1 ) > f(x_2 ) \Rightarrow f^3 (x_1 ) > f^3 (x_2 ) \\ f(x_1 ) + f^3 (x_1 ) > f(x_2 ) + f^3 (x_2 ) \Rightarrow f(x_1 ) + f^3 (x_1 ) + 1 > f(x_2 ) + f^3 (x_2 ) + 1 \Rightarrow x_1 > x_2 \\ \end{array} }$ .Άρα f γν.αύξουσα

β)Επομένως η f 1-1 δηλαδή υπάρχει η αντίστροφη με $\displaystyle{ x \to f^{ - 1} (x) }$ στην αρχική σχέση γίνεται
$\displaystyle{ \left[ {f(f^{ - 1} (x))} \right]^3 + f(f^{ - 1} (x)) + 1 = f^{ - 1} (x) \Rightarrow f^{ - 1} (x) = x^3 + x + 1 }$

γ)
Έχω $\displaystyle{ f^3 (x) + f(x) + 1 = f(x)\left[ {f^2 (x) + 1} \right] + 1 }$
Επειδή $\displaystyle{ f^2 (x) + 1 > 0,\forall x \in R }$ υπάρχει ένας αριθμός k>0 κοντά στο άπειρο.
άρα $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f^3 (x) + f(x) + 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \cdot k = - \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty }$
Όμοια για $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$
Άρα και $\displaystyle{ f^{ - 1} (x):R \to R }$

δ)'Εχω
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\eta \mu x}}{{f^{ - 1} (x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\eta \mu x}}{{x^3 + x + 1}} = 0 }$ αφού η $\displaystyle{ \eta \mu x }$ είναι φραγμένη συνάρτηση.

chris · #3

Καταρχήν για να βάλεις όπου χ το $f^{-1}$ πρέπει να έχεις βρεί το σύνολο τιμών της

,δηλαδή το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ αλλιώς σε ποιό διάστημα βρίσκεις οτι ο τύπος της $f^{-1}$ είναι αυτός?

Για το πρώτο ερώτημα:
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=x^3+x+1

με

άρα

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Για κάθε $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με
$\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f^3(x_1)+f(x_1)+1<f^3(x_2)+f(x_2)+1\Rightarrow h(f(x_1))<h(f(x_2))\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
άρα

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

Για το σύνολο τιμών:
Για τυχαίο $y \in \mathbb{R}$ θέτω
$\displaystyle y^3+y+1=x\Leftrightarrow y^3+y+1=f^3(x)+f(x)+1\Leftrightarrow h(y)=h(f(x))\Leftrightarrow f(x)=y$ κτλ..
Έπειτα αφού βρήκαμε το σύνολο τιμών βρίσκουμε τον τύπο της $f^{-1}$ .

ΥΓ
Με την ίδια εκφώνηση μπορούμε ακόμα να δείξουμε οτι η f είναι συνεχής,παραγωγίσιμη και να βρούμε και το ολοκλήρωμα της

απο 1 έως 3.

dennys · #4

αγαπητέ κ. chris
Θα παρακαλούσα να γράφατε την λύση κανονικά χωρίς κλπ . τι ειναι αυτό τρόπος λύσης???
Αν ξερετε την λύση γράψτε την κανονικά. αλλιώς μην γράφετε τίποτα. Εμάς η συντονιστική μας κόβει και την ωραία ασκηση πού εδωσα προχθές την εκοψε, e^f(x)+f ' (x)=x+1/x ποιά η f(x) ?? την εσβησε αμέσως λόγω latex

φιλικά

#5

Φίλε dennys συγνώμη αλλά πολύ καλά έκανε η συντονιστική επιτροπή και σας την έκοψε γιατί για πολλοστή φορά γράφατε
όπως να'ναι χωρίς να γίνεται προσπάθεια συμμόρφωσης.
Πάντως η άσκηση μου άρεσε και την έδωσα--->εδώ

Υ.Γ: Έδω εγώ που δεν είμαι καθόλου καλός φίλος με τον Η/Υ κι έμαθα.Υπάρχουν πολύ κατατοπιστικές οδηγίες για να μάθετε να γράφετε υποφερτά φίλτατε Dennys.Kαλό βράδυ!

chris · #6

Καλησπέρα dennys,
Δεν καταλαβαίνω σε ποιο σημείο είναι η ένστασή σου?Η άσκηση έχει λύθει και αν υπάρχει κάποιο σημείο που δεν κατάλαβες τι κάνουμε πολύ ευχαρίστως να το εξηγήσω εγώ ή κάποιος άλλος...ωστόσο εγώ απλώς διόρθωσα αυτά που θεώρησα λάθος στη λύση του zitavita και τα άλλα τα άφησα ως έχουν.
Μάλιστα στον προσδιορισμό του συνόλου τιμών και της μονοτονίας στα οποία και απάντησα δεν υπάρχει κάτι άλλο να συμπληρώσω.
Όσο για το τι είδους δημοσιεύσεις κάνεις εσύ και στις διαγράφουν οι συντονιστές πρώτον δεν το γνωρίζω και δεύτερον δεν είμαι συντονιστής.

Φιλικά

ΥΓ:Φωτεινή ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια στο pm

petros r · #7

Χρήστο : για να θέσω όπου x την $f^{-1}$ με ενδιαφέρει το σύνολο τιμών της ίδιας, δηλαδή το πεδίο ορισμού της f. (Τώρα για να βρώ τον τύπο της φυσικά και πρέπει να βρώ το σύνολο τιμών της f ). Επίσης στην συγκεκριμένη άσκηση έχουμε οτι x ανήκει σε όλο το σύνολο το πραγματικών. άρα εφόσον αντιστρέφεται μπορώ κατευθείαν να θέσω όπου χ την $f^{-1}$
Dennys αν θές να βρείς οδηγείες για latex δές εδώ
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=102567

chris · #8

Πέτρο κάνεις λάθος αν δεν δίνεται το σύνολο τιμών της

(δηλαδή το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ δεν έχω το δικαίωμα να θέσω όπου

το $f^{-1}$ διότι δεν ξέρω για ποια

το έχω αποδείξει διότι για να βρεις μια συνάρτηση εκτός του τύπου θέλεις και το πεδίο ορισμού που όμως δεν θα ξέρεις!!!
Ας μας διαφωτίσει κάποιος μαθηματικός με παράδειγμα για να καταλάβεις τι εννοώ γιατί το ακούω κάθε μέρα!

Φιλικά

ΥΓ:Σε παραπέμπω και σε βιβλιογραφία...δες στα βιβλία του κ.Στεργίου για παραδείγμα τι κάνουμε για να βρούμε αντίστφοφη..Το λέει ξεκάθαρα οτι χρειαζόμαστε το σύνολο τιμών της

και μάλιστα αν δεν έχει πρηγηθεί ερώτημα για το σύνολο τιμών το βρίσκει κίολας πριν θέσει όπου χ το $f^{-1}$ .

petros r · #9

Χρήστο δεν κατάλαβες. Το σύνολο τιμών της f το βρίσκω για να βρώ το πεδίο οίσμού της αντίστροφης. Τώρα όταν θέτω όπου χ την $f^{-1}$ με ενδιαφέρει το φάσμα των αριθμών της $f^{-1}$ . Μάλιστα σου είπα πως στην περίπτωση μας το χ ανήκει σε όλο το σύνολο των πραγματικών πράγμα που σημαίνει ότι διαπερ΄νά την $f^{-1}$ (η οποιά αποδείξαμε σε προηγούμενα ερωτήματα οτι ορίζεται) Αυτο που λες ισχύει σε περίπτωση που δέν ξέρω αν ορίζεται αντίστροφη. Βέβαια δεν έχω δικαίωμα να θέσω όπου χ το $f^{-1}$ αν δεν ξέρω ότι η f είναι αντιστρέψιμη. Εδώ το ξέρω!!!!!

petros r · #10

Δες και ένα απλούστατο παράδειγμα. έχουμε f(x)=lnx x>0 Βρές την αντίστροφη. Με αυτό που λές θα λέγαμε πως το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Εμείς έχουμε χ>0. Άρα δεν μπορούμε να θέσουμε όπου x το $f^{-1}$ γιατί το (0,+00) είναι υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών . Έλα όμως που μπορούμε γιατί ακριβώς αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το φάσμα των αριθμών της $f^{-1}$ που στην περίπτωσή μας ειναι το (0, +00). Έτσι έχουμε x>0 και ΣΑΦΩΣ μπορούμε να θέσουμε όπου x το $f^{-1}$ και εν κατακλείδι θα έχουμε $f^{-1}(x)=e^{x}$ όπου χ ανήκει στο σύνολο των πραγματικών.

Υ.Γ : Ναι στη βιβλιογραφία δεν μπορώ να καταλάβω που αντίκειται αυτό που λέει με αυτά που σε είπα. Η χρησιμότητα του συνόλου τμών της f είναι για το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Δες προσεχτηκά ξανά αυτά που έγραψα και επιπλέον το παράδειγμα.

petros r · #11

Επίσης μια πρόσθεση θέλω να κάνω επειδή δεν αναφέρθηκε πάνω πως βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. Η διαδικασία έχει ως εξής. Έστω συνάρτηση $g(x)=x^{3}+x+1$ . Θέτουμε όπου x το f(x) και έχουμε $g(f(x))=f^{3}(x)+f(x)+1=x$ Επομένως $f(x)=g^{-1}(x)$ Όμως η g(x) έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Άρα το σύνολο τιμών της f είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Και έτσι εφόσον έχουμε βρεί τον τύπο της αντίσρτοφης θέτοντας όπου x το $f^{-1}(x)$ γράφουμε πως ο τύπος εκείνος ισχύει για όλα τα χ ανήκουν στο πραγματικούς. (το σύνολο τιμών μπορούμε να το βρούμε πριν θέσουμε. Μηδαμινή σημασία, εφόσον ξέρουμε οτι αντιστρέφεται)

Υ.Γ Οχι λάθος στο πεδίο ορισμού της αντίστροφης σωστός είναι ο τρόπος που το έγραψες απλώς γίνεται και έτσι όπως έγραψα μόλις τώρα

#12

Ας "πειράξω" λίγο την εκφώνηση της Φωτεινής προτείνοντας την άσκηση:

Φωτεινή έγραψε:καλημέρα ... ...
--------------------------
Έστω η συνάρτηση $f:{\color{red} [\frac{3}{4},+\infty)}\to \mathbb R$ για την οποία ισχύει:

$f^{\color{red}2 }(x)+f(x)+1=x$ , για κάθε ${\color{red} x\in [\frac{3}{4},+\infty)}$

a).......................

b) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση $f^{-1}$

c)Να βρείτε το σύνολο τιμών της $f \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \tau\eta s \ \ f^{-1}$

chris · #13

Χμμμ τα δεδομένα διαφοροποιούνται...

Καταρχήν για κάθε $x_1,x_2 \in [\frac{3}{4},+\infty)$ με
$\displaystyle f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f^2(x_1)=f^2(x_2)\Rightarrow f^2(x_1)+f(x_1)+1=f^2(x_2)+f(x_2)+1\Rightarrow x_1=x_2$
επομένως

1-1 άρα αντιστρέψιμη.

Ακολουθώντας τον ισχυρισμό του Πέτρου θέτουμε όπου

το $f^{-1}(x)$ και βρίσκουμε:
$\displaystyle f^{-1}(x)=x^2+x+1,x \in \left[\frac{3}{4},+\infty \right)$

Ωστόσο γνωρίζουμε οτι το σύνολο τιμών της

είναι το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ οπότε αφού έχουμε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ συμπεραίνουμε οτι αυτό είναι και το σύνολο τιμών της

.Χμμμ κάτι μοιάζει να μην πάει καλά όμως αφού η αρχική για

το $\frac{3}{4}$ δίνει:
$\displaystyle f^2\left(\frac{3}{4} \right)+f\left(\frac{3}{4} \right)+1=\frac{3}{4}\Rightarrow \left[f\left(\frac{3}{4} \right)+\frac{1}{2} \right]^2=0\Rightarrow f\left(\frac{3}{4} \right)= {\color{red} -\frac{1}{2}}???$
το οποίο δεν ανήκει στο σύνολο στο σύνολο τιμών της

??Προφανώς αυτό είναι αδύνατο οπότε στα παραπάνω κάπου υπάρχει λογικό λάθος.

Το ερώτημα που τίθεται λοιπόν είναι μήπως πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της

πρώτα?
Δηλαδή με την παραπάνω κίνηση μας να θέσουμε όπου

το $f^{-1}$ για τα

που ανήκουν στο D_f

είναι σαν να ταυτίζουμε αυτόματα το πεδίο ορισμού της

και της $f^{-1}$ κατι που φυσικά δεν συμβαίνει στην πλειονότητα των συναρτήσεων!

Φυσικά αυτή είναι η άποψη μου και περιμένω την άποψη ενός πιο ειδικού όπως του κ.Κώστα που πρότεινε την άσκηση!Δεν είμαι πρόθυμος να ταλαιπωρήσω άλλο το

με αυτή τη συνομιλία που δεν καταλήγει πουθενά αν δεν αναμειχθει κάποος γνώστης.

Φιλικά

petros r · #14

Οχι Χρήστο!!!!!! Δεν μπορώ να κάτσω να ξαναγράφω για τρίτη φορά σε αυτό που έκανα ένσταση. (Όποιος θέλει κοιτάει πιο πάνω). Καταρχήν δέν μπορώ να καταλάβω γιατί λές πως αυτό που ισχυρίστηκα είναι πως τα x θα ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f . Αυτό που σου είπα είναι πως για να θέσεις όπου x την $f^{-1}$ . Αυτό που σε ενδιαφέρει είναι το ΄σύνολο τιμών της αντίστροφης, δηλαδή το πεδίο ορισμού της f. Να στο πω διαφορετικά.Φεύγει το x και την θέση του την παίρνει το $f^{-1}$ . Αυτό το $f^{-1}$ πρέπει να είναι υποσύνολο ή ίσο σύνολο με το διάστημα στο οποίο ανήκει το x. ΤΩΡΑ!!!!!!!!!
Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης το βρίσκουμε όπως είπες απο το σύνολο τιμών της f. Με αυτό που έγραψες λές πως ισχυρίστηκα ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το πεδίο ορισμού της f. Λυπάμαι πάλι πρέπει να ξαναδείς τι έχω γράψει (αναλυτικότατα) πιο πάνω. Όταν πολυ κάλα έθεσες εδώ όπου x το $f^{-1}$ και βρήκες τον τύπο, εκεί δεν έπρεπε να ταυτίσεις τα x της $f^{-1}$ με τα x της f. (πράγμα που έκανες και μάλιστα λέγοντας ότι αυτό είπα να κάνεις)

Υ.Γ Δεν χρειάζεται πολλά λόγια. Νομίζω το παράδειγμα αυτό που έδωσα με τις lnx και $e^{x}$ τα λέει όλα. Φαίνεται εκεί για ποιο λόγο έκανα μια παρατήρηση (η οποία δυστυχώς δεν έγινε ακόμα κατανοητή και την οποία την έχω επαληθεύσει ρωτώντας πολλούς) Αυτό! Όλη η συζήτηση αυτή ήταν πλεονασμός. Το πόστ με το παράδειγμα που έδωσα αρκεί!!!!!!
ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ!

chris · #15

petros r έγραψε: Όταν πολυ κάλα έθεσες εδώ όπου x το $f^{-1}$ και βρήκες τον τύπο, εκεί δεν έπρεπε να ταυτίσεις τα x της $f^{-1}$ με τα x της f. (πράγμα που έκανες και μάλιστα λέγοντας ότι αυτό είπα να κάνεις)

Ωραία βρήκα τον τύπο της $f^{-1}$ αλλά για ποια

τον βρήκα?Γιατί εκτός απο τύπο για τον προσδιορισμό μιας συνάρτησης χρειαζόμαστε και πεδίο ορισμού.
Ο τύπος της $f^{-1}$ είναι όντως αυτός...για ποια

όμως(μήπως για αυτά που αποτελούν το συνόλου τιμών της f το οποίο δεν ξέρουμε)?

Δώσε μου το διάστημα στο οποίο ανήκουν τα χ της $f^{-1}$ που βρήκαμε για να πω ναι όντως προσδιορίσαμε την $f^{-1}$ .

petros r · #16

Καλά έκανες και έκανες quote σε κάτι που έγραψα το οποίο δεν έπρεπε να γράψω.. Δεν ξέρουμε αν το $f^{-1}$ είναι υποσύνολο ή ίσο σύνολο του x για αυτό πρέπει να το ελέξουμε πρώτα. Λοιπόν γράφω πώς βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f στο επόμενο πόστ! (για να δούμε αν πράγματι εδώ μπορούμε να θέσουμε όπου x το $f^{-1}$

petros r · #17

Λοιπόν έστω $g(x)=x^{2}+x+1$ όπου χ ανήκει στο σύνολο των πραγματικών . Έχουμε g(f(x))=x

με χ ανήκει στο [ $\frac{3}{4}$ , +00) Δηλαδή $g^{-1}(x)=f(x)$ με χ ανήκει στο [ $\frac{3}{4}$ , +00) . Το σύνολο τιμών της $g^{-1}$ για αυτά τα x είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών καθώς η g έχει ελάχιστη τιμή το $\frac{3}{4}$ και τα όριά της καθώς το χ τείνει στο -00 και +00 είναι +00. Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. ΧΑΧΑΧΑ. Μπορούμε τελικά να θέσουμε όπου x το $f^{-1}$ γιατι το φάσμα των αριθμών της $f^{-1}$ είναι το [ $\frac{3}{4}$ , +00) Και αφού βρούμε τον τύπο της αντίστροφης (τον βρήκε ο Χρήστος) λέμε οτι αυτο ισχύει για όλα τα χ ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών!

petros r · #18

Καλά τώρα όσο αφορά το σύνολο τιμών της $f^{-1}$ είναι το πεδίο ορισμού της f δηλαδή το [ $\frac{3}{4}$ , +00).

#19

petros r έγραψε:Λοιπόν έστω $g(x)=x^{2}+x+1$ όπου χ ανήκει στο σύνολο των πραγματικών . Έχουμε με χ ανήκει στο [ $\frac{3}{4}$ , +00) Δηλαδή $g^{-1}(x)=f(x)$ με χ ανήκει στο [ $\frac{3}{4}$ , +00) . Το σύνολο τιμών της $g^{-1}$ για αυτά τα x είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών καθώς η g έχει ελάχιστη τιμή το $\frac{3}{4}$ και τα όριά της καθώς το χ τείνει στο -00 και +00 είναι +00. Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ας μου επιτραπεί να παρατηρήσω:

1. Η $g(x)=x^{2}+x+1$ όπου χ ανήκει στο σύνολο των πραγματικών, δεν είναι 1-1.

2. Αν το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f, τότε το -1 δεν ανήκει σε αυτό!

Πραγματικά, από την f^2(x)+f(x)+1=x

, αν f (x) = 0, τότε x = 1, και αν f (x) = -1 τότε πάλι x = 1.

Άρα το συνολο τιμών της f δεν όλο το R!

Τι συμβαίνει λοιπόν;

petros r · #20

Βλέποντας την σωστή παρατήρηση τοθ rek2 κοιτούσα επι πολλή ώρα αυτό που έγραψα και δεν μπορούσα να βρώ λάθος. Το βρήκα! είχα φτάσει στο σημείο όπου $g^{-1}(x)=f(x)$ (1)με χ ανήκει στο [ $\frac{3}{4}$ ,+00). Είχα επίσης αναφέρει ότι η ελάχιστη τιμή της g είναι η $\frac{3}{4}$ για $x=\frac{-1}{2}$ . Άρα η ελάχιστη τιμή της $g^{-1}$ είναι το $\frac{-1}{2}$ για $x=\frac{3}{4}$ Από την (1) συμπεραίνουμε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι το $\frac{-1}{2}$ . Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το [ $\frac{-1}{2}$ ,+00).

Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Re: Αντίστροφη-Σύνολο Τιμών

Μέλη σε σύνδεση