Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

#1

Έστωσαν τα τρίγωνα $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$ με πλευρές $\displaystyle{a,b,c}$ και $\displaystyle{a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime}}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{R}$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{r^{\prime}}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του $\displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},}$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{R}{r^{\prime}}\geq \frac{2}{3}\Big(\frac{a}{a^{\prime}}+\frac{b}{b^{\prime}}+\frac{c}{c^{\prime}}\Big).}$

#2

Επαναφορά με υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

matha έγραψε:Έστωσαν τα τρίγωνα $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$ με πλευρές $\displaystyle{a,b,c}$ και $\displaystyle{a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime}}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{R}$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{r^{\prime}}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του $\displaystyle{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},}$ να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{R}{r^{\prime}}\geq \frac{2}{3}\Big(\frac{a}{a^{\prime}}+\frac{b}{b^{\prime}}+\frac{c}{c^{\prime}}\Big).}$

Επειδή πάει πάλι να ξεχαστεί, βάζω μια λύση:

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει

$\displaystyle{\frac{a}{a^{\prime}}+\frac{b}{b^{\prime}}+\frac{c}{c^{\prime}}\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{\frac{1}{a^{\prime}^2}+\frac{1}{b^{\prime}^2}+\frac{1}{c^{\prime}^2}}.}$ (1)

Γνωρίζουμε, όμως, ότι ισχύει $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\leq 9R^2}$ (2) (π.χ. είναι $\displaystyle{0\leq OG^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}}$ )

Επίσης ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq \frac{1}{4r^2}}$ (3)

Πράγματι, επειδή είναι, ως γνωστόν, $\displaystyle{h_a^2\leq s(s-a)}$ έχουμε

$\displaystyle{(b+c)^2-a^2=4s(s-a)\geq 4h_a^2=\frac{16E^2}{a^2}}$ , άρα $\displaystyle{\frac{1}{a^2}\leq \frac{(b+c)^2-a^2}{16E^2}.}$

Επομένως, είναι

$\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq \frac{(b+c)^2-a^2+(c+a)^2-b^2+(a+b)^2-c^2}{16E^2}=\frac{(a+b+c)^2}{16s^2r^2}=\frac{1}{4r^2}.}$

Από τις (1),(2),(3) προκύπτει η ζητούμενη.

Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

Re: Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

Re: Ανισότητα με δύο τρίγωνα!

Μέλη σε σύνδεση