Πολικός Αστέρας

KARKAR · #1

Στα άκρα μιας χορδής

του κύκλου ( O , R )

, φέρω τις εφαπτόμενες , οι οποίες τέμνονται στο

Φέρω τμήμα $AC\perp BP$ , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο

. Φέρω επίσης : $SD\perp AB , SE\perp AP$

1) Να δειχθεί ότι : $SA{\cdot}SD = SB{\cdot}SE$

2) Να δειχθεί ότι : $SD^{2} = SC{\cdot}SE$

(το 2ο ερώτημα προσετέθη , αφού είχε ήδη απαντηθεί από Φωτεινή , Στάθη και Μιχάλη το 1ο)

#2

$\displaystyle\hat{SAE}=\hat{SBD} \Longrightarrow \sin \hat{SAE}=\sin \hat{SBD}\Longrightarrow \frac{SE}{SA}=\frac{SD}{SB}\\ \Longrightarrow SE\cdot SB = SA \cdot SD$

προσθήκη : οι γωνίες είναι ίσες λόγω χορδής και εφαπτομένης

Ιστοσελίδα · #3

$S\widehat BA = S\widehat AE = \varphi$ από γωνία χορδής και εφαπτομένης. Τα ορθογώνια τρίγωνα $SBD,\,SEA$ είναι όμοια, άρα έπεται το ζητούμενο.

: Πολικός-Αστέρας.jpg (39.83 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

#4

Τα τρίγωνα SEA και SDB είναι όμοια, διότι είναι ορθογώνια και $\displaystyle{ \widehat{DBS} = \widehat{SAE} }$ (εγγεγραμμένη και υπό χορδής και εφαπτομένης αντίστοιχα) οπότε από την ομοιότητα έχουμε: $\displaystyle{ \frac{{SB}} {{SA}} = \frac{{SD}} {{SE}} \Rightarrow SB \cdot SE = SA \cdot SD }$

Καλημέρα
Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Ιστοσελίδα · #5

Για το 2ο:

Τα τρίγωνα $SDE,\,SCD$ είναι όμοια γιατί $S\widehat DE = S\widehat CD = \varphi$ (λόγω των εγγράψιμων τετραπλεύρων $SEAD,\,SCBD$ ) και $S\widehat DC = S\widehat ED$ (λόγω των εγγράψιμων τετραπλεύρων και των προσκείμενων στη βάση γωνιών του ισοσκελούς τριγώνου PBA

). Από το λόγο ομοιότητας έπεται το ζητούμενο.

Πολικός Αστέρας

Πολικός Αστέρας

Re: Πολικός Αστέρας

Re: Πολικός Αστέρας

Re: Πολικός Αστέρας

Re: Πολικός Αστέρας

Μέλη σε σύνδεση