οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

#1

ΑΣΚΗΣΗ: Νά εξετασθεί μέ τό οριακό κριτήριο σύγκλισης, άν η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}{\frac{1}{2^{\nu}-\nu}}$ συγκλίνει.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Θεωρώντας $\alpha_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}-\nu}$ καί επιλέγωντας $\beta_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}}$ , προκύπτει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\nu}}=1$ .
Μήπως υπάρχει μιά καλύτερη επιλογή γιά τήν $\beta_{\nu}$ ;

#2

grigkost έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ: Νά εξετασθεί μέ τό οριακό κριτήριο σύγκλισης, άν η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}{\frac{1}{2^{\nu}-\nu}}$ συγκλίνει.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Θεωρώντας $\alpha_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}-\nu}$ καί επιλέγωντας $\beta_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}}$ , προκύπτει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\nu}}=1$ .
Μήπως υπάρχει μιά καλύτερη επιλογή γιά τήν $\beta_{\nu}$ ;

Γρηγόρη, δεν καταλαβαίνω:

Τα $\beta_{\nu}$ αυτά σου δίνουν σύγκλιση (το οριακό θεώρημα απαιτεί απλά το όριο να είναι > 0). Τι καλύτερο ζητάς;

Μιχάλης

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Γρηγόρη, δεν καταλαβαίνω:

Τα $\beta_{\nu}$ αυτά σου δίνουν σύγκλιση (το οριακό θεώρημα απαιτεί απλά το όριο να είναι > 0). Τι καλύτερο ζητάς;

Μιχάλης

grigkost έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ: ... καί επιλέγωντας $\beta_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}}$ , προκύπτει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\nu}}=1$ .
Μήπως υπάρχει μιά καλύτερη επιλογή γιά τήν $\beta_{\nu}$ ;

Ναί αυτή η $\beta_{\nu}$ δίνει σύγκλιση, αλλά τό $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\nu}}=1$ βγαίνει όχι πολύ κομψα!

#4

grigkost έγραψε: Ναί αυτή η $\beta_{\nu}$ δίνει σύγκλιση, αλλά τό $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\nu}}=1$ βγαίνει όχι πολύ κομψα!

Εντάξει κατάλαβα.

Μία μέθοδος είναι: Κάνοντας την διαίρεση ο παρονομαστής είναι $1 - \frac{n}{2^n}$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι το $\frac{n}{2^n}$ τείνει στο 0.
Βγαίνει εύκολα από l' Hospital στην $\frac{x}{2^x}$ .

M.

#5

Συγκεκριμένα:

$\alpha_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}-\nu}$ , $\nu\in\mathbb{N}$ . Άν $\beta_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{2^{\nu}}$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , τότε $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\nu}}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{\frac{1}{2^{\nu}-\nu}}{\frac{1}{2^{\nu}}}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{2^{\nu}}{2^{\nu}-\nu}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{1-\frac{\nu}{2^{\nu}}}\stackrel{(*)}{=}\frac{1}{1-0}=1$ καί $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{\beta_{\nu}}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{2^{\nu}}=0$ .
Άρα η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\nu}-\nu}$ συγκλίνει.

$(*) \ \left({\forall\,\varepsilon>0}\right) \left({\exists\,\nu_0=\left[{\frac{1}{\varepsilon}}\right] +1}\right)\left({\forall\,\nu\in\mathbb{N}}\right) \ \nu\geq\nu_0 \ \Rightarrow \ \displaystyle\left|{\frac{\nu}{2^{\nu}}}\right|=\frac{\nu}{2^{\nu}}\stackrel{(**)}{<}\frac{1}{\nu}<\varepsilon$ $\square$

τό (**)

βαρέθηκα νά τό αποδείξω!

mathematica.gr

οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

Re: οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

Re: οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

Re: οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

Re: οριακό κριτήριο σύγκλισης σειράς

Μέλη σε σύνδεση