Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη(Δελτίο Νο:5,άσκ.4)

pana1333 · #1

Μετά απο προτροπή του εξαίρετου μαθητή και μέλους της οικογένειας του mathematica Αντώνη (Νασιούλα), του αφιερώνω λοιπόν, μια πρώτη επαναληπτική.

Ελπίζω να ακολουθήσουν κι άλλες......

Άσκηση 1

Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right)=ln\left(x^{3}-7x^{2}+16x-12 \right)$ .

Να βρεθούν:

α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

γ) Να λυθεί η εξίσωση $ln\left(x^{3}-7x^{2}+16x-12 \right)=ln\left(x^{2}-4 \right)+ln5+ln\left(\frac{x-2}{x+2} \right)$

δ) Να λυθεί η ανίσωση $e^{f\left(6 \right)-2f\left(4\right)}-e^{x}>e^{x^2}+e^{x+1}+lne^{2}$

Προσθήκη (ε)

(ε) Να λυθεί η ανίσωση

$2e^{f\left(6 \right)-2f\left(4\right)}-e^{x}<e^{2x}$

Νασιούλας Αντώνης · #2

α)

Έχουμε $\diplaystyle{x^3-2x^2-5x^2+10x+6x-12=x^2(x-2)-5x(x-2)+6(x-2)=(x-2)(x^2-5x+6)=(x-2)(x-2)(x-3)=(x-2)^2(x-3)\color{red}{(1)}}$
Θέλουμε: $x^3-7x^2+16x-12>0 \Rightarrow (x-2)^2(x-3)>0\Rightarrow x\in (3,\infty)$
Άρα $\diplaystyle D_f=(3,\infty)$

β)

Για το β) τώρα δεν είμαι σίγουρος αν η παρακάτω απάντηση είναι πλήρης.
Η συνάρτηση είναι η λογαριθμική με βάση e>1

άρα -σύμφωνα με το σχολικό- είναι γνησίως αύξουσα.

γ)
$ln\left(x^{3}-7x^{2}+16x-12 \right)=ln\left(x^{2}-4 \right)+ln5+ln\left(\frac{x-2}{x+2} \right)\Rightarrow ln\left(x^{3}-7x^{2}+16x-12 \right)= ln\left((x^{2}-4)\cdot 5 \cdot \frac{x-2}{x+2} \right)=ln\left((x-2)\cancel{(x+2)}\cdot 5 \cdot \frac{x-2}{\cancel{x+2}} \right)=ln\left( 5 (x-2)^2\right)\Rightarrow (x-2)^2(x-3)=5(x-2)^2\Rightarrow (x=2 \vee x-3=5)\Rightarrow (x=2 \vee x=8)$
Με επαλήθευση απορρίπτουμε την λύση x=2. Άρα x=8.

Χρωστάω το δ). Αν κάτσω να το γράψω τώρα θα με κυνηγάει ο φροντιστής μου σε μια ώρα.
Θα το ανεβάσω -αν δεν το κάνει κάποιος άλλος πριν από μένα- το απογευματάκι.

ΥΓ Κύριε Χρήστο ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση

Νασιούλας Αντώνης · #3

Να δώσω και το δ)...

Είναι:

f(6)=ln(48)

και

, επομένως $f(6)-2f(4)=ln(48)-2ln4=ln(48)-ln(16)=\displaystyle{ln\frac{48}{16}}=ln3$ .

Έτσι $\displaystyle{e^{f(6)-2f(4)}=e^{ln3}=3}$ .

Επίσης είναι γνωστό ότι lne^2=2lne=2

.

Σύμφωνα με τα παραπάνω η δοθείσα είναι ισοδύναμη με την:

$\displaystyle{e^{x^2}+e^{x+1}+e^x<1}$ , η οποία είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .

Πράγματι για $x\geq 0$ έχουμε:

$e^x\geq 1$ $\kappa \alpha \iota$ $e^{x+1}\geq e$ $\kappa \alpha \iota$ $\displaystyle{e^{x^2}\geq 0}$

άρα ${e^{x^2}+e^{x+1}+e^x\geq e+1>1$

Για x< 0

είναι:

και $e^{x+1}>0$ και $e^{x^2}> 1$

αφού $e^k>0, \forall k \in \mathbb{R}$ και $x<0 \Rightarrow x^2>0$ .

Επομένως έχουμε $e^{x^2}+e^{x+1}+e^x>1$ .

Άρα η ανίσωση αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .

hlkampel · #4

Συνεχίζω με άλλη μια για τον Αντώνη και όποιον άλλο ενδιαφέρεται.

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = 4^{\frac{1}{2} + \kappa } \ln x - \frac{{2^\kappa }}{{\ln x}}$ με $\kappa \in R$ .
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β) Να δειχθεί ότι $f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 0$ .
γ) Αν $f\left( {e^2 } \right) = 15$ να βρεθεί ο $\kappa \in R$ .
δ) Με $\kappa = 1$ να λυθεί η ανίσωση $2f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) \le 6$ .

#5

Ασκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=x+ln(e^x-3)

.
i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln4)

και

iii) Να λύσετε την ανισότητα f(x)> ln2+ln(e^x-2)

Χρήστος

diomides · #6

xr.tsif έγραψε:Ασκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο .
i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς και
iii) Να λύσετε την ανισότητα

Χρήστος

ευκολα τα δυο πρωτα, για το τελυταιο εχουμε

$x+\ln(e^{x}-3)>\ln2+\ln(e^{x}-2)\Leftrightarrow \ln(e^{2x}-3e^{x})>\ln(2e^{x}-4)\Leftrightarrow e^{2x}-3e^{x}>2e^{x}-4....$ Με περιορισμο $x>\ln3$

parmenides51 · #7

diomides έγραψε:
xr.tsif έγραψε:Ασκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο .
i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς και
iii) Να λύσετε την ανισότητα

Χρήστος
ευκολα τα δυο πρωτα, για το τελυταιο εχουμε

$x+\ln(e^{x}-3)>\ln2+\ln(e^{x}-2)\Leftrightarrow \ln(e^{2x}-3e^{x})>\ln(2e^{x}-4)\Leftrightarrow e^{2x}-3e^{x}>2e^{x}-4....$ Με περιορισμο $x>\ln3$

Σύμφωνα με τον κανονισμό (αρχική σελίδα του mathematica)

Ανακοινώσεις Υποδείξεις λύσεων έγραψε: Αγαπητοί μας φίλοι
Τον τελευταίο καιρό έχει παρατηρηθεί κατάχρηση στην αποστολή Υποδείξεων στις λύσεις των ασκήσεων.
Σας παρακαλούμε ακολουθώντας και τους Κανόνες Δεοντολογίας που συνοδεύουν τον Κανονισμό μας (σημείο 16) να αποφεύγετε (ιδίως αν δεν είσθε εκείνος που έθεσε την άσκηση) να στέλνετε υποδείξεις αντί ολοκληρωμένων λύσεων. Εκτός από τους λόγους που αναφέρονται στους κανόνες δεοντολογίας οι υποδείξεις συχνότατα καθιστούν ένα θέμα ακατάλληλο για αποδελτίωση.
Για τους Επιμελητές του mathematica

καθε άσκηση είτε εύκολη είτε όχι προσπαθούμε να την λύνουμε αναλυτικά και όσα περισσότερα ερωτήματα μπορούμε.
Οπότε καλύτερρα δοκίμασε να λύσεις αναλυτικά τα έυκολα και μην βάζεις τελίτσες

.
Φιλικά

pana1333 · #8

Άσκηση 4

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο $f\left(x \right)=ln\left(e^{x}+1 \right)$ .

1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

3) Να λυθεί η εξίσωση $f\left(\sqrt{3}\eta \mu x \right)=f\left(\sigma \upsilon \nu x \right)$ .

4) Να λυθεί η ανίσωση $f\left(2x \right)>f\left(x \right)$

5) Να δείξετε ότι $f\left(-x \right)=f\left(x \right)-x$ για κάθε $x\epsilon R$

#9

1) Πρέπει $e^x + 1 > 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{e^x > 0,\forall x \in R} x \in R \Rightarrow \boxed{A_f = R}$ , όπου είναι το πεδίο ορισμού της f

2) Έστω
$x_1 ,x_2 \in A_f = R$ με $\boxed{x_1 < x_2 }\mathop \Rightarrow \limits^{e^x \uparrow } e^{x_1 } < e^{x_2 } \mathop \Rightarrow \limits^{ + 1} e^{x_1 } + 1 < e^{x_2 } + 1 \Rightarrow \boxed{f\left( {x_1 } \right) < f\left( {x_2 } \right)}$ οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

3) Είναι $f\left( {\sqrt 3 \cdot \eta \mu x} \right) = f\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f(\gamma \nu \eta \sigma .\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha ) \Rightarrow f:1 - 1} \boxed{\sqrt 3 \cdot \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu x}:\left( 1 \right)$

Η τελευταία εξίσωση δεν μπορεί να έχει ρίζα κάποιο $x_0 \in R$ για το οποίο $\eta \mu x_0 = 0$ διότι τότε θα είναι $\sqrt 3 \cdot \eta \mu x_0 = \sigma \upsilon \nu x_0 \mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu x_0 = 0} \sigma \upsilon \nu x_0 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu ^2 x_0 + \sigma \upsilon \nu ^2 x_0 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu ^2 x_0 + \sigma \upsilon \nu ^2 x_0 = 1} } \boxed{1 = 0}$ (άτοπο).

Οπότε ισοδύναμα έχουμε: $\sqrt 3 \cdot \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu x\mathop \Leftrightarrow \limits^{:\eta \mu x} \sqrt 3 = \frac{{\sigma \upsilon \nu x}} {{\eta \mu x}} \Leftrightarrow \sigma \phi x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sigma \phi x = \sigma \phi \frac{\pi } {6} \Leftrightarrow \boxed{x = k\pi + \frac{\pi } {6},k \in Z}$

4) Είναι $f\left( {2x} \right) > f\left( x \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f(\gamma \nu \sigma .\alpha \xi o\upsilon \sigma \alpha )} 2x > x \Leftrightarrow \boxed{x > 0}$

5) Έχουμε : $f\left( { - x} \right) = \ln \left( {e^{ - x} + 1} \right) = \ln \left( {\frac{1} {{e^x }} + 1} \right) = \ln \left( {\frac{{e^x + 1}} {{e^x }}} \right)\mathop = \limits^{\ln \left( {\frac{{\theta _1 }} {{\theta _2 }}} \right) = \ln \theta _1 - \ln \theta _2 ,\theta _1 ,\theta _2 \in \left( {0, + \infty } \right)}$

$\ln \left( {e^x + 1} \right) - \ln e^x \mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) = \ln \left( {e^x + 1} \right),\ln e^x = x} \boxed{f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) - x}$

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

hlkampel · #10

xr.tsif έγραψε:Ασκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο .
i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς και
iii) Να λύσετε την ανισότητα

Λύση

α) Πρέπει $e^x - 3 > 0 \Leftrightarrow e^x > 3 \Leftrightarrow x > \ln 3$
Άρα $D_f = \left( {\ln 3, + \infty } \right)$

β) $f\left( {\ln 4} \right) = \ln 4 + \ln \left( {e^{\ln 4} - 3} \right) = \ln 4 + \ln \left( {4 - 3} \right) = \ln 4 + \ln 1 = \ln 4$
$f\left( {\ln 5} \right) = \ln 5 + \ln \left( {e^{\ln 5} - 3} \right) = \ln 5 + \ln \left( {5 - 3} \right) = \ln 5 + \ln 2 = \ln 10$
Όμως $\ln 10 > \ln 4 \Rightarrow f\left( {\ln 5} \right) > f\left( {\ln 4} \right)$

γ) $f\left( x \right) > \ln 2 + \ln \left( {e^x - 2} \right)$ (1) πρέπει $e^x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \ln 2$ και $x > \ln 3$

Αν $x > \ln 3$ η (1) γίνεται:
$x + \ln \left( {e^x - 3} \right) > \ln 2 + \ln \left( {e^x - 2} \right) \Leftrightarrow \ln e^x + \ln \left( {e^x - 3} \right) > \ln \left[ {2\left( {e^x - 2} \right)} \right] \Leftrightarrow$
$\ln \left( {e^{2x} - 3e^x } \right) > \ln \left( {2e^x - 4} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\ln x1} e^{2x} - 3e^x > 2e^x - 4 \Leftrightarrow$
$e^{2x} - 5e^x + 4 > 0 \Leftrightarrow \left( {e^x - 4} \right)\left( {e^x - 1} \right) > 0$

Άρα $e^x < 1 \Leftrightarrow x < 0$ (απορρίπτεται) ή $e^x > 4 \Leftrightarrow x > \ln 4$

Έτσι $x \in \left( {\ln 4, + \infty } \right)$

Νασιούλας Αντώνης · #11

pana1333 έγραψε: Προσθήκη (ε)

(ε) Να λυθεί η ανίσωση

$2e^{f\left(6 \right)-2f\left(4\right)}-e^{x}<e^{2x}$

Όπως είδαμε παραπάνω...

f(6)=ln(48)

και

, επομένως $f(6)-2f(4)=ln(48)-2ln4=ln(48)-ln(16)=\displaystyle{ln\frac{48}{16}}=ln3$ .

Έτσι $\displaystyle{e^{f(6)-2f(4)}=e^{ln3}=3}$ .

Άρα έχουμε να λύσουμε την:

$e^{2x}+e^x-6>0\Leftrightarrow \left(e^{x}\right)^2+e^x-6>0\Leftrightarrow (e^x+3)(e^x-2)>0$ από την οποία έχουμε:

$( e^x+3>0\wedge e^x-2>0 )\Leftrightarrow (e^x>-3\wedge e^x>2)\Leftrightarrow (x\in \mathbb{R}\wedge x>ln2)$

ή

$( e^x+3<0\wedge e^x-2<0 )\Leftrightarrow (e^x<-3\wedge e^x<2)$ που είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .

Άρα τελικά x>ln2

.

diomides · #12

parmenides51 έγραψε:
diomides έγραψε:
xr.tsif έγραψε:Ασκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο .
i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς και
iii) Να λύσετε την ανισότητα

Χρήστος
ευκολα τα δυο πρωτα, για το τελυταιο εχουμε

$x+\ln(e^{x}-3)>\ln2+\ln(e^{x}-2)\Leftrightarrow \ln(e^{2x}-3e^{x})>\ln(2e^{x}-4)\Leftrightarrow e^{2x}-3e^{x}>2e^{x}-4....$ Με περιορισμο $x>\ln3$
Σύμφωνα με τον κανονισμό (αρχική σελίδα του mathematica)
Ανακοινώσεις Υποδείξεις λύσεων έγραψε: Αγαπητοί μας φίλοι
Τον τελευταίο καιρό έχει παρατηρηθεί κατάχρηση στην αποστολή Υποδείξεων στις λύσεις των ασκήσεων.
Σας παρακαλούμε ακολουθώντας και τους Κανόνες Δεοντολογίας που συνοδεύουν τον Κανονισμό μας (σημείο 16) να αποφεύγετε (ιδίως αν δεν είσθε εκείνος που έθεσε την άσκηση) να στέλνετε υποδείξεις αντί ολοκληρωμένων λύσεων. Εκτός από τους λόγους που αναφέρονται στους κανόνες δεοντολογίας οι υποδείξεις συχνότατα καθιστούν ένα θέμα ακατάλληλο για αποδελτίωση.
Για τους Επιμελητές του mathematica
καθε άσκηση είτε εύκολη είτε όχι προσπαθούμε να την λύνουμε αναλυτικά και όσα περισσότερα ερωτήματα μπορούμε.
Οπότε καλύτερρα δοκίμασε να λύσεις αναλυτικά τα έυκολα και μην βάζεις τελίτσες .
Φιλικά

pana1333 · #13

Άσκηση 5

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο $f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} x^{3}-\alpha x^{2}-5x+6, x<1& \\ x-1+lnx, x\geq 1 & \end{Bmatrix}$ .

α) Αν είναι $f\left(1 \right)=f\left(-2 \right)$ , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α.

β)Για α=2

i) Να δειχθεί ότι $f\left(x\right)\geq 0$ για κάθε $x\geq 1$ .
ii) Να λυθεί η εξίσωση $f\left(x \right)=0$ .
iii) Να λυθεί η ανίσωση $f\left(x \right)<0$ για x<1

.
iv) Να λυθεί η εξίσωση $f\left(\left(\frac{1}{2} \right)^{x} \right)=-xln2$ για $x\leq 0$ .
v) Να λυθεί η εξίσωση $f\left(\sigma \upsilon \nu x \right)-\sigma \upsilon \nu x+1=0$ για $x\epsilon \left[0,\pi \right]$ .

hlkampel · #14

Άσκηση 6

Δίνεται το πολυώνυμο $P\left( x \right) = \left( {\alpha ^2 + \ln ^4 \alpha } \right)x^3 - 3\left( {\alpha + \ln ^3 \alpha } \right)x^2 + \left( {\alpha + \ln ^2 \alpha } \right)x + 1 + \ln ^3 \alpha$ με $\alpha ,x \in R$ και $\alpha > 0$ .
Α. Να βρεθεί ο $\alpha > 0$ ώστε το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου να είναι 0 (μηδέν).
Β. Αν $\alpha = 1$ τότε:
α) Να γίνει η διαίρεση $P\left( x \right):\left( {x - 1} \right)$ .
β) Να λυθεί η εξίσωση $P\left( {e^x + \sqrt 2 } \right) = 0$

hlkampel · #15

Το επαναφέρω γιατί υπάρχουν τρείς αναπάντητες ασκήσεις.
Επειδή πλησιάζουν οι εξετάσεις καλό είναι να απαντηθούν.

vanalex · #16

hlkampel έγραψε:Άσκηση 6

Δίνεται το πολυώνυμο $P\left( x \right) = \left( {\alpha ^2 + \ln ^4 \alpha } \right)x^3 - 3\left( {\alpha + \ln ^3 \alpha } \right)x^2 + \left( {\alpha + \ln ^2 \alpha } \right)x + 1 + \ln ^3 \alpha$ με $\alpha ,x \in R$ και $\alpha > 0$ .
Α. Να βρεθεί ο $\alpha > 0$ ώστε το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου να είναι 0 (μηδέν).
Β. Αν $\alpha = 1$ τότε:
α) Να γίνει η διαίρεση $P\left( x \right):\left( {x - 1} \right)$ .
β) Να λυθεί η εξίσωση $P\left( {e^x + \sqrt 2 } \right) = 0$

Ξεκινώ από την τελευταία αναπάντητη προς τα πάνω:

Α. Για να είναι το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου 0 πρέπει:

$a^{2}+ln^{4}a-3a-3ln^{3}a+a+ln^{2}a+1+ln^{3}a=0 \Leftrightarrow ln^{4}a-2ln^{3}a+ln^{2}a-2a+1=0\Leftrightarrow ln^{2}a\left(ln^{2}a-2lna+1 \right)+\left(a-1 \right)^{2}\Leftrightarrow ln^{2}a\left(lna-1 \right)^{2}+\left(a-1 \right)^{2}=0$

Προέκυψε άθροισμα θετικών όρων ίσο με 0 άρα πρέπει:

$\displaystyle \begin{cases} lna\left(lna-1 \right)=0 \\ a-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} lna=0 \vee lna=1 \\ a=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\vee a=e \\ a=1 \end{cases}$

Άρα α = 1.

Β.α) Για α = 1 το πολυώνυμο γίνεται:
$\displaystyle P(x)=x^{3}-3x^{2}+x+1$

Από σχήμα Horner $\color{blue}\begin{tabular}{|c|c|c|c||c} 1 & -3 & 1 & 1 & 1\\ \hline & 1 & -2 & -1 &\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-4} 1& -2 & -1 & {\bf{0}} &\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-4} \end{tabular}$ προκύπτει $\displaystyle P(x)=\left(x-1 \right)\left(x^{2}-2x-1 \right)$

β) Από την παραπάνω εξίσωση P(x) = 0 προκύπτει ότι $\displaystyle x=1, x=1+\sqrt{2}, x=1-\sqrt{2}$
Άρα $\displaystyle e^{x}+\sqrt{2}=1, e^{x}+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}, e^{x}+\sqrt{2}=1-\sqrt{2}$

Ή $\displaystyle e^{x}=1-\sqrt{2}, e^{x}=1, e^{x}=1-2\sqrt{2}$
H πρώτη και τη τρίτη είναι αδύνατες αφού τα δεύτερα μέλη είναι αρνητικοί αριθμοί. Η δεύτερη έχει λύση x = 0.

Y.Γ Ήθελα να δείξω το σχήμα Ηοrner αλλά δεν ήξερα πως να το κάνω στον EqEditor του site. Μήπως υπάρχει κάποιος καλοθελητής να μου κάνει μια υπόδειξη

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
επεξεργασία : Κυριακή 8 /5/2011, 07:03 μ.μ
Αλέξη,συμπλήρωσα το σχήμα Horner στην απάντησή σου
Φωτεινή
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

vanalex · #17

Φωτεινή εγώ πως μπορώ να το κάνω απο τον ΕqEditor του site; Ή μήπως δε γίνεται;

pana1333 · #18

vanalex έγραψε:εγώ πως μπορώ να το κάνω απο τον ΕqEditor του site; Ή μήπως δε γίνεται;

Ναι γίνεται να το κάνεις. Πήγαινε στη δημοσίευση και πάτα παράθεση και θα δεις πως γίνεται....

#19

vanalex έγραψε:Φωτεινή εγώ πως μπορώ να το κάνω απο τον ΕqEditor του site; Ή μήπως δε γίνεται;

$\begin{tabular}{|c|c|c|c||c} 1 & -3 & 1 & 1 & 1\\ \hline & 1 & -2 & -1 &\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-4} 1& -2 & -1 & {\bf{0}} &\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-4} \end{tabular}$
--------------------------------------------------------------
\begin{tabular}{|c|c|c|c||c}

1 & -3 & 1 & 1 & 1\\ \hline
& 1 & -2 & -1 &\multicolumn{1}{c}{} \\
\cline {1-4}
1& -2 & -1 & {\bf{0}} &\multicolumn{1}{c}{} \\
\cline {1-4}

\end{tabular}

vanalex · #20

Ευχαριστώ πολύ!

Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη(Δελτίο Νο:5,άσκ.4)

Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη(Δελτίο Νο:5,άσκ.4)

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Re: Επαναληπτικές Ασκήσεις σε όλη την ύλη

Μέλη σε σύνδεση