Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

#1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R }$ με $\displaystyle{ f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right) }$ και $\displaystyle{ f\left( 1 \right) = 2 }$ για την οποία ισχύει επί πλέον η σχέση:

$\displaystyle{ x f\left( x \right) = 2 \int\limits_0^x {\left( {\int\limits_0^1 {f\left( t \right) f\left( u \right)du} } \right)dt} ,\forall x \geqslant 0 }$

i) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f

ii) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{ g:\left[ {0, + \infty } \right) \to R }$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{ g\left( {g\left( x \right)} \right) = 2x^2 ,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right) }$ .

Να δείξετε ότι:

a) η g είναι «1-1»

b) η g έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{ \left[ {0, + \infty } \right) }$ και να εκφράσετε τον τύπο της $\displaystyle{ g^{ - 1} }$ συναρτήσει του τύπου της g

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

petros r · #2

Για τον τύπο της f. Έστω η F(x)= $\int\limits_0^x$ f(t) dt. Eίναι F(x)>0 για κάθε x>0.
Απο την σχέση που μας δίνεται έχουμε xf(x)=2 $\int\limits_0^1$ f(t) dt $\int\limits_0^x$ f(t) dt. Για x=1 έχουμε ότι $\int\limits_0^1$ f(t) dt=1 επειδή F(x)>0 Άρα έχουμε x F'(x)-2F(x)=0 δηλαδή
( $\frac{F(x)}{x^{2}}}$ )'=0 Άρα $F(x)=cx^{2}$ και για χ=1 c=1. Άρα παραγωγίζοντας την τελευταία έχουμε f(x)=2x για κάθε $x\ge{0}$

rexes13 · #3

Βγάζουμε το f(t) εκτός γιατί έχει διαφορετικό διαφορικό και έχουμε : $x f(x) = 2 \int_{0}^{x}{f(t)}( \int_{0}^{1}{f(u)du}) dt$

Παραγωγίζοντας έχουμε : f(x) + x f'(x) = 2 f(x)

Έπειτα με πράξεις καταλήγουμε εύκολα στη σχέση xf'(x)-f(x)=0

, από την οποία προκύπτει $f'(x) - \frac {1}{x}f(x)=0$
Με πολλαπλασιαστή Euler καταλήγουμε στη σχέση $({\frac{1}{x} f(x)})'= 0$ και από ισότητα παραγώγων έχουμε
f(x) = c x

.Για

έχουμε

οπότε τελικά η σχέση δίνει c=2

άρα η

Άμα λύσεις ως προς f(χ) τη δοσμένη σχέση από το πρώτο μέλος, τότε βγαίνει πως η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για θετικά χ, διότι το β΄μέλος είναι παραγωγίσιμη.

Ευχαριστώ τον κ.Μπάμπη Στεργίου για την ανωτέρω υπόδειξη!

petros r · #4

Για το ii. Έστω $x_{1}$ , $x_{2}$ με $x_{1}\ge{0}$ και $x_{2}\ge{0}$ , με
$g(x_{1})$ = $g(x_{2})$ . Άρα $g(g(x_{1}))$ = $g(g(x_{2}))$ . Άρα $2 x_{1}^{2}$ = $2x_{2}^{2}$ δηλαδή $x_{1}=x_{2}$ . Άρα η g είναι 1-1

petros r · #5

rexes13 έγραψε:Βγάζουμε το f(t) εκτός γιατί έχει διαφορετικό διαφορικό και έχουμε : $x f(x) = 2 \int_{0}^{x}{f(t)}( \int_{0}^{1}{f(u)du}) dt$

Παραγωγίζοντας έχουμε : Έπειτα με πράξεις καταλήγουμε εύκολα στη σχέση , από την οποία προκύπτει $f'(x) - \frac {1}{x}f(x)=0$
Με πολλαπλασιαστή Euler καταλήγουμε στη σχέση $({\frac{1}{x} f(x)})'= 0$ και από ισότητα παραγώγων έχουμε
.Για έχουμε οπότε τελικά η σχέση δίνει άρα η

Rexes δεν είναι σωστή η απάντηση επειδή δεν ξέρεις αν η f είναι παραγωγίσιμη!

rexes13 · #6

Rexes δεν είναι σωστή η απάντηση επειδή δεν ξέρεις αν η f είναι παραγωγίσιμη!

Ευχαριστώ για την υπόδειξη!

petros r · #7

Αν και βέβαια δες. Διαιρείς στην δοθείσα σχέση με χ (για χ>0) και εξηγείς ότι η F(x) είναι παραγωγίσιμη επειδή η f είναι συνεχής, η h(x)=x είναι παραγωγίσιμη. Άρα η f είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων. Μετά κάνεις αυτό που έκανες και η απάντηση γίνεται σωστή

petros r · #8

Λοιπόν έχουμε $g(g(x))=2x^{2}$ δηλαδή $g^{-1}(2x^{2})=g(x)$ . Όμως το σύνολο τιμών της $g^{-1}(2x^{2})$ είναι το [0,+00) (πεδίο ορισμού f). άρα το σύνολο τιμών της g είναι το [0,+00). Τώρα επειδή x ανήκει στο [0,+00) και σύνολο τιμών της $g^{-1}$ είναι το [0,+00) μπορώ να θέσω όπου x το $g^{-1}$ και έχω
$g(x)=2g^{-1}^{2}(x)$ για χ ανήκει στο [0,+00)

Y.Γ για την δικαιολόγιση του συνόλου τιμών της g μια αναλυτική εξήγηση είναι η εξής απλώς το φάσμα τιμών της $2x^{2}$ είναι ίδιο με του x, δηλαδή το x παίρνει όλες τις τιμές στο [0,+00). Το ίδιο και το $2x^{2}$ . Επομένως η $g^{-1}(2x^{2})$ παίρνει όλες τις τιμές που παίρνει η $g^{-1}(x)$ . Το σύνολο τιμών της $g^{-1}(x)$ είναι το [0,+00). Άρα το σύνολο τιμών της $g^{-1}(2x^{2})$ είναι το [0,+00) . Απο αυτό συμπεραίνουμε ότι το σύνολο τιμών της g είναι το [0,+00)
Η τελευταία τεχνική μου θυμίζει κάτι απο το παλιό παρελθόν

Chris μάλλον και εδώ θα το γεμίσουμε με ενστάσεις!

Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα σε ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση