Ανισότητα 33

erxmer · #1

Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση
$\displaystyle 16(a+b+c)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ .
Αποδείξτε ότι
$\displaystyle \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3}\le\frac{8}{9}$

Παναγιώτης 1729 · #2

Ωραία άσκηση!!!
Λοιπόν έχουμε την γνωστή ανισότητα: $\displaystyle[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq64{abc\frac{(a+b+c)^3}{27}}$ (είναι άμεση π.χ. από Popoviciu στην lnx

).
Είναι $\displaystyle(ab+bc+ca)^2\geq{3abc(a+b+c)}\geq{\frac{ab+bc+ca}{16}}$ , αρα $\displaystyle ab+bc+ca\geq{\frac{3}{16}}$
Ακόμη: $\displaystyle a+b+c\geq\sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq{\frac{3}{4}}$ .
Από τα παραπάνω έχουμε $\displaystyle [(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq{4(ab+bc+ca)\frac{(a+b+c)^2}{27}}\geq{(\frac{a+b+c}{6})^2}$ , άρα $6(a+b)(b+c)(c+a)\geq{a+b+c}$ (1)

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε:
$\displaystyle\frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}=\sum\frac{1}{27\frac{(a+b)(a+c)}{2}}\geq{LHS}$
Η (1) δίνει από εδώ το ζητούμενο.

Eagle · #3

erxmer έγραψε:Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση
$\displaystyle 16(a+b+c)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ .
Αποδείξτε ότι
$\displaystyle \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3}\le\frac{8}{9}$

Η άσκηση είναι από το τεστ επιλογής του Vietnam 2010,δεύτερη μέρα,πρόβλημα 1
ή
εδώ

Ανισότητα 33

Ανισότητα 33

Re: Ανισότητα 33

Re: Ανισότητα 33

Μέλη σε σύνδεση