Άπειροι πρώτοι (Δελτίο 5)

Mulder · #1

Ν.δ.ό υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής 4k+3

(ή ισοδύναμα της μορφής 4k-1

)

#2

Θα μιμηθούμε την απόδειξη για το ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος.

Έστω λοιπόν ότι οι πρώτοι της μορφή 4k+3

είναι πεπερασμένοι και είναι οι $p_1,p_2,\ldots, p_n$ . Ορίζουμε τον αριθμό $A=4p_1p_2\ldots p_n-1$ . Τότε είναι φανερό ότι $A\equiv 3\pmod{4}$ . Συνεπώς ο

έχει ένα πρώτο διαιρέτη της μορφή 4k+3

(αν όλοι οι πρώτοι διαιρέτες ήταν της μορφής 4k+1

τότε το

θα ήταν της μορφή 4l+1

, άτοπο) και αφού οι πρώτοι διαιρέτες της μορφής 4k+3

είναι πεπερασμένοι άρα αυτός είναι κάποιος p_k

με $k=1,2,\ldots,n$ . Όμως $p_k|4p_1p_2\cdots p_n$ οπότε αφού p_k|A

άρα τελικά p_k|-1

άτοπο.

Άρα οι πρώτοι της μορφής 4k+3

είναι άπειροι σε πλήθος.

Αλέξανδρος

#3

Να προσθέσω ότι το θεώρημα Dirichlet λέει ότι για κάθε φυσικούς αριθμούς a,d

που είναι πρώτοι μεταξύ τους, υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής a + nd

.

Δυστυχώς η απόδειξη είναι δύσκολη και μη στοιχειώδης. Υπάρχουν όμως ορισμένες περιπτώσεις του θεωρήματος όπως π.χ. η περίπτωση a=3,d=4

για τις οποίες μπορεί να δοθεί απλή απόδειξη όπως έχει κάνει πιο πάνω ο Αλέξανδρος.

Άπειροι πρώτοι (Δελτίο 5)

Άπειροι πρώτοι (Δελτίο 5)

Re: Άπειροι πρώτοι

Re: Άπειροι πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση