Ανισότητα στο χώρο

#1

Έστω

μια τρίεδρη στερεά γωνία τέτοια, ώστε

$\widehat {XOY} + \widehat {YOZ} + \widehat {ZOX} = \pi$ .

Να αποδείξετε ότι αν

είναι ένα εσωτερικό σημείο της τρίεδρης γωνίας και ${P_1},{P_2},{P_3}$ οι προβολές του

στις έδρες της, τότε ισχύει:

$OP \ge P{P_1} + P{P_2} + P{P_3}$ .

#2

Την ξαναφέρνω στην επιφάνεια...

#3

Αφού έμεινε αναπάντητη για αρκετό καιρό, ας δώσω τη λύση.

Θέτουμε $\displaystyle{\widehat {YOZ} = \alpha },$ $\displaystyle{\widehat {ZOX} = \beta }$ και $\displaystyle{\widehat {XOY} = \gamma }.$

Εφόσον $\displaystyle{\alpha + \beta + \gamma = \pi },$ υπάρχει τρίγωνο $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{\hat {\rm K} = \alpha },$ $\displaystyle{\hat \Lambda = \beta }$ και $\displaystyle{\hat {\rm M} = \gamma }.$

Θέτουμε $\displaystyle{a = \Lambda {\rm M}},$ $\displaystyle{b = {\rm M}{\rm K}}$ και $\displaystyle{c = {\rm K}\Lambda }.$

Θεωρούμε σημεία $\displaystyle{A, B, C}$ των ημιευθειών $\displaystyle{OX, OY, OZ}$ αντίστοιχα, ώστε
$\displaystyle{OA = a},$ $\displaystyle{OB = b}$ και $\displaystyle{OC = c}.$

Από την υπόθεσή μας και το κριτήριο Π-Γ-Π, καθένα από τα τρίγωνα $\displaystyle{OAB, OBC, OCA}$ είναι ίσο με το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}.}$ Επομένως, θα είναι και $\displaystyle{AB = c,}$ $\displaystyle{BC = a}$ και $\displaystyle{CA = b,}$ οπότε και το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ θα είναι ίσο με το $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}.}$ Με άλλα λόγια, το τετράεδρο $\displaystyle{OABC}$ είναι ισοεδρικό.

Συμβολίζουμε με $\displaystyle{Q}$ το σημείο τομής της ημιευθείας $\displaystyle{OP}$ με το επίπεδο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ . Η ομοιοθεσία με κέντρο $\displaystyle{O,}$ η οποία απεικονίζει το $\displaystyle{Q}$ στο $\displaystyle{P,}$ απεικονίζει το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ σε ένα τρίγωνο $\displaystyle{{A_1}{B_1}{C_1},}$ στο επίπεδο του οποίου περιέχεται το σημείο $\displaystyle{P.}$

Το τετράεδρο $\displaystyle{O{A_1}{B_1}{C_1}}$ είναι επίσης ισοεδρικό. Αν συμβολίσουμε με $\displaystyle{s}$ το εμβαδόν καθεμιάς από τις έδρες του και με $\displaystyle{h}$ το ύψος του από την κορυφή $\displaystyle{O,}$ τότε για τον όγκο του θα ισχύει ότι

$\displaystyle{V\left( {O{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = \frac{1}{3}sh.}$

Αλλά μπορούμε να γράψουμε

$\displaystyle{V\left( {O{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = V\left( {OP{A_1}{B_1}} \right) + V\left( {OP{B_1}{C_1}} \right) + V\left( {OP{C_1}{A_1}} \right) = \frac{1}{3}s\left( {P{P_1} + P{P_2} + P{P_3}} \right),}$

οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{P{P_1} + P{P_2} + P{P_3} = h.}$

Εφόσον $\displaystyle{h \le OP,}$ η αποδεικτέα ανισότητα έπεται άμεσα.

S.E.Louridas · #4

Μετά την πανέμορφη λύση του Βαγγέλη ας δούμε και την άναφορά :
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 47&t=54149

S.E.Louridas

Ανισότητα στο χώρο

Ανισότητα στο χώρο

Re: Ανισότητα στο χώρο

Re: Ανισότητα στο χώρο

Re: Ανισότητα στο χώρο

Μέλη σε σύνδεση