Περιορισμοί

paulgai · #41

Με αφορμή τη συζήτηση έφτιαξα την εξής άσκηση.
Να λυθεί η εξίσωση:

$\sqrt{x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2\sqrt{a}x+a}=x+\sqrt{a}$ , $a\geq 0$

και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει ακριβώς 2 πραγματικές λύσεις.
Προσπαθήστε να λύστε την άσκηση με ισοδυναμίες και βρείτε τους απαραίτητους
περιορισμούς. Τι παρατηρείτε; (Αν θέλετε χρησιμοποιήστε και προγράμματα
π.χ. Mathematica). Λύστε την άσκηση χωρίς να λάβετε καθόλου υπόψη τους
περιορισμούς και υψώστε κατευθείαν στο τετράγωνο. Τι παρατηρείτε;
Η δεύτερη λύση είναι μαθηματικά σωστή ή όχι; Αν όχι, υπάρχει μαθηματικά
σωστή λύση με ισοδυναμίες και περιορισμούς;

Α.Κυριακόπουλος · #42

paulgai έγραψε:Με αφορμή τη συζήτηση έφτιαξα την εξής άσκηση.
Να λυθεί η εξίσωση:

$\sqrt{x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2\sqrt{a}x+a}=x+\sqrt{a}$ , $a\geq 0$

και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει ακριβώς 2 πραγματικές λύσεις.
Προσπαθήστε να λύστε την άσκηση με ισοδυναμίες και βρείτε τους απαραίτητους
περιορισμούς. Τι παρατηρείτε; (Αν θέλετε χρησιμοποιήστε και προγράμματα
π.χ. Mathematica). Λύστε την άσκηση χωρίς να λάβετε καθόλου υπόψη τους
περιορισμούς και υψώστε κατευθείαν στο τετράγωνο. Τι παρατηρείτε;
Η δεύτερη λύση είναι μαθηματικά σωστή ή όχι; Αν όχι, υπάρχει μαθηματικά
σωστή λύση με ισοδυναμίες και περιορισμούς;

Αγαπητέ paulgai. Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις με αυτά που γράφεις. Νομίζω ότι τα πράγματα είναι απλά. Τονίζω για μια ακόμα φορά:
Αν δεν γράψουμε πρώτα το σύνολο ορισμού της εξίσωσης, για ποια x θα ισχύουν οι σχέσεις που θα γράψουμε; Θα μιλάμε στον αέρα;
Τέλος πάντων, η λύση της άσκησης είναι η εξής:
ΛΥΣΗ. Ονομάζομαι (1) την δοσμένη εξίσωση. Το σύνολο ορισμό της εξίσωσης είναι:

$A = \left\{ {x \in R|{x^5} + 2{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2\sqrt a x + a \ge 0} \right\}.$
Για κάθε $x \in A$ , έχουμε:

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt a \ge 0 \\ {x^5} + 2{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2\sqrt a x + a = {x^2} + 2\sqrt a x + a \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt a \ge 0 (2)\\ (x = 0\eta x = - 1) \\ \end{array} \right.$
• H τιμή x=0 είναι δεκτή, γιατί πληροί τον περιορισμό (2) και ανήκει στο σύνολοA, για κάθε $a \ge 0$ (δοσμένο).
• H τιμή x=-1 είναι δεκτή αν, και μόνο αν ,πληροί τον περιορισμό (2) και ανήκει στο σύνολο A. Δηλαδή αν, και μόνο αν:

$\left\{ \begin{array}{l} - 1 + \sqrt a \ge 0 \\ - 1 + 2 - 1 + 1 - 2\sqrt a + a \ge 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt a \ge 1 \\ {\left( {\sqrt a - 1} \right)^2} \ge 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 1.$
$\rightarrow$ Άρα, οι ζητούμενες τιμές του α είναι $a \ge 1.$
Σχόλιο. Μην πέσει κανένα στην παγίδα και ισχυριστεί ότι το -1 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης (1), δηλαδή ρίζα με βαθμό πολλαπλότητας 2, γιατί η εξίσωση (1) δεν είναι ακεραία ( πολυωνυμική). Είναι άρρητη. Ο βαθμός πολλαπλότητας ρίζας έχει νόημα μόνο για τις ακέραιες εξισώσεις.

k-ser · #43

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Η Μαθηματική Λογική λέει ότι : «Μια έκφραση για να μπορεί να χαρακτηρισθεί ως αληθής ή ως ψευδής, πρέπει απαραιτήτως να έχει νόημα. Οι εκφράσεις που δεν έχουν νόημα , δεν χαρακτηρίζονται ούτε ως αληθείς ούτε ως ψευδείς ».

Αγαπητέ Αντώνη.
Ο τρόπος με τον οποίο ο Δημήτρης (dement) και ο Δημήτρης (Demetres) αντιμετωπίζουν το θέμα επίλυσης της εξίσωσης ήταν πρόταση δική μου σε προηγούμενο μήνυμά μου.
Επαναλαμβάνω αυτό που είχα γράψει, συμπληρώνοντας κάποια στοιχεία που προκύπτουν από την παραπάνω τοποθέτησή σου.
Κατ' αρχήν, έχω να λύσω το εξής πρόβλημα: Να λυθεί η εξίσωση f(x)=g(x)

.
Δεν λύνω το πρόβλημα: Να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=g(x)

έχει νόημα και κατόπιν να λυθεί.
Ή να το διατυπώσω διαφορετικά: Από τη διατύπωση του προβλήματος συμπεραίνω ότι αυτή η εξίσωση έχει νόημα. Εδώ μπορείς να μου πεις: Κάνεις λάθος! Όταν σου ζητείται να βρεις κάτι, δεδομένης μιας πρότασης Α, θα πρέπει κατ' αρχήν να εξετάζεις αν η πρόταση Α έχει νόημα ή όχι!
Δεν έχω πολλές γνώσεις Μαθηματικής λογικής και, ενδεχομένως, όντως να κάνω λάθος.

Προχωρώ παρακάτω και επαναλαμβάνω ότι θεωρώ δεδομένο ότι η εξίσωση f(x)=g(x)

έχει νόημα στο ΙR, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον χ ε IR για το οποίο έχουν νόημα οι f(x),g(x)

.

Για να λύσω την εξίσωση υποθέτω ότι υπάρχει ρίζα χ ε IR: Υπάρχει χ ε IR ώστε f(x)=g(x)

και οδηγούμε, με $\Rightarrow$ , ότι το χ είναι κάθε αριθμός ενός συνόλου Α.
Αν το Α είναι το κενό ή κάθε αριθμός χ του Α δεν κάνει αληθή ή "νόμιμη" την ισότητα f(x)=g(x)

τότε η εξίσωση θα είναι αδύνατη.
Αν κάποιος αριθμός χ του συνόλου Α κάνει αληθή και "νόμιμη" την ισότητα f(x)=g(x)

τότε η εξίσωση θα έχει λύση αυτόν τον αριθμό.
Θεωρώ ότι η παραπάνω διαδικασία μας εξασφαλίζει έναν αλάνθαστο και σύμφωνο με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής τρόπο επίλυσης μιας "νόμιμης" εξίσωσης.
Με τον όρο "νόμιμη" εννοώ την εξίσωση ή την ισότητα που έχει νόημα.

Αντώνη, το έγραψες πολύ σωστά: Η Μαθηματική λογική δεν συμφωνεί πάντα με την κοινή λογική.
Γνωρίζω επίσης, πολύ καλά, την αγωνία και τον αγώνα σου οι μαθηματικοί να έχουν στο οπλοστάσιό τους τη γνώση της Μαθηματικής λογικής και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου.
Η όλη συζήτηση που έγινε πάνω σε ένα θέμα απλής επίλυσης μιας εξίσωσης ή ανίσωσης
έχει να μας μάθει πολλά, έστω κι αν μας στεναχωρεί ή μας ξεβολεύει!

Οπωσδήποτε
θέλω να με διορθώσεις σε οτιδήποτε από τα παραπάνω κάνω λάθος, το οποίο, δεν το θέλω μα,
δεν μπορώ να κάνω διαφορετικά!

k-ser · #44

paulgai έγραψε:Με αφορμή τη συζήτηση έφτιαξα την εξής άσκηση.
Να λυθεί η εξίσωση:

$\sqrt{x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2\sqrt{a}x+a}=x+\sqrt{a}$ , $a\geq 0$

και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει ακριβώς 2 πραγματικές λύσεις.
Προσπαθήστε να λύστε την άσκηση με ισοδυναμίες και βρείτε τους απαραίτητους
περιορισμούς. Τι παρατηρείτε; (Αν θέλετε χρησιμοποιήστε και προγράμματα
π.χ. Mathematica). Λύστε την άσκηση χωρίς να λάβετε καθόλου υπόψη τους
περιορισμούς και υψώστε κατευθείαν στο τετράγωνο. Τι παρατηρείτε;
Η δεύτερη λύση είναι μαθηματικά σωστή ή όχι; Αν όχι, υπάρχει μαθηματικά
σωστή λύση με ισοδυναμίες και περιορισμούς;

Να λύσω την εξίσωση με τον δεύτερο τρόπο...
Υποθέτω ότι η εξίσωση έχει νόημα για κάποιο χ ε IR, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον χ ε IR ώστε η υπόριζη ποσότητα να είναι μη αρνητική.

Έστω χ ρίζα της εξίσωσης.
Η ισότητα
$\sqrt{x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2\sqrt{a}x+a}=x+\sqrt{a}$ , $a\geq 0$
είναι αληθής. Αυτή συνεπάγεται διαδοχικά τις ισότητες:
$x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2\sqrt{a}x+a=x^{2}+2\sqrt{a}x+a$ ,
$x^{5}+2x^{4}+x^{3}=0$
x=0

ή

Για

η εξίσωση δίνει την αληθή ισότητα: $\sqrt{a}=\sqrt{a}$ .
Για x=-1

η εξίσωση δίνει την ισότητα: $\sqrt{\left(\sqrt{a}-1 \right)^2}=\sqrt{a}-1$ . Αυτή είναι αληθής μόνον αν $a\geq1$ .

Άρα η εξίσωση έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες όταν $a\geq1$ .

#45

Δείτε πως μπλέκουν τα πράγματα αν παυω να ελεγχω
Αν για τις συναρτήσεις f, g : R-->R ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} \right) = 0}$ , να βρείτε τα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x)}$
(ή να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0}$
ΛΥΣΗ
Αν τα όρια δεν υπάρχουν δεν έχω να βρω τίποτα ( η άσκηση δεν στέκει)
Άρα τα όρια υπάρχουν ( αλλιώς τι θέλουν να δείξουμε) τότε .
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} \right) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f^2}\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {g^2}\left( x \right) = 0 \\ \end{array}}$

Άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0}$

Δυστυχώς αυτή την λύση την έχω δει και σε ένα βοηθητικό.

Αυτό που πρέπει να κάνουμε από το να διαφωνούμε να μπερδεύουμε και να δημιουργούμε λάθος εντυπώσεις στους μαθητές είναι να να ακολουθουμεε τα παρακάτω, όπως πολύ ορθά αναφέρει και ο Κώστας Μαλλιάκας και βεβαια πολυ αλλοι

Η γνώμη μου είναι ότι οι περιορισμοί πρέπει να αναφέρονται πριν την λύση της εξίσωσης αλλά δεν είναι ανάγκη να λύνονται κιόλας. απλώς στο τέλος να ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές αντικαθιστώντας στους περιορισμούς είτε στην εξίσωση. Μια μικρή διαφοροποίηση μου είναι ότι στην πορεία επίλυσης , αν απομονώσουμε ριζικό και χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο να βάζουμε νέους περιορισμούς να είναι και τα δύο μέλη της εξίσωσης μη αρνητικά ώστε η ενέργεια μας να είναι επιτρεπτή.

iolis · #46

Με αφορμή τις παραπάνω εξισώσεις αντιγράφω , όχι ακριβώς , από βιβλίο του Θ.Ν.Καζαντζή:Αν A(x),B(x)

πολυώνυμα του

τότε η εξίσωση $\sqrt {A\left( x \right)} = B\left( x \right)$ (1) είναι ισοδύναμη με το σύστημα $\left\{ {A\left( x \right) = {B^2}\left( x \right) \wedge B\left( x \right) \ge 0} \right\}$ γιατί η (1) είναι ισοδύναμη με το σύστημα $\left\{ {A\left( x \right) \ge 0 \wedge B\left( x \right) \ge 0 \wedge A\left( x \right) = {B^2}\left( x \right)} \right\}$ . Παρατηρούμε όμως ότι η πρώτη συνθήκη μπορεί να παραληφθεί , αφού είναι συνέπεια της τρίτης. Άρα η εξίσωσση (1) είναι ισοδύναμη με το σύστημα $\left\{ {A\left( x \right) = {B^2}\left( x \right) \wedge B\left( x \right) \ge 0} \right\}$ . Επομένως για την εξίσωση $\sqrt{x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2\sqrt{a}x+a}=x+\sqrt{a}$ , $a\geq 0$ πρέπει $x+\sqrt{a}\ge 0} \right\}$ τότε .... όπως έχει αναφερθεί στα προηγούμενα μηνύματα.Για να δείξει δε ότι υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες συμφέρουν οι περιορισμοί φέρνει ως παράδειγμα την εξίσωση $\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} = \sqrt 3$ όπου στην περίπτωση , ας πούμε των "συνεπαγωγών", θα πρέπει να επαληθεύσουμε τις τιμές $x = \pm \,\sqrt[8]{{\frac{4}{3}}}$ . Ο Euler και οι λοιπές δημοκρατικές δυνάμεις να βάλουν το χέρι τους και αν χρειαστεί και το πόδι τους. Αντίστοιχα παραδείγματα υπάρχουν και για τους περιορισμούς όπου βλαστημάς την ώρα και τη στιγμή.
Μετά από αυτά η γνώμη μου είναι πως εξαρτάται από το είδος της άσκησης ποια μέθοδο θα ακολουθήσουμε για τη λύση της. Δηλ. το αν θα βρούμε ακριβώς ή θα περιγράψουμε το σύνολο στο οποίο έχει νόημα η λύση της εξίσωσης ή ανίσωσης. Ας μην είμαστε "δογματικοί" όσο μπορεί αυτό να ειπωθεί στα μαθηματικά.

Α.Κυριακόπουλος · #47

k-ser έγραψε:Κατ' αρχήν, έχω να λύσω το εξής πρόβλημα: Να λυθεί η εξίσωση .
Δεν λύνω το πρόβλημα: Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει νόημα και κατόπιν να λυθεί.
Ή να το διατυπώσω διαφορετικά: Από τη διατύπωση του προβλήματος συμπεραίνω ότι αυτή η εξίσωση έχει νόημα. Εδώ μπορείς να μου πεις: Κάνεις λάθος! Όταν σου ζητείται να βρεις κάτι, δεδομένης μιας πρότασης Α, θα πρέπει κατ' αρχήν να εξετάζεις αν η πρόταση Α έχει νόημα ή όχι!
Δεν έχω πολλές γνώσεις Μαθηματικής λογικής και, ενδεχομένως, όντως να κάνω λάθος.

Προχωρώ παρακάτω και επαναλαμβάνω ότι θεωρώ δεδομένο ότι η εξίσωση έχει νόημα στο ΙR, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον χ ε IR για το οποίο έχουν νόημα οι .

Για να λύσω την εξίσωση υποθέτω ότι υπάρχει ρίζα χ ε IR: Υπάρχει χ ε IR ώστε και οδηγούμε, με $\Rightarrow$ , ότι το χ είναι κάθε αριθμός ενός συνόλου Α.
Αν το Α είναι το κενό ή κάθε αριθμός χ του Α δεν κάνει αληθή ή "νόμιμη" την ισότητα τότε η εξίσωση θα είναι αδύνατη.
Αν κάποιος αριθμός χ του συνόλου Α κάνει αληθή και "νόμιμη" την ισότητα τότε η εξίσωση θα έχει λύση αυτόν τον αριθμό.
Θεωρώ ότι η παραπάνω διαδικασία μας εξασφαλίζει έναν αλάνθαστο και σύμφωνο με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής τρόπο επίλυσης μιας "νόμιμης" εξίσωσης.
Με τον όρο "νόμιμη" εννοώ την εξίσωση ή την ισότητα που έχει νόημα.

Αντώνη, το έγραψες πολύ σωστά: Η Μαθηματική λογική δεν συμφωνεί πάντα με την κοινή λογική.

Αγαπητέ Κώστα .
Για μια εξίσωση δεν λέμε ότι έχει ή δεν έχει νόημα ή, όπως λες, είναι «νόμιμη» ή όχι. Μπορεί τα μέλη της(που είναι συναρτήσεις) να μην έχουν νόημα πραγματικού αριθμού για κάποιες τιμές του x. Μια εξίσωση λέμε ότι έχει λύσεις (μία ή περισσότερες) ή είναι αδύνατη. Ποτέ όμως ότι έχει ή δεν έχει νόημα( ίσως μια άλλη φορά να μιλήσουμε για τον ορισμό της εξίσωσης και της ανίσωσης, όχι τώρα).
Με αυτά που γράφεις, εκείνο που θέλεις να πεις είναι ότι θεωρείς το σύνολο ορισμού της εξίσωσης διάφορο του κενού συνόλου. Γιατί δεν το λες κατευθείαν και προσπαθείς να το περιγράψεις; (θυμήσου: Το μεγάλο, πες το μεγάλο. Το μικρό, πες το μικρό. Μην προσπαθείς να τα περιγράψεις, γιατί το μεγάλο θα το κάνεις μικρό και το μικρό μεγάλο ). Είναι φανερό ότι διαισθάνεσαι πως πρέπει να ξεκινήσουμε από το σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Πολύ σωστά. Από εκεί πρέπει να ξεκινήσουμε.
Βεβαίως όταν μας ζητείται να βρούμε κάτι, δεδομένης μιας υπόθεσης( και όχι μιας πρότασης,όπως λες, γιατί οι προτάσεις στα μαθηματικά έχουν νόημα πάντοτε), θα πρέπει κατ ‘αρχήν να εξετάζουμε αν η υπόθεση αυτή έχει νόημα ή όχι. Γιατί, αν δεν έχει νόημα πώς θα την χρησιμοποιήσουμε; Στην περίπτωσή μας όμως, εσύ προφανώς μιλάς για την υπόθεση ότι το x ανήκει στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Η υπόθεση αυτή έχει νόημα πάντοτε, ακόμα και αν το σύνολο αυτό είναι το κενό. Πράγματι, η έκφραση: « το x ανήκει στο κενό σύνολο» έχει νόημα, αλλά είναι ψευδής( δεν έχει νόημα ,δεν σημαίνει ότι είναι ψευδής, ούτε βέβαια αληθής).
Κώστα, εγώ ποτέ δεν είπα ότι δεν υπάρχει άλλος τρόπος. Kαι βέβαια μπορούμε να εργασθούμε και με συνεπαγωγές (άλλωστε, όπως γνωρίζεις, το έχω γράψει στην εύρεση μαθηματικού αντικειμένου). Αλλά, και τότε θα πρέπει να ξεκινήσουμε από το σύνολο ορισμού και στο τέλος, όπως λες και εσύ, θα πρέπει να ελέγχουμε αν οι τιμές του x που βρήκαμε ανήκουν στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης και αν την επαληθεύουν. Επειδή όμως μερικές φορές η επαλήθευση απαιτεί πολλές πράξεις, καλύτερα είναι να εργαζόμαστε με ισοδυναμίες, αν βέβαια αυτό είναι εύκολο.
Λοιπόν Κώστα. Με έχει κουράσει το θέμα αυτό, γιατί κάθε φορά αναγκάζομαι να λέω τα ίδια πράγματα .Ότι έχω να πω, πάνω στο αυτό θέμα ,το έχω πει. Δεν θα επανέλθω. Θα τονίσω όμως για τελευταία φορά ότι, ανεξάρτητα με οτιδήποτε είναι γραμμένο, σε οποιοδήποτε βιβλίο, σχετικά με αυτό το θέμα :
Είτε πρόκειται να εργασθούμε με ισοδυναμίες, είτε με συνεπαγωγές, θα πρέπει πρώτα να γράφουμε το σύνολο ορισμού της εξίσωσης(είτε το σύνολο αυτό το βάλουμε υπό μορφή διαστήματος ή ενώσεων διαστημάτων του R, είτε όχι) και στη συνέχεια να εννοούμε ότι οι σχέσεις που γράφουμε ισχύουν για κάθε x από το σύνολο αυτό. Διαφορετικά θα μιλάμε στον αέρα.

k-ser · #48

Αγαπητέ Αντώνη.
Όντως έχω κάνει κάποια λάθη διατύπωσης και ζητώ συγνώμη.
Όταν γράφω ότι η εξίσωση έχει νόημα αυτό ακριβώς εννοώ: Οι συναρτήσεις των δύο μελών της έχουν νόημα και, βέβαια, όχι ότι η εξίσωση έχει λύση. Δεν μπορώ, παράδειγμα, να γράψω: να λυθεί η εξίσωση: $x+2=\sqrt{-1}$ ή ότι: έχω την ισότητα: $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$ .
Όταν γράφω ότι: δεδομένης μιας πρότασης Α, αν πρέπει να εξετάζουμε το νόημά της, δεν εννοώ μιας μαθηματικής πρότασης αλλά μιας έκφρασης όπως μια εξίσωση, για την οποία, έγραψες σε προηγούμενο μήνυμά σου, ότι ενδεχομένως και να μην έχει νόημα. Να ρωτήσω σ' αυτό το σημείο κάτι απλό: Έχει δικαίωμα κάποιος να γράψει: Να λυθεί η εξίσωση $x+2=\sqrt{-1}$ ; Ή, διαφορετικά: είναι εξίσωση η έκφραση $x+2=\sqrt{-1}$ ;
Αν, όταν γράφω μια εξίσωση, είναι απαραίτητο η εξίσωση να έχει νόημα τότε... γιατί να βρω το σύνολο ορισμού της, αν αυτό δεν μου χρειάζεται στον τρόπο που επιλέγω να λύσω αυτή την εξίσωση; Αναφέρομαι βέβαια στον τρόπο που παρουσίασα "με συνεπαγωγές".
Κάτι ακόμα,
έχει δικαίωμα κάποιος, ίσως και θεματοδότης εξετάσεων, να θέσει ως θέμα σωστό - λάθος : Υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow 0}(\ln{(x-1)})$

Αντώνη.
Έχεις κάθε δικαίωμα να μην επανέλθεις. Θα σεβαστώ την επιθυμία σου έστω κι αν αυτό με στεναχωρήσει.
Θεωρώ ενδιαφέρον το θέμα και όχι μόνο για μένα. Αυτός είναι ο λόγος που επανέρχομαι.
Ακόμα,
δύο ανθρώπινες κατασκευές με εντυπωσίασαν στη ζωή μου αλλά ίσως δεν χώρεσαν ακόμα στο μυαλό μου:
Ο λόγος και η λογική.
Και γνωρίζω καλά ότι δεν μπορούν να εξηγήσουν τον κόσμο και τη ζωή μα... λίγο με νοιάζει!

paulgai · #49

Παρένθεση

Το παράδειγμα που ανέφερα παραπάνω, διαφέρει με το παράδειγμα του Vasilis
μόνο στο γεγονός ότι το σύνολο Α δεν μπορεί να γραφτεί (εύκολα τουλάχιστον)
σαν ένωση διαστημάτων. Άρα λοιπόν ο μόνος τρόπος να ελέγξω αν η λύση
ανήκει στο Α είναι η επαλήθευση (Ο Κ. Κυριακόπουλος ανέφερε παραπάνω ότι
δεν είναι απαραίτητη η ανάλυση του Α σε ένωση διαστημάτων αλλά δεν το
είχα προσέξει). Στη μέθοδος που περιέγραψε ο Demetres (και άλλοι) τονίζεται
ότι πρέπει να επαληθεύσουμε στο τέλος τη λύση, δηλαδή να ελέγξουμε αν η
ρίζα ανήκει στο Α! Το Α είναι πάντα το σύνολο ορισμού της εξίσωσης και
προσωπικά θεωρώ ότι είναι θέμα σύμβασης να καταγράφεται από την αρχή ή όχι.
Το θέμα μου θυμίζει λίγο τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, μπορούμε απλά
να συμφωνήσουμε ότι μία πραγματική συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το
μεγαλύτερο υποσύνολο των πραγματικών για το οποίο έχει νόημα η συνάρτηση
(κάτι πολύ συνηθισμένο στη βιβλιογραφία).

Και κάτι λίγο άσχετο αλλά και .... σχετικό

Το σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου Κατεύθυνσης αναφέρει στη σελ 145, Άσκηση 1 iii)

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

$f(x)= \displaystyle\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$

Αν ένας μαθητής απαντήσει: $D_{f}=\left \{ x\in R:1-x^{2} \geq 0\; \kappa \alpha \iota \; x\neq 0 \right \}$ θα το λάβετε σωστό;

Sorry για την παρέμβαση

Κλείνει παρένθεση

7apostolis · #50

Καλησπέρα,
νομίζω οτι το θέμα είναι σοβαρό και θα εξηγήσω παρακάτω το γιατί.

Ερώτηση: Να λυθεί στο σύνολο Α η εξίσωση (1)

Στόχος : Αναμένεται ο μαθητής να λύσει την (1) και να βρει το σύνολο
λύσεων Β της (1). Γνωρίζει από την εκφώνηση ότι το Β υποσύνολο του Α (μπορεί και το κενό).

Λύση:
Μέθοδος 1: Αν επιλέξει μεθόδους που χρησιμοποιούν αντιστρεπτές πράξεις
(δηλ. ισοδύναμες σχέσεις) τότε το σύνολο Β, που βρίσκει στο τέλος
(λόγω ακριβώς της μεθόδου) είναι το ζητούμενο και δεν χρειάζεται καμμία επαλήθευση.

Μέθοδος 2: Αν επιλέξει την λύση των συνεπαγωγών δηλ. (1) -> 2 -> 3-> ...(δηλ. οι λύσεις τις (1) είναι και λύσεις
2, οι λύσεις της 2 είναι και λύσεις της 3, κοκ) τότε το σύνολο Β που ψάχνει, είναι υποσύνολο του
συνόλου που βρίσκει έτσι, άρα πρέπει να κάνει επαλήθευση στο τέλος, ώστε να προσδιορίσει
ακριβώς το σύνολο Β.

Σχόλια: 1) ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΙΝΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΡΘΕΣ, είτε μας αρέσει είτε όχι. Δεν έχουμε το
δικαίωμα να κόβουμε βαθμούς από τον μαθητή, επειδή εμείς έχουμε την οποιαδήποτε διαφορετική
αντίληψη για το θέμα, από αυτή της λύσης του μαθητή.

2) Εάν θέλουμε ο μαθητής να βρεί το σύνολο ορισμού οπωσδήποτε, τότε μπορούμε
και πρέπει να το ζητήσουμε με ένα ενδιάμεσο ερώτημα.

3) Ανήκω σε μια γενιά μαθητών (αποφ. 1981),
που για να λύσουμε άρρητες τριγωνομετρικές εξισώσεις με εφαπτομένες
θέλαμε πιο πολύ ώρα για τους περιορισμούς παρά για την λύση. Φανταστείτε την έκπληξή μου
όταν σε γνωστό πολυτεχνείο βορειοευρωπαϊκής πρωτεύουσας, ο συμφοιτητής μου απλά λύνει
με συνεπαγωγές την εξίσωση, και τσεκάρει τις τιμές που βρήκε! Ομολογώ τα έχασα, πίστευα οι άλλοι
κάτι θα πουν, δεν τόλμησα να πω ότι είναι λάθος. Μετά κατάλαβα τι έκανα τόσα χρόνια. Βέβαια μου
έμεινε η ταχύτητα στην σωστή εκτέλεση πράξεων...

4) Μήπως είμαστε τυπολάτρες και μικροί δικτάτορες,
σε νέους που δεν έχουν διδαχθεί γιατί γίνεται κάτι, ενώ παραβλέπουμε
την πρωτοτυπία και την σκέψη; Μήπως μέρος του προβλήματος είμαστε και εμείς, με τις απόψεις μας
που θέλουμε να επιβάλουμε την αυθεντία μας;

Α. Παπαδογιαννάκης

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #51

[quote="7apostolis"]Καλησπέρα,
Φανταστείτε την έκπληξή μου
όταν σε γνωστό πολυτεχνείο βορειοευρωπαϊκής πρωτεύουσας, ο συμφοιτητής μου απλά λύνει
με συνεπαγωγές την εξίσωση, και τσεκάρει τις τιμές που βρήκε! Ομολογώ τα έχασα, πίστευα οι άλλοι
κάτι θα πουν, δεν τόλμησα να πω ότι είναι λάθος. Μετά κατάλαβα τι έκανα τόσα χρόνια. Βέβαια μου
έμεινε η ταχύτητα στην σωστή εκτέλεση πράξων.

Μα Αποστόλη μου ήταν φοιτητής πολυτεχνείου και αυτό του είχαν μάθει να κάνει.
Κάποτε ευρισκόμενος στο σπίτι συγγενούς μου ο οποίος διόρθωνε γραπτά τελειοφοίτων Αρχιτεκτόνων, βαθμολογούσε τα γραπτά με μόναδικό κριτήριο το σωστό αποτέλεσμα και όχι τον συλλογισμό.
Στο ερώτημά μου γιατί το κάνει αυτό, μου είπε γελώντας, μα δεν θα γίνουν μαθηματικοί, σπίτια που δεν θα πέφτουν τους μαθαίνουμε να σχεδιάζουν και να κατασκευάζουν!

Μήπως τελικά θα πρέπει να καταλάβουμε ότι μαθηματικός δεν είναι όποιος γνωρίζει να λύνει κάποιες ασκήσεις,
όπως γιατρός δεν είναι όποιος γνωρίζει ότι ο πονοκέφαλος περνάει με ασπιρίνη και δικηγόρος δεν είναι όποιος γνωρίζει να γράφει μια αίτηση.
Με εκτίμηση,
Θωμάς

Α.Κυριακόπουλος · #52

Αγαπητέ Κώστα Σερίφη.
Επειδή δεν θέλω να σε στεναχωρήσω θα επανέλθω για μια ακόμα φορά στο θέμα.
1) Τα μέλη μιας εξίσωσης, με έναν άγνωστο x ,είναι συναρτήσεις μιας μεταβλητής x. Η έκφραση που γράφεις δεν είναι μια εξίσωση, αφού το δεύτερο μέλος( ρίζα του -1), δεν είναι τύπος μια συνάρτησης, αφού δεν έχει νόημα.
2) βεβαίως έχει δικαίωμα κάποιος να θέσει το θέμα των ορίων που γράφεις. Ακριβώς για να δει αν ο εξεταζόμενος έχει εμβαθύνει και ξέρει πότε ορίζεται ένα όριο. Είναι πολύ σημαντικό για τα όρια να ξέρει κάποιος ,όταν το x τείνει στο ξ, σε ποιο σύνολο μπορεί να θεωρεί ότι ανήκει το x. Η ουσία των ορίων δεν είναι η παπαγαλία των θεωρημάτων.

Αγαπητέ Παπαδογιαννάκη.
• Τα μαθηματικά δεν είναι απόψεις (δικές μου, δικές σου κτλ.) και πολύ περισσότερο δεν είναι απόψεις αυθεντίας. Ούτε επιβάλλονται. Τα μαθηματικά για να φτάσουν στη σημερινή τους μορφή έχουν περάσει διά «πυρός και σιδήρου». Από τον 19ο αιώνα που, με βάση τη Μαθηματική Λογική, τα μαθηματικά ταχτοποιήθηκαν, δεν υπάρχουν πλέον σε αυτά, ούτε κενά , ούτε μυστήρια. Από κει και πέρα βέβαια εξαρτάται πώς τα έχει ο καθένας το μυαλό του.
• Τις λανθασμένες πρωτοτυπίες και τις λανθασμένες σκέψεις οπωσδήποτε πρέπει να τις αποφεύγουμε, γιατί, όχι μόνο δεν είναι ωφέλιμες, αλλά και γιατί οδηγούν στο σκοταδισμό . Αυτό όμως είναι άλλο θέμα από την ευελιξία που πρέπει να έχει ένας δάσκαλος στον πίνακα, όταν διδάσκει μαθηματικά, ανάλογα με τους μαθητές στους οποίους απευθύνεται. Για να κάνει όμως τέτοιους ελιγμούς, χωρίς να κάνει λάθη, χρειάζεται βαθιά γνώση του αντικειμένου. Διαφορετικά μπορεί να φθάσει σε θλιβερά αποτέλεσμα.
• Βεβαίως γινόμαστε μέρος του προβλήματος ,όταν:
α) Δεν ξεκαθαρίζουμε τις διάφορες έννοες στα μαθηματικά ,που είναι ο μόνος τρόπος για να τις καταλάβουν οι μαθητές.
β) Θολώνουμε τα νερά για να φαίνονται βαθιά.
γ) Γράφουμε σχέσεις στα μαθηματικά που περιέχουν το x, χωρίς να ξέρουμε για ποια χ μιλάμε.
δ) Κάνουμε λάθη στα μαθηματικά και όταν μας το επισημαίνουν ισχυριζόμαστε ότι το κάνουμε για να απλοποιήσουμε τα πράγματα, ώστε να καταλάβουν οι μαθητές!!! Δηλαδή τους τα λέμε λάθος και ισχυριζόμαστε ότι οι μαθητές θα τα καταλάβουν σωστά!!!
ε) Νομίζουμε ότι τα ξέρουμε όλα και έχουμε απεριόριστη εμπιστοσύνη στην κοινή λογική. Με την κοινή λογική δεν μπορούμε να καταλάβουμε ότι κάτι που, ίσως το διδάσκουμε χρόνια, δεν είναι σωστό και ότι πρέπει να το αναθεωρήσουμε (προσωπικά, έναν άνθρωπο τον θεωρώ «προοδευτικό», ανεξαρτήτως ηλικίας και μόρφωσης, όταν δεν είναι δογματικός, σκέπτεται ότι οι θέσεις του πιθανόν να μην είναι σωστές και τις αλλάζει αμέσως όταν καταλάβει ότι έχει κάνει λάθος ).
στ) Διδάσκουμε μαθηματικά, χωρίς να έχουμε μελετήσει την Μαθηματική Λογική, που είναι η βάση όλων των μαθηματικών, οπότε είναι σίγουρο ότι στα δύσκολα σημεία, που δεν μας βοηθάει η κοινή λογική, θα τα κάνουμε θάλασσα.

Θανάσης Νικολόπουλος · #53

p@g έγραψε:Θα ήθελα να σας ευχαριστήσω όλους θερμά για τις απόψεις που παραθέσατε(ή που ακόμα παραθέτετε) και για το χρόνο που αφιερώσατε.Είναι γεγονός πως σε αυτήν την επιστήμη μία μικρή αλλαγή σε κάποια λέξη ή η αποφυγή της μπορεί να προκαλέσει παρερμηνεία και ασάφεια.
Μια φορά μου είπε ο πατέρας μου:''Μαθηματικός είναι αυτός που όταν τον ρωτάνε πόσο κάνει ένα και ένα αυτός απαντάει:'Αυτό το ''και'' πρέπει να εξεταστεί πολύ καλά.''

Με όλο το σεβασμό στην εξαιρετική συζήτηση που έχει προηγηθεί (προ αρκετού καιρού είναι η αλήθεια), καθώς είδα το παραπάνω σχόλιο, δεν άντεξα να μη θυμηθώ την "εξυπνάδα" (αν και με κατά τόπους μαθηματική βάση) που είχα σκαρφιστεί όταν ήμουν νέος φοιτητής στο Μαθηματικό Αθηνών...

Πόσο κάνει ένα κι ένα;

1) 2...
2) 1, όταν πάμε στην Άλγεβρα Boole όπου το "1" εκφράζει την κατάφαση και το "και" την σύζευξη
3) 0, σε ακέραια περιοχή με 2 στοιχεία, δηλαδή την ακέραια περιοχή {0,1} (το 1+1=0 ήταν δημοφιλές στα εξώφυλλα των εξωσχολικών βοηθημάτων το 1991 που έδινα Πανελλήνιες...)
4) 10, στο γνωστό μας δυαδικό σύστημα
5) 11, όταν (στα πρότυπα της πληροφορικής ή γνωστού παιδικού παιχνιδιού-εφευρήματος) πρόσθεση σημαίνει παράθεση συμβολοσειρών
6) "2 παρά κάτι", αν το ένα συν ένα εκφράζει την περίπτωση "πρόσθεσης"-σύγκρουσης δύο σωματιδίων, κατά την οποία απελευθερώνεται ενέργεια που αντιστοιχεί - λόγω της Ε=mc^2 - σε κάποιο απειροελάχιστο αλλά υπαρκτό ποσό ύλης που χάνεται... (καλά αυτό είναι εντελώς σοφιστεία, εφεύρημα με αφορμή την Πυρηνική Φυσική...)

Πόσο δίκιο λοιπόν είχε ο πατέρας του p@g... Πόση προσοχή χρειάζεται και το "και" και το "ένα"...

ΥΓ: Σας παρακαλώ μην υποβάλετε τις, ούτως ή άλλως αίολες, παραπάνω σκέψεις σε αυστηρή κριτική... Ούτως ή άλλως ως ευφυολόγημα δημιουργήθηκαν εξαρχής και τέτοιο το θεωρώ ακόμα... Απλά πάντα μου άρεσε ότι εμείς οι Μαθηματικοί είμαστε ικανοί να κάνουμε μελέτη ολόκληρη πάνω στα αυτονόητα...

Και το "πόσο κάνει ένα κι ένα" παίζει να είναι μακράν ένα από τα πιο κλισέ χιλιοειπωμένα ερωτήματα που αναμένουν αυτονόητη απάντηση...

Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Μέλη σε σύνδεση